14. Mimośrodowe rozciąganie i ściskanie.pdf

(209 KB) Pobierz
Microsoft Word - 14mimroz.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Mimo Ļ rodowe rozci Ģ ganie i Ļ ciskanie
14. MIMO ĺ RODOWE ROZCI ġ GANIE I ĺ CISKANIE
14.1. Napr ħŇ enia i odkształcenia
Mimo Ļ rodowe rozci Ģ ganie pr ħ ta pryzmatycznego wyst ħ puje wówczas gdy układ sił
zewn ħ trznych po jednej stronie jego przekroju poprzecznego redukuje si ħ do wypadkowej
N równoległej do osi pr ħ ta, zaczepionej poza jego Ļ rodkiem ci ħŇ ko Ļ ci. Poszukiwa ę b ħ dziemy
elementów macierzy napr ħŇ e ı i odkształce ı dowolnym punkcie tak obci ĢŇ onego pr ħ ta.
Rozwa Ň my wi ħ c, pokazany na rys. 14.1 pr ħ t pryzmatyczny o polu przekroju poprzecznego A
okre Ļ lony w układzie osi ( X, Y ,Z ) w którym o Ļ X jest osi Ģ pr ħ ta a osie ( Y, Z ) s Ģ głównymi
centralnymi osiami bezwładno Ļ ci jego przekroju poprzecznego. Materiał pr ħ ta jest
izotropowy, liniowo spr ħŇ ysty o stałych materiałowych E oraz n. Wypadkowa N , normalna
do przekroju, zaczepiona jest w punkcie o współrz ħ dnych y N oraz z N .
Z
v
( )
,
0
Y
Z
( y N , z N )
N
N
N
Y
X
M z
M y
I
II
A
x
Rys. 14.1
M = , których wektory s Ģ
równoległe do odpowiednich osi układu odniesienia (rys. 14.1). W ten sposób otrzymali Ļ my
osiowe rozci Ģ ganie i dwa proste zginania wzgl ħ dem osi Y i Z , dla których macierze napr ħŇ e ı
s Ģ ju Ň nam znane. We wszystkich tych trzech przypadkach jedynym niezerowym elementem
macierzy napr ħŇ e ı jest napr ħŇ enie normalne s . Sumowanie, zgodnie z zasad Ģ superpozycji,
daje wzór okre Ļ laj Ģ ce te napr ħŇ enia, dla analizowanego przypadku, w postaci:
M
y
=
N
z
N
i
z
N
y
N
s
=
N
+
M
y
z
+
M
z
y
(14.1)
x
A
J
J
y
z
lub, po wykorzystaniu zale Ň no Ļ ci mi ħ dzy N oraz, M i M w formie:
s
=
N
+
N
z
N
z
+
N
y
N
y
.
(14.2)
x
A
J
J
y
z
Macierz odkształce ı odpowiadaj Ģ c temu stanowi napr ħŇ enia łatwo wyznaczymy z równa ı
180
1 ,
Przy rozwi Ģ zywaniu postawionego zadanie wykorzystamy wyniki uzyskane dla przypadku
osiowego rozci Ģ gania i prostego zginania.
Zgodnie z zasad Ģ de Saint-Venanta statycznie równowa Ň ne obci ĢŇ enia wywołuj Ģ jednakowe
stany napr ħŇ enia i odkształcenia, a to pozwala zast Ģ pi ę wypadkow Ģ N ,zaczepion Ģ w punkcie
( y N , z N ) równowa Ň nym układem zło Ň onym z siły podłu Ň nej N , zaczepionej w Ļ rodku
ci ħŇ ko Ļ ci pr ħ ta i dwoma momentami
88670300.044.png 88670300.045.png 88670300.046.png 88670300.047.png 88670300.001.png 88670300.002.png 88670300.003.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Mimo Ļ rodowe rozci Ģ ganie i Ļ ciskanie
Hooke’a, i b ħ dzie ona zawierała jedynie trzy odkształcenia liniowe, z których dwa s Ģ sobie
równe.
Wy Ň ej otrzymane wzory mog Ģ by ę równie Ň stosowane w tej formie przy mimo Ļ rodowym
Ļ ciskaniu pr ħ tów bardzo kr ħ pych, gdy Ň tylko wówczas spełniona jest zasada zesztywnienia,
przy której zało Ň eniu wzory te zostały wyprowadzone mo Ň e by ę przyj ħ ta. W przypadku
Ļ ciskania przypadku wypadkowa N ma zwrot przeciwny do normalnej zewn ħ trznej, a jej
współrz ħ dnej N przypisujemy znak ujemny.
Je Ň eli we wzorze (14.2) przestrzega ę b ħ dziemy umowy znakowania sił podłu Ň nych (plus dla
siły rozci Ģ gaj Ģ cej, minus dla Ļ ciskaj Ģ cej) oraz tego, Ň e ( y N , z N ) oraz ( y, z ) oznaczaj Ģ
współrz ħ dne punktów w których wyznaczamy napr ħŇ enia w przyj ħ tym układzie odniesienia,
to wyznaczone napr ħŇ enia b ħ d Ģ miały znaki zgodne z przyj ħ t Ģ dla nich umow Ģ znakowania.
13.2. Analiza stanu napr ħŇ enia i odkształcenia
W tym przypadku w pr ħ cie wyst ħ puje jednoosiowy, niejednorodny stan napr ħŇ enia. Warto Ļ ci
napr ħŇ e ı normalnych s nie zale ŇĢ od zmiennej x, s Ģ liniow Ģ funkcj Ģ zmiennych y i z .
Wyniki analizy stanu napr ħŇ enia i odkształcenia s Ģ analogiczne jak w przypadkach osiowego
rozci Ģ gania, prostego czy uko Ļ nego zginania. Podobnie te Ň jak w poprzednich przypadkach
ko ı ce wektorów napr ħŇ enia s le ŇĢ na płaszczy Ņ nie - płaszczy Ņ nie napr ħŇ e ı . Kraw ħ d Ņ
przeci ħ cia si ħ płaszczyzny napr ħŇ e ı z płaszczyzn Ģ przekroju poprzecznego - o Ļ oboj ħ tna-
stanowi miejsce geometryczne punktów, w których warto Ļ ci napr ħŇ e ı normalnych spełniaj Ģ
równanie:
s
=
0
.
Podstawiaj Ģ c do niego wyra Ň enie (14.2), a nast ħ pnie dokonuj Ģ c kolejnych przekształce ı
dostajemy równanie osi oboj ħ tnej dla rozwa Ň anego przypadku:
N
+
N
z
N
z
+
N
y
N
y
=
0
®
1
+
z
N
*
z
+
y
N
*
y
=
0
®
z
N
*
z
+
y
N
*
y
=
−
1
A
J
J
J
A
J
A
i
2
i
2
y
z
y
z
y
z
y
+
z
=
1
,
(14.3)
a
y a
z
i
2
i
2
(14.4)
y
gdzie:
a
=
−
z
,
a
=
−
,
Z
y
y
z
z
N
N
( y N , z N )
to odcinki jakie o Ļ oboj ħ tna odcina na osiach
głównych centralnych (patrz rys.14.2), a
a y
Y
i
2
=
J
y
oraz
i
2
=
J
z
- kwadraty głównych
o Ļ oboj ħ tna
y
z
A
A
a z
centralnych promieni bezwładno Ļ ci przekroju
poprzecznego.
Rys. 14.2
Analizuj Ģ c równanie osi oboj ħ tnej (14.3) spostrzegamy, Ň e w przypadku mimo Ļ rodowego
rozci Ģ gania:
•
poło Ň enie osi oboj ħ tnej nie zale Ň y od warto Ļ ci siły obci ĢŇ aj Ģ cej N ,
181
88670300.004.png 88670300.005.png 88670300.006.png 88670300.007.png 88670300.008.png 88670300.009.png 88670300.010.png 88670300.011.png 88670300.012.png 88670300.013.png 88670300.014.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Mimo Ļ rodowe rozci Ģ ganie i Ļ ciskanie
•
o Ļ oboj ħ tna nie przechodzi przez Ļ rodek ci ħŇ ko Ļ ci przekroju poprzecznego, a odcinki jakie
odcina na osiach układu współrz ħ dnych znajduj Ģ si ħ w jego ę wiartce po przeciwnej
stronie punktu przyło Ň enia siły,
•
poło Ň enie osi oboj ħ tnej zale Ň y od współrz ħ dnych punktu przyło Ň enia siły obci ĢŇ aj Ģ cej i
geometrii przekroju poprzecznego.
Napr ħŇ enia normalne s osi Ģ gaj Ģ warto Ļ ci ekstremalne w punktach przekroju poprzecznego
najdalej poło Ň onych od osi oboj ħ tnej.
Rozkład tych napr ħŇ e ı w przekroju
poprzecznym pr ħ ta pokazuje rys.14.3.
Jest on wynikiem dodania do siebie
rozkładów z osiowego rozci Ģ gania i
dwóch prostych zgina ı wzgl ħ dem osi
Y oraz Z .
Z
Y
X
o Ļ oboj ħ tna
Rys.14.3
14.3. Wymiarowanie pr ħ tów mimo Ļ rodowo rozci Ģ ganych lub Ļ ciskanych
Ograniczymy si ħ , jak poprzednio tylko do wymiarowania ze wzgl ħ du na stan graniczny
no Ļ no Ļ ci przyjmuj Ģ c, Ň e b ħ dzie on osi Ģ gni ħ ty je Ļ li przynajmniej w jednym punkcie przekroju
poprzecznego wielko Ļę napr ħŇ enia normalnego b ħ dzie równa wytrzymało Ļ ci obliczeniowej.
Je Ļ li pr ħ t wykonany jest z materiału, którego wytrzymało Ļ ci obliczeniowe przy rozci Ģ ganiu R r
i Ļ ciskaniu R c , s Ģ ró Ň ne to warunek stanu granicznego no Ļ no Ļ ci stanowi Ģ nierówno Ļ ci:
max
s
x
r
£
R
r
i
max
s
x
c
£
R
c
gdzie:
max s
x
r
i
max
s
c
- najwi ħ ksze napr ħŇ enia rozci Ģ gaj Ģ ce i Ļ ciskaj Ģ ce w przekroju
poprzecznym.
W przypadku materiału o tej samej wytrzymało Ļ ci obliczeniowej na rozci Ģ ganie i Ļ ciskanie
(materiał izonomiczny) warunek wymiarowania b ħ dzie jeden:
R
£
max x
s
£
R
.
Gdy przekrój poprzeczny pr ħ ta ma dwie osie symetrii i obrys zewn ħ trzny jego kształtu jest
prostok Ģ tny np. dwuteownik, prostok Ģ t z wyci ħ tymi otworami itp., to maksymalne napr ħŇ enia
normalne wyst Ģ pi w naro Ň u po przeciwnej stronie osi oboj ħ tnej i b ħ dzie miało warto Ļę :
max
s
=
N
+
M
y
+
M
z
.
x
A
W
W
y
z
W tym miejscu ponownie nale Ň y podkre Ļ li ę , Ň e w przypadku mimo Ļ rodowego Ļ ciskania
konieczne jest spełnienie warunków pozwalaj Ģ cych na przyj ħ cie zasady zesztywnienia, co
ogranicza zastosowanie wyprowadzonych zale Ň no Ļ ci do kr ħ pych pr ħ tów.
182
x
s .
W przypadku materiału o tej samej wytrzymało Ļ ci obliczeniowej na rozci Ģ ganie i Ļ ciskanie
(materiał izonomiczny) warunek wymiarowania b ħ dzie jeden:
max x
88670300.015.png 88670300.016.png 88670300.017.png 88670300.018.png 88670300.019.png 88670300.020.png 88670300.021.png 88670300.022.png 88670300.023.png 88670300.024.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Mimo Ļ rodowe rozci Ģ ganie i Ļ ciskanie
13.4. Rdze ı przekroju
Jak ju Ň wy Ň ej powiedziano, w przypadku mimo Ļ rodowego rozci Ģ gania lub Ļ ciskania o Ļ
oboj ħ tna nie przechodzi przez Ļ rodek ci ħŇ ko Ļ ci przekroju poprzecznego, jej poło Ň enie nie
zale Ň y od wielko Ļ ci siły obci ĢŇ aj Ģ cej i okre Ļ la je równanie odcinkowe prostej (14.3):
y
+
z
=
1
.
a
y a
z
Dowiedziemy dwóch prostych twierdze ı o osi oboj ħ tnej wynikaj Ģ cych z tego równania.
Twierdzenie 1: oddalaniu si ħ punktu przyło Ň enia siły od Ļ rodka ci ħŇ ko Ļ ci przekroju
poprzecznego towarzyszy przybli Ň anie si ħ osi oboj ħ tnej do Ļ rodka ci ħŇ ko Ļ ci i odwrotnie.
Niech punkt 1 (rys.14.4) o współrz ħ dnych (
y
N z
1
,
N
1
) okre Ļ la
Z
pocz Ģ tkowe przyło Ň enie siły, a
i
2
i
2
2
y
a
=
−
z
oraz
a
=
−
poło Ň enie odpowiadaj Ģ cej mu
y
1
y
z
1
z
a y 1
a y 2
1
Y
N
1
N
1
osi oboj ħ tnej l 1 . Niech punkt 2 o współrz ħ dnych (
y
N z
2
,
N
2
)
a z 2
okre Ļ la nowe przyło Ň enie siły, a
i
2
i
2
a
=
−
z
oraz
a
=
−
y
poło Ň enie odpowiadaj Ģ cej mu
l 1
a z 1
l 2
y
2
z
2
y
z
N
2
N
2
osi oboj ħ tnej l 2 .
Rys. 14.4
Poniewa Ň
y
N
2
>
y
N
1
oraz
z
N
2
>
z
N
1
to
a
y
2
<
a
y
1
oraz
a
z
2
<
a
z
1
, co dowodzi
prawdziwo Ļ ci twierdzenia 1.
Twierdzenie 2: obrotowi osi oboj ħ tnej wokół ustalonego punktu odpowiada przemieszczanie
si ħ punktu przyło Ň enia siły po prostej.
Niech punkt A o współrz ħ dnych (
A z
,
A
)
y .
Współrz ħ dne obu punktów spełniaj Ģ równanie osi oboj ħ tnej
(14.3)
N z
,
N
)
Z
(
y
A
) (
+
z
A
)
=
1
.
1
Y
−
i
2
y
−
i
2
z
z
N
y
N
l
Je Ļ li przekształcimy to równanie do postaci:
(
y
N
) (
+
z
N
)
=
1
A
−
i
2
y
−
i
2
z
z
A
y
A
y b ħ d Ģ ustalone, to wida ę , Ň e
współrz ħ dne punktów przyło Ň enia siły
A z
,
A
)
Rys. 14.5
y spełniaj Ģ
równanie prostej co dowodzi słuszno Ļ ci twierdzenia 2.
(
N z
,
)
N
W przypadku mimo Ļ rodowego rozci Ģ gania i Ļ ciskania napr ħŇ enia normalne w przekroju
mog Ģ by ę jednakowego lub ró Ň nych znaków. B ħ d Ģ one miały we wszystkich punktach
183
y (rys.14.5) le Ň y na osi
oboj ħ tnej l odpowiadaj Ģ cej przyło Ň eniu siły w punkcie 1 o
współrz ħ dnych (
w którym współrz ħ dne (
88670300.025.png 88670300.026.png 88670300.027.png 88670300.028.png 88670300.029.png 88670300.030.png 88670300.031.png 88670300.032.png 88670300.033.png 88670300.034.png 88670300.035.png 88670300.036.png 88670300.037.png 88670300.038.png 88670300.039.png 88670300.040.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Mimo Ļ rodowe rozci Ģ ganie i Ļ ciskanie
przekroju ten sam znak jedynie wtedy, gdy o Ļ oboj ħ tna – której poło Ň enie zale Ň y od
współrz ħ dnych poło Ň enia wypadkowej sił obci ĢŇ aj Ģ cych – b ħ dzie le Ň ała poza przekrojem lub
była styczna do niego . Miejsce geometryczne punktów przekroju poprzecznego pr ħ ta w
których przyło Ň ona siła, równoległa do jego osi wywołuje napr ħŇ enia normalne jednego
znaku w całym przekroju nazywa ę b ħ dziemy rdzeniem przekroju. Zagadnienie wyznaczenia
rdzenia przekroju ma istotne znaczenie praktyczne w przypadku pr ħ tów mimo Ļ rodowo
Ļ ciskanych wykonanych z materiałów o niewielkiej wytrzymało Ļ ci na rozci Ģ ganie (np. słupy
betonowe czy filary ceglane). Takie konstrukcje dobrze jest kształtowa ę w formie
zapewniaj Ģ cej poło Ň enie wypadkowej siły Ļ ciskaj Ģ cej wewn Ģ trz rdzenia przekroju, co
zapewnia wyst ħ powanie jedynie napr ħŇ e ı Ļ ciskaj Ģ cych. Wyznaczenie rdzenia przekroju
prze Ļ ledzimy (nie trac Ģ ogólno Ļ ci rozwa Ň a ı ) na przykładzie pokazanym na rys.14.6.
Po wyznaczeniu głównych centralnych osi
bezwładno Ļ ci ( Y, Z ) i warto Ļ ci ich promieni
bezwładno Ļ ci y
5
3
Z
i prowadzimy styczn Ģ
1-1 uwa Ň aj Ģ c j Ģ za o Ļ oboj ħ tn Ģ . Styczna 1-1
odcina na osiach układu współrz ħ dnych
odcinki y
i oraz z
4
4
1
2
a .
Współrz ħ dne punktu 1 przyło Ň enia siły,
któremu odpowiada o Ļ oboj ħ tna 1-1
wyznaczamy wykorzystuj Ģ c zale Ň no Ļ ci (14.4)
wyst ħ puj Ģ ce w ogólnym równaniu osi
oboj ħ tnej
a oraz z
2
5
3
3
4
A
1
1
5
2
Y
Rys. 14.6
i
2
i
2
y
y
=
−
z
,
z
=
−
.
N
1
N
1
a
a
y
1
z
1
Powtarzaj Ģ c rozumowanie dla kolejnych stycznych do obrysu przekroju dostajemy punkty 2,
3, 4 i 5, które s Ģ punktami krzywej rdzeniowej tzn. krzywej o tej własno Ļ ci, Ň e przyło Ň enie
siły w jej punktach daje osie oboj ħ tne, styczne do przekroju. Cał Ģ krzyw Ģ rdzeniow Ģ
otrzymujemy ł Ģ cz Ģ c te punkty odcinkami prostych. Wynika to z twierdzenia 2 bo od osi
oboj ħ tnej 1-1 do osi oboj ħ tnej 2-2 przechodzimy obracaj Ģ c je wokół punktu A, temu za Ļ
zgodnie z tym twierdzeniem towarzyszy przesuwanie si ħ punktu przyło Ň enia siły po prostej.
Punktom przyło Ň enia siły wewn Ģ trz krzywej rdzeniowej odpowiadaj Ģ osie oboj ħ tne poza
przekrojem i wynika to z twierdzenia 1 o oddalaniu si ħ osi od Ļ rodka ci ħŇ ko Ļ ci je Ļ li siła
zbli Ň a si ħ do niego. Zatem rdze ı przekroju w analizowanym przypadku stanowi ten
zacieniony obszar.
Z opisanej metody konstrukcji rdzenia wynika kilka prostych wskazówek odno Ļ nie kształtu
rdzenia dla przekrojów ograniczonych odcinkami prostych:
• rdze ı jest figur Ģ wypukł Ģ
• ma tyle boków, ile boków ma najmniejszy wielobok opisany na przekroju
• jest figur Ģ symetryczn Ģ dla symetrycznego przekroju.
W przypadku przekrojów o brzegu krzywoliniowym, równanie stycznej do brzegu razem ze
znanym równaniem brzegu i zale Ň no Ļ ciami (14.4) pozwala na napisanie równania krzywej
rdzeniowej i tym samym wyznaczenie ich rdzenia przekroju.
184
88670300.041.png 88670300.042.png 88670300.043.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin