Przepływ ściśliwego czynnika termodynamicznego

W termodynamice zakłada się, że przepływ jest jednowymiarowy, tj. parametry płynu zmieniają się tylko w kierunku przepływu. Przemiana płynu w układzie o przepływie ustalonym jest zbiorem stanów ustalonych w kolejnych przekrojach kanału przepływowego. Przekroje prostopadłe do ogólnego kierunku przepływu są oznaczane liczbami arabskimi, a wielkości z nimi związane są zaopatrzone w odpowiednie indeksy dolne. Podczas przepływu ustalonego parametry intensywne w dowolnych punktach płynu oraz działania na granicach układu nie zmieniają się.

średnie masowe natężenie przepływu (wydatek masowy):

    stosunek przepływającej masy do czasu t, w którym ta masa przepłynęła

                                                [kg/s]                                                 

objętościowe natężenie przepływu (wydatek objętościowy)

stosunek objętości płynu V do czasu t, w którym ta objętość przepłynęła

                                                 [m3/s]                                

gdzie: A – pole powierzchni przekroju prostopadłego do kierunku przepływu

           [m2],

           w – prędkość przepływu [m/s]

Równanie zachowania masy (równanie ciągłości) -w każdym przekroju układu charakteryzującego się przepływem ustalonym i jedną drogą przepływu masowe i objętościowe natężenie przepływu jest stałe

praktycznie:   A1w1 = A2w2    lub   A1w1 r1 = A2w2 r2

Model strugi płynu z dwoma przekrojami obliczeniowymi 1-1 i 2-2

strumień pędu (ilość ruchu) – iloczyn masowego natężenia i prędkości

    przepływu:  SP = [kg m/s2]

równanie zachowania pędu – przyrost strumienia pędu między przekrojami

    jest równy wypadkowej F wszystkich sił zewnętrznych działających na

    płyn zawarty między tymi przekrojami

równanie bilansu energetycznego dla układu o przepływie ustalonym

lub

gdzie: g – miejscowe przyspieszenie siły ciężkości

          h – wysokość środka ciężkości przekroju przepływowego ponad umowny

                poziom odniesienia PO

          Le 1,2 – praca efektywna układu

Ciepło tarcia wewnętrznego i praca na pokonanie sił tarcia występujące po obydwu stronach znaku równości powyższego równania znoszą się (Qw1,2=Lw1,2)

Dla gazów i par można praktycznie pominąć zmiany energii potencjalnej Mgh, a energię kinetyczną uwzględnia się przy prędkościach w>=40 m/s.

Jeżeli założymy, że brak jest wymiany ciepła i pracy z otoczeniem (przepływ adiabatyczny), wówczas powyższe równania można zapisać w następującej formie:

                 = const                           

             = const        

uogólnione równanie Bernoulliego

prędkość dźwięku dla gazów doskonałych

liczba Macha – stosunek prędkości płynu do miejscowej prędkości dźwięku

Parametry spoczynkowe strumienia płynu, który został wyhamowany do prędkości równej zeru bez wykonywania pracy efektywnej (przemiana

izentropowo-adiabatyczna). Oznaczamy je indeksem dolnym 0:

entalpia spiętrzenia

stanowi sumę entalpii statycznej oraz przyrostu entalpii dynamicznej przy założeniu, że całkowita energia kinetyczna zostanie zamieniona tylko w ciepło.

Dla przepływu energetycznie odosobnionego entalpia spiętrzenia jest wielkością

stałą (i0=const).

temperatura spiętrzenia dla gazów doskonałych

ciśnienie spiętrzenia dla płynu nieściśliwego

Prędkość przepływu płynu nieściśliwego jest równa:

Pomiary dokonuje się za pomocą rurki Prandtla mierząc manometrem różnicowym różnicę ciśnień spiętrzenia p0 i statycznego p

Schemat pomiaru prędkości przy pomocy rurki Prandtla

Przekrój, w którym prędkość przepływu staje się równa miejscowej prędkości dźwięku. Parametry określające stan gazu w tym przekroju są nazywane parametrami krytycznymi i oznaczane wskaźnikiem * (indeks górny).

Dla gazu doskonałego prędkość dźwięku jest największa, gdy w=0 (gaz

nieruchomy). Wynosi ona wtedy: .  Prędkość dźwięku jest równa

zeru (a=0) przy rozprężaniu gazu aż do próżni (p=0, T=0, i=0).

Prędkość gazu osiąga wówczas wartość maksymalną równą:

W przypadku gazów doskonałych:

gdzie:      dla jednoatomowych a=1,118, dla dwuatomowych  a=1,08,

                                da pary wodnej przegrzanej  a=1,063

Prędkość krytyczna w gazach doskonałych:

Dla liczby Macha Ma<1 przepływ jest poddźwiękowy (w<a - podkrytyczny).

Dla Ma=1 (w=a) przepływ jest krytyczny. Dla Ma>1 (w>a) przepływ jest naddźwiękowy (nadkrytyczny). Jeżeli Ma<0,6, to na ogół gazy można traktować

jako nieściśliwe.

Temperatura krytyczna dla gazów doskonałych:

        lub                                                                                  

dla gazów jednoatomowych qk = 0,75 (k=1,667), dla dwuatomowych

qk = 0,833  (k=1,4), dla pary wodnej przegrzanej  qk = 0,87  (k=1,3)

Ciśnienie krytyczne dla gazów doskonałych:

lub                                   

dla gazów jednoatomowych bk = 0,482 (k=1,667), dla dwuatomowych

bk = 0,528  (k=1,4), dla pary wodnej przegrzanej  bk = 0,546  (k=1,3)         

Gęstość krytyczna:

      lub                                  

dla gazów jednoatomowych gk = 0,65 (k=1,667), dla dwuatomowych

gk = 0,62  (k=1,4), dla pary wodnej przegrzanej  gk = 0,63  (k=1,3)    

Współczynnik prędkości (liczba Lavala) – stosunek prędkości przepływu do

prędkości krytycznej:

dla gazów doskonałych:

Przepływ adiabatyczny bez wykonywania pracy efektywnej płynu nielepkiego i nieprzewodzącego jest przepływem izentropowym, w którym

Qz 1,2 = 0, Le 1,2 = 0, Qw 1,2 = 0 i S = const.

Zależność różniczkowa między polem przekroju kanału przepływowego

a prędkością przepływu dla gazów doskonałych ma postać:

Wyprowadzenie:

Po zlogarytmowaniu i zróżniczkowaniu równania ciągłości przepływu otrzymujemy:                                        

Z kolei z postaci różniczkowej równania Bernoulliego wynika, że:

     skąd         a więc            

Po podstawieniu otrzymujemy: 

Z równania izentropy mamy:  . Po podstawieniu i odpowiednich

przekształceniach otrzymamy wzór wyjściowy.

Dyszą nazywamy kanał przepływowy, w którym wzrasta prędkość (dw>0).

Kanał o zmiennym przekroju pracuje jako dysza, jeżeli jego przekrój zmniejsza

się w kierunku przepływu (dA<0) w zakresie prędkości poddźwiękowych (Ma<1), a zwiększa się (dA>0) w zakresie prędkości naddźwiękowych.

Wartość Ma=1 może być osiągnięta tylko w przekroju minimalnym dyszy (dA=0), który staje się wówczas przekrojem krytycznym.

Prędkość w wzrasta kosztem spadku ciśnienia (dw>0,dp<0). Prędkości wlotowe są mniejsze od prędkości dźwięku w<a, wobec czego a2-w2>0 i prawa strona równania ma znak ujemny. Znak dA będzie zgodny ze znakiem prawej strony, czyli dA<0. Oznacza to, że przy prędkościach poddźwiękowych przepływu dysza powinna być zbieżna. W miarę wzrostu prędkości w zbieżnym kanale dochodzimy do przekroju, w którym prędkość osiąga wartość prędkości dźwięku (a=w,Ma=1). Jeżeli spadek ciśnienia dp będzie dostatecznie duży (dalsze rozprężanie gazu), wówczas dla uzyskania prędkości większej od dźwięku, na podstawie równania musi być spełniony warunek zmiany kształtu na rozbieżny (dA>0

Bardzo istotny jest fakt zachowania wielkości kąta rozwarcia kanału w granicach j = 8o – 12o. Gdy kąt ten przekracza 12o, następuje zerwanie strugi,

zaś kąty mniejsze od 6o powodują znaczny wzrost oporów tarcia podczas

przepływu strumienia przez kanał. Spadek lokalnej wartości dźwięku podczas

przepływu przez kanał jest spowodowany maleniem temperatury gazu w miarę

rozprężania izentropowego.

Dyfuzorem nazywamy kanał przepływowy, w którym maleje prędkość (dw<0).

Kanał o zmiennym przekroju pracuje jako dyfuzor, jeżeli jego przekrój wzrasta

(dA>0) w kierunku przepływu w zakresie prędkości poddźwiękowych (Ma<1),

a ...