placek - kripke.pdf

(46 KB) Pobierz
105374695 UNPDF
Kripkego teoria prawdy II
1 Maszyneria.
Predykaty zdeniowane na cz˛sci uniwersum. Z dowolnym predykatem
zwia˛zane sa˛: jego uniwersum
, jego dziedzina
oraz jego przeciw-dziedzina
. Intuicja jest nast˛puja˛ca: dla dowolnego
z
,
jest prawdziwe, nato-
miast dla dowolnego
z
,
jest fałszywe. Zakładamy, ze (1)
i (2)
, czyli dopuszczamy
. Intuicja: predykat
nie
stosuje si˛ do niektórych przedmiotów z uniwersum,
jest ani prawdziwe ani
fałszywe dla takiego przedmiotu
. Analogicznie z relacjami.
Ewaluacja zda n, w stylu Tarskiego, ze spójnikami Kleene’go
1. zdanie atomowe
jest prawda˛ (fałszem) wtw gdy
jest (nie jest)
.
2.
jest prawda˛ (fałszem) wtw gdy
jest fałszem (prawda˛);
jest nieo-
kreslona gdy
jest nieokreslone.
3. Alternatywa jest prawdziwa wtw gdy co najmniej jeden człon jest prawdziwy,
jest fałszywa gdy oba człony sa˛ fałszywe, nieokreslona w pozostałych wypad-
kach.
4. Koniunkcja jest prawdziwa wtw gdy oba człony sa˛ prawdziwe, jest fałszywa
gdy co najmniej jeden człon jest fałszywy, nieokreslona w pozostałych
wypadkach.
5.
jest prawdziwe jesli
jest prawdziwe dla jakiegos wartos-
ciowania zmiennych
;
jest fałszywe jesli
jest fałszywe
dla kazdego wartosciowania zmiennych
.
Pozostałe spójniki i kwantykatore sa˛ zdeniowane przez powyzsze.
2 Jak to pracuje?
, bez predykatu prawdy, ze sko nczona˛ liczba˛ predyka-
tów i wyraze n relacyjnych. Zakładamy niepuste uniwersum. Zakladamy, ze
predykaty i relacje j˛zyka
sa˛ zdeniowane na całym uniwersum. Zakładamy,
zawiera arytmetyk˛, a wi˛c mozna kodowa c wyrazenia tego j˛zyka w tym
własnie j˛zyku. Zakładamy interpretacj˛ stałych indyw., predykatów, wyraze n
relacyjnych i funkcyjnych. Uniwersum i ta interpretacja sa˛ stałe w opisanej nizej
procedurze.
1
Zaczynamy od j˛zyka
ze
, cz˛sciowo zdeniowany na uniwer-
sum . Otrzymany j˛zyk nazywamy . Chcemy znalez c interpretacj˛ j˛zyka
predykat
. W tym celu przyjmujemy interpretacj˛ zastana˛ j˛zyka
, zas interpretacj˛
predykatu zadajemy poprzez podanie pary podzbiorów
uniwersum
,
gdzie
i
b˛dzie zbiorem kodów zda n prawdziwych w j˛zyku . Niech
, które sa˛ kodami wyraze n innych niz zdania
albo kodami zda n fałszywych w j˛zyku .
Jesli jest predykatem prawdziwosci dla j˛zyka, który zawiera musi byc tak,
ze
i
. Para
, ktora spełnia taki warunke b˛dzie nazywana:
punktem stałym .
Pytanie: Czy istnieje / jak skonstruowac punkt stały?
. B˛dziemy si˛
zajmowac interpretacjami j˛zyka , otrzymanymi przez ‘złozenie’ interpretacji
z zinterpretowaniem predykatu . To ostatnie otrzymamy przypisuja˛c
dziedzin˛ i przeciw-dziedzin˛. Poniewaz w tej procedurze interpretacja j˛zyka
zalezy tylko od wyboru dziedziny i przciwdziedziny , zinterpretowany j˛zyk
. B˛dziemy rozwazac cia˛g zinterpre-
towanych j˛zyków (ale, syntaktycznie, b˛dzie to jeden i ten sam j˛zyk ).
b˛dziemy oznaczac poprzez:
. Co to znaczy? Predy-
kat ‘nigdzie’ nie jest zdeniowany, nie jest punktem stałym. Wypiszmy
Zaczynamy od zinterpretowanego j˛zyka
kilka zda n j˛zyka
(Znak podwójnego cudzysłowu słuzy powyzej jako symbol kodu Goedla.)
Przechodzimy teraz do konstrukcji nast˛pnego j˛zyka zinterpretowanego,
.
W tym celu musimy, po pierwsze, znalezc zbiór zda n prawdziwych i zbiór zda n
fałszywych j˛zyka . Przepuszczamy wi˛c wszytkie zdania j˛zyka przez
nasze warunki ewaluacji zda n. Dla przykładu, mamy:
wtw
Reguły te przypisuja˛ zdaniu (a) prawd˛, zdaniu (b) fałsz, zdanie (c) pozostaje
zas niezdecydowane (bo ma pusta˛ dziedzin˛ i przeciwdziedzin˛). Procedura
wtw
wtw non-
własnie opisana daje nam zbiór
(kodów) zda n prawdziwych i zbiór
(kodów)
zdan fałszywych lub (kodów) nie-zda n j˛zyka .
Nast˛pnie przyjmujemy, ze
i
sa˛ dziedzina˛ i przeciwdziedzina˛ predykatu
— deniujemy j˛zyk
.
Które zdania sa˛ prawdziwe a które sa˛ fałszywe w
? Aby odpowiedziec na to
pytanie, ‘przepuszczamy’ zdania z
przez warunki ewaluacyjne. Spostrzegamy,
2
Dodajemy nast˛pnie do
Niech teraz
to dziedzina i przeciwdziedzina .
b˛dzie zbiorem takich elementów
Konstrukcja Mamy syntaktycznie jeden j˛zyk,
j˛zyka
ze (a) jest prawdziwe, zas (b) jest fałszywe w
, czyli tak samo jak w . Co ze
Kod zdania ‘0=0’ nalezy do
, dlatego prawa strona zachodzi i dlatego, patrz
wtw
jest zdaniem prawdziwym.
Ogólny warunek na cia˛g zinterpretowanych j˛zyków: Przypuscmy, ze dla
liczby naturalnej
zdeniowalismy
. Deniujemy teraz:
, gdzie
sa˛ zbiorami, odpwiednio, kodów zda n prawdzi-
, które sa˛ kodami wyraze n innych niz
zdania albo kodami zda n fałszywych w j˛zyku
i takich elementów
Spostrzezenie: zdania prawdziwe / fałszywe w danym j˛zyku pozostaja˛ praw-
dziwe / fałszywe w j˛zyku nast˛pnym. Niektóre zdania niezdecydowane w danym
j˛zyku sa˛ prawdziwe / fałszywe w jakims kolejnym j˛zyku.
Opisana konstrukcja daje cia˛g zinterpretowanych j˛zyków:
Konstrukcja ta wyznaczona jest przez odwzorowanie,
, które parze podzbiorów
z uniwersum
przypisuje jaka˛s par˛ podzbiorów z
. Działa nast˛puja˛co:
.
To odwzorowanie
to funcja przypisuja˛ce prawd˛ / fałsz / niezdecydowanie zdan-
.
Powracamy do pytania o punkt stały, tym razem, dokładniej, p. s. odw-
zorowania
. Co by to znaczyło, ze
jest p.s. odwzorowania
? To,
ze
. To zas z kolei znaczy, ze
. Co z kolei
znaczy, ze
jest dziedzina˛ predykatu w j˛zyku
i równoczesnie zbiorem
kodów zdan prawdziwych w tymze
. Analogicznie o
. Czy oby tylko istnieje
?
