10. Proste zginanie.pdf

(157 KB) Pobierz
Microsoft Word - 10prozgi.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Proste zginanie
10. PROSTE ZGINANIE
10.1. Napr ħŇ enia i odkształcenia
Proste zginanie pr ħ ta pryzmatycznego wyst ħ puje wówczas gdy układ sił zewn ħ trznych po
jednej stronie jego przekroju poprzecznego redukuje si ħ do momentu (pary sił), którego
płaszczyzna działania jest prostopadła do płaszczyzny przekroju, a wektor jest równoległy do
jednej z głównych centralnych osi bezwładno Ļ ci przekroju poprzecznego. Moment ten M
nazywamy momentem zginaj Ģ cym. Naszym zadaniem b ħ dzie wyznaczenie macierzy
napr ħŇ e ı i odkształce ı oraz współrz ħ dnych wektora przemieszczenia w dowolnym punkcie
takiego pr ħ ta.
Rozwa Ň my wi ħ c, pokazany na rys. 10.1 pr ħ t pryzmatyczny o polu przekroju poprzecznego A
okre Ļ lony w układzie osi ( X, Y ,Z ) w którym o Ļ X jest osi Ģ pr ħ ta a osie ( Y, Z ) s Ģ głównymi
centralnymi osiami bezwładno Ļ ci jego przekroju poprzecznego. W rozwa Ň anym przypadku
wyst ħ puje proste zginanie w płaszczy Ņ nie ( X, Z ) a wektor momentu zginaj Ģ cego jest
równoległy do osi Y i dlatego na rysunku moment ten jest nazwany M y . Materiał pr ħ ta jest
izotropowy, liniowo spr ħŇ ysty o stałych materiałowych E oraz n.
Z
Y
v
( )
1 ,
,
0
0
Z
t
Y
xz
t
M y
xy
s
X
M y
X
M y
I
II
I
A
A
x
Rys. 10.1
x
Postawione zadanie rozwi ĢŇ emy post ħ puj Ģ c analogicznie jak w przypadku osiowego
rozci Ģ gania. Po dokonaniu my Ļ lowego przekroju pr ħ ta na dwie cz ħĻ ci, odrzuceniu cz ħĻ ci II i
przyło Ň eniu do cz ħĻ ci I układu sił wewn ħ trznych rozwa Ň ymy trzy komplety równa ı , tzn.
równania równowagi, geometryczne i fizyczne.
Równania równowagi wynikaj Ģ ce z twierdzenia o równowa Ň no Ļ ci odpowiednich układu sił
wewn ħ trznych i zewn ħ trznych w tym przypadku przyjm Ģ posta ę :
Í
Ë
ÐÐ
s
x
dA
=
0
,
ÐÐ
t
dA
=
0
,
ÐÐ
t
xz
dA
=
0
,
A
A
A
(9.1)
(
)
Í
ÐÐ
−
t
z
+
t
y
dA
=
0
,
ÐÐ
s
z
dA
=
M
,
ÐÐ
−
s
y
dA
=
0
.
xy
xz
x
y
x
Ì
A
A
A
Równania geometryczne b ħ d Ģ wynikiem analizy deformacji pr ħ ta po przyło Ň eniu obci ĢŇ e ı .
Obraz deformacji zginanego pr ħ ta przypuszczony w oparciu o przyj ħ te zało Ň enia odno Ļ nie
własno Ļ ci jego materiału i hipotez ħ płaskich przekrojów Bernoulliego pokazuje rys. 10.2.
108
xy
Ê
88670278.018.png 88670278.019.png 88670278.020.png 88670278.021.png 88670278.001.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Proste zginanie
Z
konfiguracja
pocz Ģ tkowa
Z
konfiguracja
aktualna
X
X
x
dx
warstwa oboj ħ tna
Rys. 10.2
= ,
• górne włókna uległy wydłu Ň eniu, a dolne skróceniu, istnieje warstwa włókien - warstwa
oboj ħ tna, których długo Ļę nie uległa zmianie, cho ę przyj ħ ły form ħ krzywoliniow Ģ o
stałym promieniu krzywizny r, i w konfiguracji pocz Ģ tkowej włókna te le Ň ały na
płaszczy Ņ nie ( X, Y ).
e
y
e
z
=
−
n
x
dx+ D dx
D ‘
W celu wyznaczenia odkształcenia liniowego e
rozwa Ň my deformacj ħ odcinka pr ħ ta o dowolnie
małej długo Ļ ci dx przed przyło Ň eniem obci ĢŇ e ı
(rys. 10.3). Po przyło Ň eniu obci ĢŇ enia przekroje
skrajne obróc Ģ si ħ i utworz Ģ dowolnie mały k Ģ t d j.
Je Ļ li r jest promieniem krzywizny warstwy
oboj ħ tnej to odkształcenia liniowe e włókien
odległych o z od warstwy oboj ħ tnej wynosz Ģ :
C ‘
C
z
D
X
z
A
B
warstwa
oboj ħ tna
dx
d j
r
z
e
=
lim
D
dx
=
lim
(
r
+
z
)
d
j
−
r
j
=
z
x
dx
®
0
dx
d
j
®
0
r
d
j
r
Rys. 9.3
Tak wi ħ c równania geometryczne maj Ģ posta ę :
e
=
r
e
=
e
=
−
n
=
−
n
r
x
y
y
x
g
xy
=
0
g
yz
=
0
g
zx
=
0
.
Napr ħŇ enia wyznaczymy korzystaj Ģ c z równa ı Hooke’a.
109
Analizuj Ģ c przypuszczony obraz deformacji pr ħ ta po przyło Ň eniu obci ĢŇ e ı przyjmiemy, Ň e:
• przekroje płaskie i prostopadłe do osi pr ħ ta przed przyło Ň eniem obci ĢŇ enia pozostały
płaskie i prostopadłe do osi pr ħ ta po deformacji,
• odkształcenia k Ģ towe włókien równoległych do osi układu odniesienia s Ģ równe zero,
• odkształcenia liniowe zwi Ģ zane s Ģ zale Ň no Ļ ci Ģ :
d
z
z
88670278.002.png 88670278.003.png 88670278.004.png 88670278.005.png 88670278.006.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Proste zginanie
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
)
Ù
®
s
=
E
e
x
1
+
n
x
1
−
2
n
x
y
z
x
x
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
)
Ù
®
s
=
0
y
1
+
n
y
1
−
2
n
x
y
z
y
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
Ù
®
s
=
0
z
1
+
n
z
1
−
2
n
x
y
z
z
t
xy G
=
g
xy
®
t
xy
=
0
;
t
yz G
=
g
yz
®
t
yz
=
0
;
t
zx G
=
g
®
t
=
0
Nale Ň y teraz sprawdzi ę czy wyprowadzone w oparciu o obserwacje deformacji pr ħ ta
napr ħŇ enia spełniaj Ģ równania równowagi (10.1) i zwi Ģ za ę napr ħŇ enia z obci ĢŇ eniami, które
redukuj Ģ si ħ tylko do momentu zginaj Ģ cego.
Zerowanie si ħ napr ħŇ e ı stycznych powoduje, Ň e równania drugie, trzecie i czwarte s Ģ
spełnione. Sprawdzamy pierwsze równanie:
ÐÐ
s
dA
=
0
®
ÐÐ
E
e
dA
=
0
®
E
ÐÐ
z
dA
=
0
x
x
r
A
A
A
jest ono spełnione bo całka przedstawia moment statyczny wzgl ħ dem osi Y przekroju
poprzecznego, a o Ļ ta jest jego osi Ģ centraln Ģ .
Równanie szóste:
ÐÐ
−
s
y
dA
=
0
®
−
E
ÐÐ
y
z
dA
=
0
x
r
A
A
jest spełnione bo osie ( Y, Z ) s Ģ głównymi osiami bezwładno Ļ ci przekroju poprzecznego, wi ħ c
całka w powy Ň szym równaniu, przedstawiaj Ģ ca moment dewiacji przekroju wzgl ħ dem tych
osi jest równa zero.
Sprawdzenie równania pi Ģ tego:
ÐÐ
s
z
dA
=
M
®
ÐÐ
E
z
2
dA
=
M
®
E
ÐÐ
z
2
dA
=
M
x
y
y
y
r
r
A
A
A
daje zale Ň no Ļę mi ħ dzy krzywizn Ģ osi zdeformowanego pr ħ ta i momentem zginaj Ģ cym:
1
=
M
y
,
(10.2)
r
E
J
y
co pozwala napisa ę zwi Ģ zki wi ĢŇĢ ce moment zginaj Ģ cy z odkształceniem liniowym i
napr ħŇ eniem normalnym:
e
=
M
y
z
(10.3)
x
E
J
y
110
Ç
×
Ç
×
×
Ç
)
zx
zx
88670278.007.png 88670278.008.png 88670278.009.png 88670278.010.png 88670278.011.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Proste zginanie
s
=
M
y
z
(10.4)
x
J
y
Ostatecznie wi ħ c macierze napr ħŇ e ı i odkształce ı przy prostym zginaniu w płaszczy Ņ nie
( X, Z ) lub, inaczej mówi Ģ c przy prostym zginaniu wzgl ħ dem osi Y maj Ģ posta ę :
Ä
M
Ô
Ä
M
y
z
0
0
Ô
Å
y
z
0
0
Õ
Å
E
J
Õ
Å
J
Õ
Å
y
Õ
Å
y
Õ
M
y
T
=
0
0
0
T
=
Å
0
−
n
z
0
Õ
(10.5)
s
Å
Õ
e
Å
E
J
Õ
Å
0
0
0
Õ
y
Å
Õ
M
Å
y
Õ
Æ
Ö
0
0
−
n
z
E
J
Æ
y
Ö
9.2. Analiza stanu napr ħŇ enia i odkształcenia
W pr ħ cie poddanym prostemu zginaniu wyst ħ puje jednoosiowy niejednorodny stan
napr ħŇ enia scharakteryzowany jednym tylko napr ħŇ eniem normalnym s , które zale Ň y
liniowo od współrz ħ dnej z punktu, w którym obliczamy napr ħŇ enia.
Wzór (10.4) dowodzi, Ň e ko ı ce wektorów napr ħŇ enia s le ŇĢ na płaszczy Ņ nie, któr Ģ mo Ň emy
nazwa ę płaszczyzn Ģ napr ħŇ enia. Kraw ħ d Ņ przeci ħ cia si ħ płaszczyzny napr ħŇ enia z
płaszczyzn Ģ przekroju poprzecznego nazywa ę b ħ dziemy osi Ģ oboj ħ tn Ģ , gdy Ň jest ona
miejscem geometrycznym punktów, w których warto Ļ ci napr ħŇ e ı normalnych spełniaj Ģ
równanie:
s = 0
Podstawienie do niego zale Ň no Ļ ci (10.4) daje równanie osi oboj ħ tnej dla przypadku prostego
zginania w płaszczy Ņ nie ( X, Z ):
z = 0,
co pokazuje, Ň e w rozwa Ň anym przypadku napr ħŇ enia zeruj Ģ si ħ w punktach le ŇĢ cych na osi
Y , to jest tej głównej centralnej osi bezwładno Ļ ci przekroju poprzecznego do której
równoległy jest wektor momentu zginaj Ģ cego. Zatem o Ļ oboj ħ tna przy prostym zginaniu
pokrywa si ħ z kierunkiem wektora momentu zginaj Ģ cego i jej poło Ň enie nie zale Ň y od
warto Ļ ci momentu zginaj Ģ cego.
Najwi ħ ksze co do bezwzgl ħ dnej warto Ļ ci napr ħŇ enia wyst Ģ pi Ģ w punktach najodleglejszych
od osi oboj ħ tnej i maj Ģ warto Ļę :
max
s
=
M
y
max
z
=
M
y
,
(10.6)
x
J
W
y
y
gdzie:
W
y =
J
y
- wska Ņ nik wytrzymało Ļ ci przy zginaniu wzgl ħ dem osi Y.
max
z
Układ (rozkład) sił wewn ħ trznych w przekroju poprzecznym pr ħ ta pokazuje rys. 10.4.
111
Å
Õ
88670278.012.png 88670278.013.png 88670278.014.png 88670278.015.png 88670278.016.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Proste zginanie
Z
s
=
M
y
h
x
g
J
y
o Ļ oboj ħ tna
Y
h g
M y
X
h d
s
=
M
y
h
x
J
d
y
X
Rys. 10.4
Poniewa Ň warto Ļ ci napr ħŇ e ı normalnych w tym przypadku nie zale ŇĢ od współrz ħ dnej y to
ich rozkład mo Ň na rysowa ę w płaszczy Ņ nie y = 0, jak to zostało pokazane na rys. 10.5.
Z
Z
M
Z
M
y
y
s
=
h
s
=
h
x
J
g
x
J
g
y
y
h g
Y
X
X
h d
M y
M
M
y
s
=
h
s
=
y
h
x
d
J
x
d
J
y
y
Rys. 9.5
Napr ħŇ enie normalne s jest równocze Ļ nie napr ħŇ eniem głównym w danym punkcie, a dwa
pozostałe napr ħŇ enia główne s Ģ równe zeru i ich kierunki to jakiekolwiek dwa prostopadłe do
siebie i równocze Ļ nie prostopadłe do osi pr ħ ta.
Ekstremalne napr ħŇ enia styczne wyst ħ puj Ģ w przekrojach nachylonych pod k Ģ tem 45 ° do osi
pr ħ ta i równaj Ģ si ħ połowie napr ħŇ e ı normalnych w danym punkcie przekroju poprzecznego.
Stan odkształcenia jest te Ň niejednorodny ale trójosiowy. Odkształcenia liniowe w kierunku
równoległym do osi pr ħ ta s Ģ odkształceniami głównymi. Pozostałe dwa odkształcenia główne
s Ģ sobie równe a ich kierunki to jakiekolwiek dwa prostopadłe do siebie i równocze Ļ nie
prostopadłe do osi pr ħ ta.
Na zako ı czenie warto zwróci ę uwag ħ , Ň e znaki w wyprowadzonych wzorach obowi Ģ zuj Ģ
przy przyj ħ tych zwrotach osi układu odniesienia i wektora momentu gn Ģ cego. W przypadku
innych zwrotów nale Ň y we wzorach uwzgl ħ dni ę korekt ħ znaków.
10.3. Energia spr ħŇ ysta pr ħ ta zginanego
Podstawienie wyra Ň e ı okre Ļ laj Ģ cych elementy macierzy napr ħŇ e ı do wzorów (8.18) pozwala
na wyznaczenie g ħ sto Ļ ci energii spr ħŇ ystej i energii spr ħŇ ystej dla rozwa Ň anego przypadku
zginania prostego pr ħ ta w płaszczy Ņ nie ( X, Z ):
2
Ä
M
Ô
1
F
=
Å
y
z
Õ
,
2
E
J
Æ
y
Ö
112
88670278.017.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin