Zadanie I2
Znaleźć wielomian interpolacyjny Lagrange’a w postaci Newtona dla funkcji
na przedziale [-1,1]
(a) dla 5 równoodległych węzłów,
(b) dla 7 równoodległych węzłów,
(c) dla 5 węzłów Czebyszewa.
Porównać wartości otrzymanych wielomianów z wartościami funkcji f w 5 wybranych punktach przedziału [-1,1] nie będących węzłami interpolacji.
Obliczenia zamieścić w odpowiednich tabelkach ( wzory tabelek zostały podane na zajęciach).
Wykonać rysunki dla wielomianów z podpunktów (a) i (c).
Przeanalizować otrzymane wyniki.
Projekt należy wykonać zgodnie ze standardem podanym na zajęciach.
[1]
Twierdzenie 1.
Zadanie interpolacji wielomianowej posiada jednoznaczne rozwiązanie, czyli istnieje tylko jeden wielomian spełniający warunek [1].
Szukany wielomian ma postać:
. [2]
Wzór [2] nosi nazwę wzoru Lagrange’a.
Wielomian w postaci wzoru Lagrange’a jest niewygodny zarówno do wyznaczania jego wartości w dowolnym punkcie (stosuje się wzór Aitkena) jak i jego całkowania bądź różniczkowania. Częściej wielomian interpolacyjny określa się w postaci wzoru Newtona, przy czym obydwa wzory są sobie równoważne, ponieważ zgodnie z twierdzeniem 1, istnieje tylko jeden wielomian interpolacyjny dla węzłów .
Wzór Newtona dla węzłów dowolnych ma postać
Czebyszew udowodnił następujące twierdzenie:
Dla dowolnej liczby naturalnej n większej od 1, między liczbami n a 2n zawsze istnieje, co
najmniej jedna liczba pierwsza.
a) Znajdujemy wielomian interpolacyjny Lagrange’a w postaci Newtona dla funkcji na przedziale [-1,1] dla 5 równoodległych węzłów:
x
-1
0
1
f(x)
Ze wzoru interpolacyjnego Lagrange’a w postaci Newtona wyliczamy wielomian:
gdzie
b) Znajdujemy wielomian interpolacyjny Lagrange’a w postaci Newtona dla funkcji na przedziale [-1,1] dla 7 równoodległych węzłów:
pio1281trek