Twierdzenie o punkcie stałym mówi: tak, p.s. istnieje o ile odwzorowanie jest
monotoniczne. Jest monotoniczne rzeczywiscie.
Uwaga matematyczna:
Mówimy, ze punkt
. Deniujemy: ! !
jest rozszerzeniem punktu ! , i zapisujemy to:
.
Powiadamy, ze
jest monotoniczne wtw gdy
.
!
Koniec uwagi matematycznej
!
! ! ’
Istnieja˛ punkty stałe
odwzorowania
. Predykat z interpretacja˛
).
Punkt stały otrzymany w wyniku tej procedury jest najmniejszym punktem
stałym. W tym punkcie najwi˛cej zda n jest prawdziwych i najwi˛cej fałszywych o
jest predykatem prawdy w j˛zyku dla tego samego jezyka (
3
zdaniem (c)? Napiszmy warunek ewaluacyjny:
lewa strona,
wych w j˛zyku
iom j˛zyka
p. stały odworowania
ile rozpocz˛lismy konstrukcj˛ od j˛zyka
. Czy moglibysmy rozpocza˛c
konstrukcj˛ od innego j˛zyka?
Rozwaz zdanie
,
spełnone jest jedynie przez jeden element, mianowicie kod powyzszego
zdania. Nazwijmy ten kod
. Powyzsze zdanie nie ma wartosci logicznej w
i nie uzyskuje wartosci logicznej w najmniejszym punkcie stałym.
Zaza˛danie, ze jest prawdziwe nie prowadzi jednak do sprzecznosci. Spróbujmy
wi˛c ‘wymusic’ zeby było prawdziwe. Zacznijmy wi˛c nasza˛ konstrukcj˛ od
.
Otrzymamy w efekcie tez punkt stały, wi˛kszy od punktu stałego gdy za-
trzynalismy od
. W tym punkcie stałym zdanie o kodzie
jest
prawdziwe.
Czy mozemy wymusic prawdziwosc dowolnego zdania bez warotsci logicznej
w j˛zyku
?
Rozwaz zdanie
,
spełnone jest jedynie przez jeden element, mianowicie kod powyzszego
zdania. Nazwijmy ten kod
. Powyzsze zdanie mówi o sobie, ze nie jest prawdziwe.
Nie ma wartosci logicznej w
i nie uzyskuje wartosci logicznej w na-
jmniejszym punkcie stałym. Za˛danie, ze jest prawdziwe / fałszywe w jakims
prowadzi do sprzecznosci. Zdanie to nie ma wi˛c wartosci logicznej w dowolnym
punkcie stałym.
Prowadzi to do nast˛puja˛cej wizji: zdania paradoksalne to takie, które nie
otrzymuja˛ wartosci logicznej w jakimkolwiek punkcie stałym. ‘Dobre’ zdania,
zwane ugruntowanymi to takie, które maja˛ warosc logiczna˛w najmniejszym punkcie
stałym. Pomi˛dzy nimi jest szara strefa zda n, ktore uzyskuja˛ warosc logiczna˛ w
inym niz najmniejszy punkcie stałym.
Pytania:
zawiera arytmetyk˛ AP, mozna wi˛c w nim kodowa c wyrazenia
tego j˛zyka, mozna wi˛c zapisac zdanie kłamcy (zreszta˛ jest juz wyzej zapisane).
Jaka˛ warotsc logiczna˛ przypisuja˛ temu zdaniu reguły ewaluacyjne?
(2) J˛zyk (
zawiera arytmetyk˛. Tw. Tarskiego mówi, ze jesli (
jest niesprzeczny,
zdeniowac predykatu spełniaja˛cego T-równowaznosci. Jak to
pogodzic z wynikiem Kripkego?
Inna prezentacja teorii Kripkego (autorstwa Stephena Gaukera):
http://asweb.artsci.uc.edu/philosophy/gauker/KripkeTruth.pdf
4
gdzie
gdzie
(1) J˛zyk
to nie da si˛ w

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin