Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy początkiem wektora, a drugi końcem. Wektor o początku A i końcu B oznaczamy ,
wektory można też oznaczać , itd. Jeżeli A = B to wektor nazywamy zerowym.
Wektory przedstawia się zazwyczaj na dwa sposoby:
ujęcie graficzne: uzyskujemy przez narysowanie strzałki na płaszczyźnie lub w przestrzeni.
ujęcie analityczne: układ dwóch liczb - współrzędnych (na płaszczyźnie), lub trzech liczb (w przestrzeni)
związek między dwoma ujęciami wektora - strzałką wektora (ujęcie graficzne) i liczbami opisującymi położenie początku i końca strzałki.
Współrzędne wektora otrzymujemy odejmując od współrzędnych końca wektora, współrzędne początku tego wektora.
· współrzędna x - owa wektora na rysunku ma wartość 7 (znajdujemy różnicę współrzędnych końca i początku wektora: 8 - 1 = 7).
· współrzędna y - owa w naszym wypadku ma wartość 4(bo 6 - 2 = 4).
Ostatecznie więc na powyższym rysunku mamy wektor [7,4].
Oba ujęcia - graficzne i analityczne - są równoważne, tzn. dają zgodne ze sobą wyniki. Zaletą ujęcia graficznego jest lepsze działanie na wyobraźnię, zaletą ujęcia analitycznego jest łatwość obliczeń matematycznych oraz możliwość tworzenia wektorów o więcej niż trzech wymiarach (znacznie trudniej byłoby wyobrazić sobie np. sześciowymiarowe wektory jako strzałki).
Dwa wektory są przeciwne wtedy, gdy jeden z nich powstaje przez "odwrócenie" drugiego - tzn. koniec pierwszego wektora staje się początkiem drugiego, a początek pierwszego wektora końcem drugiego.
Wektory przeciwne mają przeciwne współrzędne.
Np. wektorem przeciwnym do wektora [7,4] jest wektor [-7,-4].
Jak to widać z zapisu na rysunku wektor przeciwny do jest zapisywany jako wektor - (minus W).
Cechy wektorów przeciwnych:
· są do siebie równoległe (mają takie same kierunki)
· mają takie same długości (wartości)
· mają przeciwne zwroty.
Suma dwóch wektorów przeciwnych równa jest zero (jest wektorem zerowym).
+ ( -) = 0
Bardzo ważnym rodzajem wektora jest wektor jednostkowy. Jest to wektor którego długość wynosi 1, a ustawienie w przestrzeni (ew. na płaszczyźnie) jest dowolne. Jest on najczęściej oznaczany literą - jako, lub e, czasem i, niekiedy jako jedynka ze strzałką na górze .
Wektor jednostkowy jest to idealnym narzędziem matematycznym do wskazywania kierunku, ponieważ zawiera w sobie całą informację o kierunku, przy pominięciu informacji o wartości.
Dowolny wektor jest równy wektorowi jednostkowemu skierowanemu zgodnie z pomnożonemu przez długość (wartość) w.
Wektor jednostkowy ma szczególne znacznie, dla osi współrzędnych. Wyznacza on jednostki tych osi.
W przestrzeniach o ilości wymiarów większych niż 3 definicja wektora jednostkowego jest identyczna - tzn. wektor jednostkowy, będzie miał tyle składowych ile jest wymiarów, a długość będzie zawsze równa 1.
rodzaj działania
zapis i typ wielkości wynikowej
opis wielkości wynikowej
Dodawanie wektorów
Żeby dodać dwa wektory, gdy znamy ich współrzędne, należy dodać odpowiednie współrzędne - x-owe do x-owych, a y-owe do y-owych (ew. z-owe do z-owych).
Na płaszczyźnie(wx, wy) + (ux, uy) = (wx+ux, wy+uy)
W przestrzeni
(wx, wy, wz ) + (ux, uy, uz) = (wx+ux, wy+uy, wz + uz)
W odróżnieniu od dodawania liczb całkowitych wektor-suma wcale nie musi być dłuższy od któregoś z wektorów wyjściowych, a często bywa krótszy.Suma dwóch wektorów może być też wektorem zerowym (mimo, że wektory wyjściowe miały długości różne od zera).Zachodzi to w dwóch przypadkach:- oba sumowane wektory są zerowe- dodawane wektory są przeciwne - tzn. mają ten sam kierunek i wartość, ale przeciwne zwroty.
Odejmowanie wektorów
Żeby odjąć dwa wektory, gdy znamy ich współrzędne, należy odjąć odpowiednie współrzędne - x-owe od x-owych, a y-owe od y-owych (ew. z-owe od z-owych).
Na płaszczyźnie(wx, wy) - (ux, uy) = (wx - ux, wy - uy)
(wx, wy, wz ) - (ux, uy, uz) = (wx - ux, wy - uy, wz - uz)
Wektor-różnica wcale nie musi być krótszy od pierwszego z wektorów wyjściowych. Może być dłuższy. Różnica dwóch wektorów jest równa zero (jest wektorem zerowym) w dwóch przypadkach:
- oba odejmowane wektory są zerowe
- odejmowane wektory są równe
tzn. mają ten sam kierunek, zwrot i wartość.
mnożenie wektora przez liczbę
Tak samo dzielenie przez liczbę.
otrzymujemy nowy wektor
Aby wektor podzielić przez liczbę, mnożymy go przez odwrotność tej liczby
powstaje wektor a razy dłuższy od wektora wyjściowego.Zwrot wektora wynikowego jest:- taki sam jak wyjściowy, gdy a jest dodatnie
- przeciwny do wyjściowego, gdy a jest ujemne
Wynik może być równy zero (będzie tzw. wektorem zerowym) gdy:- wektor wyjściowy jest równy zero, lub- liczba a jest równa zero
mnożenie skalarne wektorów
otrzymujemy skalar
Powstaje liczba (skalar) o wartości równej iloczynowi wartości obu wektorów razy kosinus kąta między nimi zawartego.
Lub inaczej:
Iloczyn skalarny jest równy iloczynowi długości jednego wektora mnożonego przez długość rzutu drugiego wektora na kierunek wyznaczony przez pierwszy wektor (skomplikowane jest to zdanie, ale prościej chyba się nie da...). Iloczyn skalarny stanie się równy Zero, gdy którykolwiek z wektorów wyjściowych jest zerowy, lub wektory są do siebie prostopadłe.
mnożenie wektorowe wektorów...
quaresma2233