MARIAN W. DOBRY
PROCEDURA BUDOWY RÓŻNICZKOWYCH RÓWNAŃ RUCHU SYEMU MECHANICZNEGO Z WYKORZYSTANIEM RÓWNAŃ LAGRANGE’A II RODZJU
Korzystając z równań Lagrange’a II rodzaju, dla systemu mechanicznego pokazanego na rysunku:
1. zbudować równania różniczkowe ruchu (r.r.r.) i określić dynamiczne parametry systemu,
2. obliczyć częstość, częstotliwość, okres drgań własnych nie tłumionych i stopień tłumienia w systemie mechanicznym.
3. rozwiązać r.r.r. i określić ruch maszyny wirnikowej o masie M,
4. obliczyć naprężenia dynamiczne w elementach konstrukcji k1 oraz tłumiku c1.
Dane:
Obliczyć:
Wszystkie dane na rysunku:
Sprężyna k1: d, D, G
Tłumik c: dc
1) r.r.r., mz, cz, kz, Fz
2) ω0=?, f0=?, T0=?, ξ=?
3) x(t) = xM(t) = ?
4) τs(k1)(t)=?; σg(EJ)(t)=?; σc1(t)=?;
Do opracowania modelu matematycznego wykorzystano równania Lagrange’a II rodzaju:
(1)
gdzie: - współrzędne uogólnione,
- prędkości uogólnione,
Qj - siły czynne zewnętrzne,
QjP - siły pochodzenia potencjalnego,
QjR - siły niepotencjalne od mocy dyssypacji,
E – energia kinetyczna układu.
1. Ustalenie liczby stopni swobody i obranie współrzędnych uogólnionych
Z układu fizycznego wynika, że do opisu jednoznacznego ruchu systemu potrzebna jest tylko jedna współrzędna. System posiada zatem jeden stopień swobody.
s = 1; czyli j = 1
q1 = x1(t) – położenie masy M, (2)
Dla jednego stopnia swobody równania Lagrange’a II rodzaju przyjmują postać:
j=1 , (3)
2. Obliczenie energii kinetycznej układu jako funkcji współrzędnej i prędkości uogólnionej:
(4)
3. Obliczenie pochodnej cząstkowej energii kinetycznej po prędkości:
j = 1 , (5)
4. Obliczenie pochodnej po czasie z pochodnej energii kinetycznej po prędkości:
j = 1 , (6)
5. Obliczenie pochodnej energii kinetycznej po przemieszczeniu:
. (7)
6. Obliczenie siły czynnej, zewnętrznej:
j = 1
(8)
7. Obliczenie sił potencjalnych pochodzących od energii potencjalnej:
, (9)
, (10)
j = 1 , (11)
8. Obliczenie sił pochodzących od mocy dyssypacji:
, (12)
, (13)
j = 1 , (14)
9. Obliczone człony równań Lagrange’a II rodzaju podstawione do równania (3) dają postać:
(15)
Po przekształceniu według malejących pochodnych po czasie otrzymano:
(16)
Jest to równanie sił. Wymiar każdego wyrazu – [N].
Parametry dynamiczne systemu:
1) masa zastępcza:
(17)
2) współczynnik tłumienia zastępczego:
(18)
3) współczynnik zastępczy sprężystości:
(19)
4) siła zastępcza:
(20)
W celu przystosowania powyższych równań do wprowadzenia do programu MATLAB / simulink dokonano poniżej przedstawione przekształcenie:
Po podzielaniu przez masę zastępczą i pozostawieniu przyspieszenia po lewej stronie otrzymano:
(21)
...
arasybo