Równanie różniczkowe toru elementu płynu równanie różniczkowe linii prądu definicja pochodnej substancjalnej, lokalnej i konwekcyjnej definicja powierzchni płynnej i kontrolnej.doc

2. Równanie różniczkowe toru elementu płynu równanie różniczkowe linii prądu definicja pochodnej substancjalnej, lokalnej i konwekcyjnej definicja powierzchni płynnej i kontrolnej.

2.0 Operatory pola.

Gradient ciśnienia - wielkość fizyczna określająca kierunek najszybszego przyrostu ciśnienia cieczy, a także tempo tego przyrostu.

Gradient jest wektorem, którego składowe w chwili  (w kartezjańskim układzie odniesienia) równe są pochodnym cząstkowym ciśnienia   względem współrzędnych przestrzennych :

Gradient ciśnienia oznaczany też bywa za pomocą operatora nabla:

Tak rozumiane pojęcie gradientu ciśnienia jest zgodne z matematycznym pojęciem gradientu pola skalarnego. Należy jednak pamiętać, że wykorzystane w jego definicji pochodne mają sens tylko w takich skalach przestrzennych, w jakich określone jest pojęcie ciśnienia i na jakich zmiany ciśnienia są technicznie mierzalne. Stąd też w zastosowaniach praktycznych stosuje się nieco uproszczoną definicję gradientu ciśnienia jako wektora prostopadłego do powierzchni (w zagadnieniach trójwymiarowych) lub linii stałego ciśnienia, zwanej powierzchnią (linią) izobaryczną, skierowanego do obszaru o wyższym ciśnieniu i mającego wartość:

gdzie jest różnicą ciśnień w dwóch punktach leżących w odległości  od siebie na prostej prostopadłej do powierzchni (linii) izobarycznej. Wartość zależy od obszaru zastosowań.

Dywergencja - operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem. Operator dywergencji pojawia się w sposób naturalny w kontekście całkowania form zewnętrznych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego nazywane czasem twierdzeniem o dywergencji), a więc ma szereg konkretnych interpretacji fizycznych, związanych z mechaniką płynów.

oznaczać będzie pole wektorowe klasy C1 w przestrzeni , to znaczy funkcję określoną na zbiorze otwartym , różniczkowalną w sposób ciągły (tj. taką, której pochodne cząstkowe ze względu na każdą ze zmiennych są funkcjami ciągłymi) . Dywergencją pola F nazywamy pole skalarne div F dane wzorem

Często opertator dywergencji oznacza się także przez  - symbol iloczynu skalarnego ma tu jedynie charakter symboliczny, sugeruje on jednakże, iż dywergencję można traktować formalnie jako iloczyn skalarny operatora nabla z wektorem pola.

Definicja dywergencji, jako pola skalarnego, jest związana z wyborem układu współrzędnych. Można jednak zdefiniować dywergencję nieco ogólniej, odwołując się do twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego. Przypomnijmy, iż mówi ono tyle, że jeżeli V jest zwartym podzbiorem przestrzeni , którego brzeg jest dodatnio zorientowany oraz kawałkami gładki, a jest polem wektorowym klasy C1, określonym na zbiorze otwartym, zawierającym V, to

gdzie jest jednostkowym wektorem normalnym do dS w punkcie (x,y,z). W związku z tym można zdefiniować dywergencję w każdym punkcie M = M(x,y,z) zbioru U poprzez ściąganie powierzchni V (takich, że M jest punktem V, gdzie V jak w powyższym twierdzeniu) do punktu. Dokładniej, można zdefiniować

gdzie | V | oznacza objętość V.

Uwaga: symbol dS (dV), nazywany elementem powierzchni (elementem objętości), oznacza formalnie 2-formę (3-formę) postaci .

Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla i wektora :

Rotacja w układzie współrzędnych kartezjańskich.

W kartezjańskim układzie współrzędnych F = [Fx,Fy,Fz] mamy więc

W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:

gdzie są wersorami osi x,y,z układu współrzędnych.

Całość rozpisujemy w następujący sposób:

2.1. Równanie różniczkowe toru elementu płynu.

Torem elementu płynu nazywamy linię wzdłuż której, wzdłuż której porusza się porusza się element płynu, traktowany tu jako punkt materialny, co jest traktowany jako punkt materialny, co jest dopuszczalne w związku z założeniem ciężkości płynu.

Gdy się dobierze w przestrzeni poruszającym się płynem nieruchomy układ współrzędnych prostokątnych x, y, z.

Niech linia l w chwili t0 przechodzi przez punkt M0, którego położenie względem układu odniesienia określony jest przez promień względny . Gdy założy się że w chwili t element płynu znalazł się w punkcie M, którego położenie względem układu odniesienia określone jest przez promień wodzący . Prędkość elementu punktu w punkcie M jest funkcją ,t, zatem:

gdzie:

-składowe wektora prędkości

Po czasie dt element płynu znalazł się w punkcie M, zatem można powiedzieć, że przebył on elementarną drogę którą oznacza się przez . Równanie różniczkowe toru elementu płynu będzie miało postać:

gdzie:

- element toru

- składowe elementu toru wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych;

- czas potrzebny na przebycie drogi-przez element płynu

Przekształcając powyższe równanie otrzymuje się:

              prędkość elementu płynu.

              Rozpisując powyższe równanie na składowe, dostaje się:

Zależność powyższe równanie można zapisać w następującą postać:

Zależność powyższe można zapisać w jednym wierszu:

różniczkowe równanie toru elementu płynu.

W powyższym równaniu czas nie jest stałym parametrem, ale zmienia stałą wartość tak jak x, y, czy z. Jeśli pole prędkości jest ustalone, to składkowe prędkości nie zależą od czasu i można pominąć dt w powyższym  równaniu

2.2. Równanie różniczkowe linii prądu elementu płynu.

Linią prądu nazywa się linię pola wektorowego, która w każdym swoim punkcje styczna jest styczna do wektora prędkości elementu płynu.

Gdy obierze się nieruchomy układ współrzędnych prostokątnych O xyz. Oznaczony przez prędkości elementu płynu w punkcje M, którego położenie określa promień wodzący,, przez -element linii prądu.

Równanie linii prądu wyraża warunek styczności dwóch wektorów można zapisać:

- w postaci iloczynu wektorowego:

- w postaci wyznacznika:

Z zależności powyższej dostanie się:

Zapisując równanie powyższe w jednym wierszu dostanie się:

Równanie to jest równaniem różniczkowym linii prądu.

Tutaj czas t odgrywa role stałego parametru.

              W ruch ustalonym linie prądu pokrywają się dokładnie z torami poszczególnych elementów płynu i równania toru elementu płynu oraz linii prądu stają się w tedy idealne.

2.3 Powierzchnia płynna i kontrolna, pochodna substancjalna, lokalna i konwekcyjna.

2.3.1Metoda Logrange’a

Metoda Lagrange’a opisuje zmianę różnych wielkości hydrodynamicznych zachodzącą podczas przepływu indywidualnie dla każdego elementu płynu; w metodzie tej bada się ich historię. Jeżeli w chwili t0 element płynu zajmuje położenie określone promieniem – wektorem r0 (x0, y0, z0), to z czasem położenie to będzie ulegało zmianie. Podobnie będą się zmieniały inne parametry związane z wybranym elementem płynu. Można to zapisać następująco:

r = r (r0, t), p = p (r0, t), ρ = ρ (r0, t),

lub ogólnie

H = H (r0, t),

gdzie H jest rozpatrywaną wielkością, natomiast (r0, t) są współrzędnymi albo zmiennymi Lagrange’a.

Zmiana samego tylko t w tych wyrażeniach określa zmianę wielkości H w elemencie płynu podczas jego ruchu, natomiast zmiana r0 odpowiada przejściu do innego elementu płynu i określa związaną z takim przejściem zmianę wielkości H.

W dowolnej chwili t współrzędne wybranego elementu płynu będą zależały od współrzędnych początkowych i czasu, czyli:

x = x (x0, y0, z0, t),

y = y (x0, y0, z0, t),

z = z (x0, y0, z0, t).

Znając równania toru danego elementu, można wyznaczyć jego prędkości i przyśpieszenia.

Niech v oznacza wektor prędkości, wówczas

(dla danego elementu są ustalone)

lub w postaci współrzędnych prędkości

Po zróżniczkowaniu prędkości względem czasu otrzyma się przyśpieszenie danego elementu

lub jego współrzędne

Jak widać, metoda Lagrange’a opisuje zmiany różnych wielkości H (np. prędkości, przyśpieszenia, ciśnienia, gęstości), które zachodzą dla poszczególnych elementów podczas ich ruchu i dlatego metoda ta zwana jest analizą wędrowną płynów. Z metodą Lagrange’a jest związane pojęcie powierzchni płynnej, czyli dowolnej (otwartej lub zamkniętej) powierzchni ruchomej, utworzonej z tych samych poruszających się elementów płynu, traktowanych jako punkty materialne. Kształt tej powierzchni może zmieniać się z biegiem czasu. Obszar ograniczony zamkniętą powierzchnią płynną jest nazywany obszarem płynnym. Przedstawiona metoda w praktycznych zastosowaniach nadaje się do badania tylko niewielu szczególnych przypadków ruchu.

2.3.2 Metoda Eulera

W praktyce większe zastosowanie znalazła druga metoda badań ruchu płynu, zwana metodą Eulera. Polega ona na tym, że w stałym układzie współrzędnych wydziela się pewien obszar wypełniony płynem i bada się zmianę wielkości charakteryzujących przepływ
w zadanym punkcie. W metodzie tej rozpatruje się więc zmianę wielkości charakteryzujących przepływ w zależności od czasu t i od położenia punktu. ...