Egzamin maturalny z matematyki

Poziom podstawowy

Czas pracy 120 minut              maj 2009

Instrukcja dla zdającego

1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 – 11). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.
3. W rozwiązaniach zadań przedstaw tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku.
4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem.
5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy przekreśl.
6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.
7. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którą możesz uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.
8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora.
9. Na karcie odpowiedzi wpisz swoją datę urodzenia i PESEL. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora.

Życzymy powodzenia!

Za rozwiązanie wszystkich zadań

można otrzymać łącznie 50 punktów.

Zadanie 1. (5 pkt)

Funkcja określona jest wzorem

a) Uzupełnij tabelę:

b) Narysuj wykres funkcji .

c) Podaj wszystkie liczby całkowite , spełniające nierówność .

Zadanie 2. (3 pkt)

Dwaj rzemieślnicy przyjęli zlecenie wykonania wspólnie 980 detali. Zaplanowali, że każdego dnia pierwszy z nich wykona , a drugi detali. Obliczyli, że razem wykonają zlecenie w ciągu 7 dni. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował się i wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie, musiał pracować o 8 dni dłużej niż planował, (nie zmieniając liczby wykonywanych codziennie detali). Oblicz i .

Zadanie 3. (5 pkt)

Wykres funkcji f danej wzorem przesunięto wzdłuż osi Ox o 3 jednostki w prawo oraz wzdłuż osi Oy o 8 jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji .

a) Rozwiąż nierówność .

b) Podaj zbiór wartości funkcji .

c) Funkcja określona jest wzorem . Oblicz b i c.

Zadanie 4. (3 pkt)

Wykaż, że liczba jest rozwiązaniem równania .

Zadanie 5. (5 pkt)

Wielomian dany jest wzorem .

a)     Wyznacz , oraz tak, aby wielomian był równy wielomianowi , gdy .

b)     Dla i zapisz wielomian w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.

Zadanie 6. (5 pkt)

Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa .

a)     Uzasadnij, że spełniona jest nierówność .

b)     Dla oblicz wartość wyrażenia .

Zadanie 7. (6 pkt)

Dany jest ciąg arytmetyczny dla , w którym , .

a)     Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu .

b)     Sprawdź, czy ciąg jest geometryczny.

c)     Wyznacz takie , aby suma początkowych wyrazów ciągu miała wartość najmniejszą.

Zadanie 8. (4 pkt)

W trapezie ABCD długość podstawy CD jest równa 18 , a długości ramion trapezu AD i BC są odpowiednio równe 25 i 15. Kąty ADB i DCB, zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu.

Zadanie 9. (4 pkt)

Punkty i są wierzchołkami trójkąta prostokątnego , w którym . Przyprostokątna zawiera się w prostej o równaniu . Oblicz współrzędne punktu i długość przyprostokątnej .

Zadanie 10. (5 pkt)

Tabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał wynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy.

a)     Oblicz średnią arytmetyczną liczby błędów popełnionych przez zdających ten egzamin. Wynik podaj w zaokrągleniu do całości.

b)     Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch losowo wybranych zdających tylko jeden uzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Zadanie 11. (5 pkt)

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość 12 i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca, kąt o mierze .

a)      Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.

b)     Sprawdź, czy objętość tego walca jest większa od . Odpowiedź uzasadnij.