mp_2.pdf

2. Statyka

Statyka płynów zajmuje się zagadnieniami równowagi i stateczności płynów, nieruchomych

względem przyjętego układu odniesienia, a także siłami wywieranymi przez płyny na ścianki

zbiorników lub ścianki ciał stałych zanurzonych w płynie i pozostających w spoczynku względem

niego.

Statyka płynów dzieli się na :

• hydrostatykę (ciecze),

• aerostatykę (gazy).

p a

Równowaga hydrostatyczna

p A = p a + ρ ⋅ g ⋅ h

p A

Ciśnienie w dowolnym punkcie nieruchomej cieczy równe jest sumie

ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia słupa cieczy o gęstości ρ i wysokości

h , zwanego ciśnieniem hydrostatycznym .

Związek ten pokazuje, że ciśnienie rośnie wraz z głębokością oraz jest

jednakowe dla punktów zanurzonych na tej samej głębokości.

Równowaga cieczy w naczyniach połączonych

Zasada naczyń połączonych - elementy

jednorodnej cieczy wypełniającej w sposób ciągły

przestrzeń naczyń połączonych, leżące na tej samej

linii poziomej podlegają jednakowemu ciśnieniu:

p L = p P

Zasada ta znajduje zastosowanie przy pomiarze ciśnień.

Na przykład do zbiornika, w którym panuje nieznane ciśnienie p x podłączono układ dwóch

połączonych ze sobą naczyń. Zgodnie z powyższą zasadą elementy cieczy manometrycznej leżące

na tym samym poziomie w lewym i prawym ramieniu naczyniu podlegają jednakowemu ciśnieniu.

p L = p P

p L = p x ,

p P = p a + ρ ⋅ g ⋅ ∆h,

stąd

p x = p a + ρ ⋅ g ⋅ ∆h

Poziom odniesienia przy pomiarze ciśnienia

ciśnienie

p 1

poziom ciśnienia

atmosferycznego

p 2

poziom próżni

Prawo Pascala – prawo równomiernego rozchodzenia się ciśnienia w płynie

W dwóch dowolnych punktach A i B przestrzeni wypełnionej płynem panują ciśnienia p i

p 0 . Wartości potencjałów sił wynoszą U i U 0 . Ciśnienia te związane są z wartościami potencjału

zależnością:

p A - p B = p - p 0 = ρ ( U p – U p0 )

Jeżeli na tłok przyłożymy siłę P , to w rozważanych punktach nastąpi przyrost ciśnienia, a ponieważ

przy tym nie ulega zmianie energia potencjalna, tzn. wartości potencjałów w obu tych punktach

pozostały te same, więc otrzymujemy następujący związek:

p A = p + δ p

p B = p 0 + δ p0

p + δ p – (p 0 + δ p0 ) = ρ (U p - U p0 )

Stąd:

czyli:

δ p – δ p0 = 0,

δ p = δ p0

U p

U p0

z 0

Przyrost ciśnienia w dowolnym punkcie jednorodnego płynu znajdującego się w stanie równowagi

w potencjalnym polu sił masowych wywołuje identyczną zmianę ciśnienia w dowolnym punkcie

tego płynu.

Zasadę tę wykorzystuje się w podnośniku hydraulicznym, układach hamulcowych pojazdów

i podobnych urządzeniach.

Napór hydrostatyczny

Naporem nazywamy siłę wywieraną przez ciecz na ściany naczyń (zbiorników). Napór

cieczy na płaskie, poziome dno zbiornika jest równy iloczynowi ciśnienia hydrostatycznego i pola

powierzchni, przy czym wypadkowa siła N tego naporu jest oczywiście przyłożona w środku

geometrycznym (środku ciężkości) powierzchni F i skierowana pionowo w dół.

N = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ F, gdzie F ⋅ h = V

N = ρ ⋅ g ⋅ V

p a

Paradoks Stevina dotyczy niezależności siły naporu na dno naczynia od ilości cieczy

zawartej w zbiorniku.

N 1 = N 2 = N 3 = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ F = ρ ⋅ g ⋅ V

Przez objętość V należy rozumieć objętość pozorną cieczy zawartej nad dnem określoną

jako objętość słupa cieczy o polu podstawy równym powierzchni dna i wysokości równej

wysokości napełnienia zbiornika. Objętości pozorne zaznaczono na rysunku przez zakreskowanie.

Dlatego też wielkość naporu N wyrazić można jako ciężar pozornej objętości cieczy zawartej ponad

dnem.

Napór cieczy na powierzchnie płaskie dowolnie zorientowane

Wypadkowy napór na powierzchnię płaską oraz punkt jej przyłożenia.

Napór hydrostatyczny na dowolnie zorientowaną powierzchnie płaską jest iloczynem

ciśnienia hydrostatycznego panującego w środku ciężkości i pola rozpatrywanej powierzchni.

N x = - ρ ⋅ g ⋅ z c ⋅ F ⋅ sinα

N y = 0

N z = ρ ⋅ g ⋅ z c ⋅ F ⋅ cosα

gdzie:

N = ρ ⋅ g ⋅ z c ⋅ F

z C – jest odległością środka geometrycznego (środka ciężkości SC ) pola F od zwierciadła

cieczy, czyli głębokością zanurzenia środka ciężkości pola F .

Dla powierzchni płaskiej dowolnie zorientowanej zależność określająca siłę naporu daje wielkość

siły wypadkowej jako sumę elementarnych naporów, ale z rysunku widać, że punkt przyłożenia tej

siły leży na głębokości z N większej niż wynosi głębokość zanurzenia środka ciężkości:

z N > z c .

Wypadkową siłę naporu należy przyłożyć w punkcie SN zwanym środkiem naporu, który

zanurzony jest na głębokości z N .

z N = z C +

⋅

sin

gdzie i C jest ramieniem bezwładności pola F względem osi przechodzącej przez środek ciężkości.

Dla ścian pionowych

α= :

z N = z C +

⋅

gdzie: Jy – geometryczny moment bezwładności względem osi y , usytuowanej na powierzchni

lustra cieczy.

Najczęściej mamy podane geometryczne momenty bezwładności względem osi przechodzącej

przez środek ciężkości (środek geometryczny)

J . Wówczas wykorzystując twierdzenie Steinera:

⋅

otrzymujemy:

⋅

TABELA 1 . Współrzędne położenia środka ciężkości i momenty bezwładności wybranych

przekrojów

Przekrój

Położenie środka ciężkości

Moment bezwładności J xc

e =

2 =

707

e I

1 h

( )

e −

2 h

e I =

e II =

e =

≈

−

)

e =

≈

(

−

)

e =

bh ≈

e =

(

a −

)

(

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: