Wyklad 13.pdf

(149 KB) Pobierz
Microsoft PowerPoint - Wyklad 13.ppt
WYKýAD 13
APROKSYMACJA ĺREDNIOKWADRATOWA WIELOMIANAMI
RADZAJE APROKSYMACJI
Aproksymacja jest dziaþem analizy numerycznej zajmujĢcym siħ najbardziej oglnymi zagadnieniami
przybliŇania funkcji, polegajĢcymi na wyznaczaniu dla danej funkcji f x
( ) .
( ) takich funkcji F(x),
Zadania aproksymacyjne mogĢ byę formuþowane bardzo rŇnie, w zaleŇnoĻci od przyjħtego sposobu
oszacowania bþħdw aproksymacji. WyrŇnia siħ trzy rodzaje aproksymacji:
1) interpolacyjnĢ,
2) jednostajnĢ,
3) ĻredniokwadratowĢ.
Rys. 1
ktre w okreĻlonym sensie najlepiej przybliŇajĢ funkcjħ f x
41976056.018.png 41976056.019.png 41976056.020.png 41976056.021.png 41976056.001.png 41976056.002.png 41976056.003.png 41976056.004.png 41976056.005.png 41976056.006.png 41976056.007.png 41976056.008.png
( ) przyjmowaþy dokþadnie te same
wartoĻci na zbiorze z gry ustalonych punktw wħzþowych (rys. 1). Warunek ten moŇe byę uzupeþniony
warunkami wyraŇajĢcymi rwnoĻę pochodnych w wħzþach, jeŇeli wartoĻci pochodnych zostanĢ zadane.
( ) i funkcja szukana F x
Rys. 2
W przypadku aproksymacji jednostajnej funkcjħ f x
( ) przybliŇamy takĢ funkcjĢ F x
( ), ktra daje
najmniejsze maksimum rŇnicy miħdzy F x
( ), a f x
( ) w caþym przedziale [a, b] - rys. 2
x
max ]
[
a
,
b
F
(
x
)
-
f
(
x
)
=
min
.
(1)
W przypadku aproksymacji interpolacyjnej, podobnie jak w zagadnieniu interpolacji, ŇĢdamy
speþnienia warunku, aby funkcja dana f x
¬
41976056.009.png 41976056.010.png 41976056.011.png 41976056.012.png 41976056.013.png 41976056.014.png 41976056.015.png 41976056.016.png
W przypadku aproksymacji Ļredniokwadratowej jako miarħ odchylenia funkcji F x
( ) od danej funkcji
( ) przyjmujemy wielkoĻę
S
=
Ð
b
[
F
(
x
)
-
f
(
x
)]
2
d
x
,
(2)
a
( ) wyznaczana jest z warunku,
aby wartoĻę wyraŇenia (2) byþa moŇliwie najmniejsza. Geometrycznie warunek ten wyraŇa ŇĢdanie,
aby pole powierzchni miħdzy liniami reprezentujĢcymi funkcjħ f x
( ) oraz funkcjħ F x
( ) byþo minimalne.
Zagadnienia aproksymacji jednostajnej i aproksymacji Ļredniokwadratowej sĢ rwnieŇ formuþowane dla
funkcji okreĻlonych na dyskretnym zbiorze argumentw. Dla takich funkcji warunek (1) dotyczĢcy
aproksymacji jednostajnej zmienia siħ w ten sposb, Ňe zamiast ciĢgþej zmiennej niezaleŇnej x wystħpuje
w nim zmienna dyskretna x i
max
F i
x
i
)
-
f
(
x
)
=
min
.
(
i
=
0
1
...,
n
)
,
(3)
a w warunku (2) na minimum odchylenia kwadratowego caþka jest zastħpowana sumĢ
= =
n
2 =
S
[
F
(
x
i x
)
-
f
(
)
]
min
.
i
(4)
i
0
f x
zwanĢ odchyleniem kwadratowym. Funkcja aproksymujĢca F x
(
41976056.017.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin