15. Skręcanie prętów o przekroju kołowo symetrycznym i prostokątnym.pdf

(252 KB) Pobierz
Microsoft Word - 15skrec.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Skr ħ canie pr ħ tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok Ģ tnym
M nazywamy momentem skr ħ caj Ģ cym. Naszym zadaniem b ħ dzie przede
wszystkim wyznaczenie macierzy napr ħŇ e ı i odkształce ı w dowolnym punkcie pr ħ ta.
Zagadnienie skr ħ cania pr ħ tów pryzmatycznych daje si ħ rozwi Ģ za ę prostymi metodami
wytrzymało Ļ ci materiałów tylko w przypadku pr ħ tów o kołowo symetrycznym przekroju
poprzecznym.
Rozwa Ň my wi ħ c, pokazany na rys. 15.1 pr ħ t pryzmatyczny o kołowym przekroju
poprzecznym, którego pole jest równe A, okre Ļ lony w układzie osi ( X, Y ,Z ) w którym o Ļ X
jest osi Ģ pr ħ ta a dwie pozostałe s Ģ osiami głównymi centralnymi jego przekroju
poprzecznego. Materiał pr ħ ta jest liniowo spr ħŇ ysty o stałych materiałowych E oraz n.
s
Z
Y
v
( )
,
0
0
Z
t
Y
xz
t
xy
M s
M s
M s
s
X
X
I
II
I
A
A
x
Rys. 15.1
x
Postawione zadanie rozwi ĢŇ emy post ħ puj Ģ c według kilkakrotnie ju Ň stosowanego algorytmu.
Po dokonaniu my Ļ lowego przekroju pr ħ ta na dwie cz ħĻ ci, odrzuceniu cz ħĻ ci II i przyło Ň eniu
do cz ħĻ ci I układu sił wewn ħ trznych rozwa Ň ymy trzy komplety równa ı tzn. równania
równowagi, geometryczne i fizyczne.
Równania równowagi wynikaj Ģ ce z twierdzenia o równowa Ň no Ļ ci odpowiednich układu sił
wewn ħ trznych i zewn ħ trznych w tym przypadku przyjm Ģ posta ę :
Í
Ë
ÐÐ
s
x
dA
=
0
,
ÐÐ
t
xy
dA
=
0
,
ÐÐ
t
xz
dA
=
0
,
A
A
A
(15.1)
(
)
ÐÐ
( )
ÐÐ
ÐÐ
−
t
z
+
t
y
dA
=
M
x
,
s
z
dA
=
0
,
−
s
y
dA
=
0
.
Í
xy
xz
s
x
x
Ì
A
A
A
Równania geometryczne sformułujemy w oparciu o przypuszczony obraz deformacji pr ħ ta.
Przyj ħ te zało Ň enia o własno Ļ ciach materiału pr ħ ta, małych przemieszczeniach i zasada
198
15. SKR Ħ CANIE PR Ħ TÓW O PRZEKROJU KOŁOWO SYMETRYCZNYM I
PROSTOK ġ TNYM
15.1. Napr ħŇ enia i odkształcenia
Ze skr ħ caniem pr ħ ta pryzmatycznego mamy do czynienia wówczas, gdy układ sił
zewn ħ trznych po jednej stronie jego przekroju poprzecznego redukuje si ħ do momentu,
którego płaszczyzna działania jest styczna do przekroju, a wektor jest równoległy do osi pr ħ ta.
Moment ten
1 ,
Ê
88670304.017.png 88670304.018.png 88670304.019.png 88670304.020.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Skr ħ canie pr ħ tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok Ģ tnym
płaskich przekrojów pozwalaj Ģ przyj Ģę obraz jego deformacji po obci ĢŇ eniu pokazany na rys.
15.2. Narysowana na powierzchni zewn ħ trznej pr ħ ta siatka prostopadłych do siebie linii po
Z
r
r
A
g
g
d j
( )
x
j
( )
x
B
j
( )
l
B ’
t
X
x
t
dx
M s ( x )
l
dx
Rys. 15.2
przyło Ň eniu momentu skr ħ caj Ģ cego deformuje si ħ tak, Ň e linie równoległe do osi pr ħ ta
przechodz Ģ w linie Ļ rubowe a linie prostopadłe do osi pr ħ ta pozostaj Ģ do niego prostopadłe.
Mo Ň na wi ħ c opisa ę mechanizm deformacji jako obroty wokół osi pr ħ ta płaskich kołowych.
nie deformuj Ģ cych si ħ przekrojów przy nie zmieniaj Ģ cych si ħ mi ħ dzy nimi odległo Ļ ciach,
zatem odkształcenia liniowe włókien równoległych do osi układu odniesienia s Ģ równe zeru:
0
=
e
y
=
e
z
=
,
g .
K Ģ t o jaki obracaj Ģ si ħ poszczególne przekroje nazywa ę b ħ dziemy k Ģ tem skr ħ cenia i
oznaczymy go ( )
yz
=
0
j .
Dla dalszej analizy deformacji pr ħ ta wytnijmy z niego element o dowolnie małej długo Ļ ci dx
(patrz rys. 15.2). Przyrost k Ģ ta skr ħ cenia na tym odcinku oznaczmy przez ( )
d j .
x
Z rys.15.2 odczytujemy, Ň e na pobocznicy zachodz Ģ zale Ň no Ļ ci:
BB
'
=
dx
g
i
BB '
=
d
j
( ) r
x
zatem
g =
r
d
( )
dx
x
,
r
r
gdzie: g - odkształcenie k Ģ towe na pobocznicy pr ħ ta.
Je Ļ li dalej przyjmiemy, Ň e zale Ň no Ļ ci zauwa Ň one na pobocznicy spełnione s Ģ równie Ň
wewn Ģ trz pr ħ ta to mo Ň emy napisa ę :
( )
dx
g=
r
d j
x
(15.2)
gdzie: g - odkształcenie k Ģ towe w punkcie o promieniu wodz Ģ cym r dwóch prostopadłych
do siebie włókien, z których jedno jest równoległe do osi pr ħ ta a drugie prostopadłe do
promienia wodz Ģ cego.
Po wprowadzeniu poj ħ cia jednostkowego k Ģ ta skr ħ cenia okre Ļ lonego wzorem:
( )
x
d
( )
dx
x
,
(15.3)
199
e
x
oraz
j
j
q =
88670304.001.png 88670304.002.png 88670304.003.png 88670304.004.png 88670304.005.png 88670304.006.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Skr ħ canie pr ħ tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok Ģ tnym
w miejsce zale Ň no Ļ ci (15.2) dostajemy:
( )
r
x
.
(15.4)
Z równa ı fizycznych Hooke’a otrzymujemy:
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
)
Ù
®
s
=
0
x
1
+
n
x
1
−
2
n
x
y
z
x
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
)
Ù
®
s
=
0
y
1
+
n
y
1
−
2
n
x
y
z
y
s
=
E
É
e
+
n
(
e
+
e
+
e
)
Ù
®
s
=
0
z
1
+
n
z
1
−
2
n
x
y
z
z
t
yz G
=
g
yz
®
t
yz
=
0
oraz
t
=
G
g
=
G
rq
( )
x
(15.5)
Z
Kierunek wektora tych ostatnich napr ħŇ e ı
stycznycht, jest prostopadły do promienia
wodz Ģ cego punktu r a jego zwrot jest taki,
Ň e kr ħ ci wzgl ħ dem Ļ rodka tak samo jak
obci ĢŇ aj Ģ cy przekrój moment skr ħ caj Ģ cy.
Jak wida ę z rys. 15.3 napr ħŇ enia styczne w
rozwa Ň anym punkcie, równoległe do osi
układu odniesienia, mo Ň na wyrazi ę poprzez
napr ħŇ enie styczne t wzorami:
t
z
t xy
t xz
r
Y
a
y
Rys.15.3
t
=
−
t
sin
a
i
t
=
t
cos
a
(15.6)
xy
xz
a po podstawieniu (15.4) przyjmuj Ģ posta ę :
t
xy
=
−
G
q
( ) z
x
i
t =
xz
G
q
( ) y
x
.
(15.7)
Wracamy do równa ı równowa Ň no Ļ ci (15.1). Pierwsze, pi Ģ te i szóste z uwagi na zerowania si ħ
napr ħŇ e ı normalnych s Ģ spełnione to Ň samo Ļ ciowo.
Równanie drugie
ÐÐ
t
xy
dA
=
ÐÐ
−
G
q
( )
x
z
dA
=
−
G
q
( )
x
ÐÐ
z
dA
=
0
,
A
A
A
jest spełnione, bo całka to moment statyczny wzgl ħ dem osi centralnej Y .
Z analogicznego powodu spełnione jest trzecie równanie równowa Ň no Ļ ci:
ÐÐ
t
xz
dA
=
ÐÐ
G
q
( )
x
y
dA
=
−
G
q
( )
x
ÐÐ
y
dA
=
0
.
A
A
A
Przejd Ņ my do równania czwartego:
ÐÐ
(
−
t
xy
z
+
t
xz
y
)
dA
=
M
s
( )
x
A
200
g =
Ç
×
Ç
×
Ç
×
88670304.007.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Skr ħ canie pr ħ tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok Ģ tnym
Podstawienie pod całk ħ zale Ň no Ļ ci (15.7) i kolejne przekształcenia daj Ģ
ÐÐ
[
G
q
( )
x
z
2
+
G
q
( )
y
2
]
dA
=
M
( ) ®
G
q
( ) (
x
ÐÐ
z
2
+
y
2
)
dA
=
M
( )
s
s
A
A
q
( )
x
=
M
s
( )
x
(15.8)
G
J
0
gdzie:
J
=
ÐÐ
(
y
2
+
z
2
)
dA
=
ÐÐ
r to biegunowy moment bezwładno Ļ ci przekroju
2
dA
0
A
A
poprzecznego wzgl ħ dem jego Ļ rodka ci ħŇ ko Ļ ci, a iloczyn 0
GJ nazywany jest sztywno Ļ ci Ģ na
skr ħ canie.
Wstawiaj Ģ c (15.8) do (15.5) otrzymujemy wzór okre Ļ laj Ģ cy rozkład napr ħŇ e ı stycznych w
przekroju poprzecznym skr ħ canego pr ħ ta o przekroju kołowo-symetrycznym:
t
=
M s
( ) r
x
.
(15.9)
J
0
14.2. Analiza stanu napr ħŇ enia i odkształcenia
W rozwa Ň anym przypadku na płaszczyznach prostopadłych do osi układu odniesienia nie ma
napr ħŇ e ı normalnych a wyst ħ puj Ģ ce w płaszczy Ņ nie przekroju poprzecznego napr ħŇ enia
styczne okre Ļ lone wzorem (15.9) s Ģ liniowo zale Ň ne od odległo Ļ ci od jego Ļ rodka ci ħŇ ko Ļ ci.
Zatem sw Ģ najwi ħ ksz Ģ warto Ļę osi Ģ gaj Ģ one w punktach le ŇĢ cych na obwodzie:
max
t
=
M
s
( )
x
r
=
M
s
( )
x
(15.10)
J
W
0
0
gdzie:
W
0 =
J
0
- wska Ņ nik wytrzymało Ļ ci przy skr ħ caniu (lub biegunowy wska Ņ nik
r
wytrzymało Ļ ci)
Rozkład tych napr ħŇ e ı stycznych pokazany
jest na rys.15.4 i jak ju Ň powiedziano wy Ň ej
ich kierunek jest prostopadły do wektora
wodz Ģ cego punktu a zwrot taki, Ň e kr ħ c Ģ one
wzgl ħ dem Ļ rodka ci ħŇ ko Ļ ci tak samo jak
obci ĢŇ aj Ģ cy przekrój moment skr ħ caj Ģ cy.
Kołowa symetria przekroju powoduje, Ň e taki
liniowy rozkład wyst ħ puje na ka Ň dym
odcinku przechodz Ģ cym przez Ļ rodek
przekroju poprzecznego.
max t
max t
Rys. 15.4
Pokazuje to wyra Ņ niej rys. 14.5, który mo Ň e równie Ň ułatwi ę zrozumienie, Ň e w omawianym
przypadku w ka Ň dym punkcie pr ħ ta mamy do czynienia z płaskim stanem napr ħŇ enia
(dokładniej z czystym Ļ cinaniem) i Ň e płaszczyzn Ģ tego stanu jest płaszczyzna prostopadła do
przekroju poprzecznego i prostopadła do wektora wodz Ģ cego punktu. Napr ħŇ enia główne, z
których jedno jest rozci Ģ gaj Ģ ce a drugie Ļ ciskaj Ģ ce o warto Ļ ciach równych napr ħŇ eniom
stycznym, nachylone s Ģ pod k Ģ tem 45° do osi pr ħ ta (rys.15.5).
201
x
x
x
88670304.008.png 88670304.009.png 88670304.010.png 88670304.011.png 88670304.012.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Skr ħ canie pr ħ tów o przekroju kołowo
symetrycznym i prostok Ģ tnym
max t
t
s 1 = t
s 2 = t
t
45°
max t
45°
s 1 = t
s 2 = t
Rys.14.5
Macierz odkształce ı odpowiadaj Ģ c Ģ wyznaczonym napr ħŇ eniom obliczamy korzystaj Ģ c ze
zwi Ģ zków fizycznych Hooke’a.
Z zale Ň no Ļ ci (15.3) i (18.8) wynika, Ň e k Ģ t skr ħ cenia dwóch przekrojów odległych o x jest
równy:
x
x
M
( )
x
j
( )
x
=
Ð
q
( )
x
dx
=
Ð
s
dx
.
(15.11)
G
J
0
0
0
St Ģ d, całkowity k Ģ t skr ħ cenia pr ħ ta o długo Ļ ci l , obci ĢŇ onego stałym momentem skr ħ caj Ģ cym
( )
s
x
=
M
s
, wynosi:
j
=
M s
l
.
(15.12)
G
J
0
W tym miejscu warto zwróci ę uwag ħ na zale Ň no Ļę (15.11), pokazuje ona, Ň e funkcja
momentów skr ħ caj Ģ cych podzielona przez sztywno Ļę na skr ħ canie GJ 0 jest pochodn Ģ k Ģ ta
skr ħ cenia.
15.3. Energia spr ħŇ ysta skr ħ canego pr ħ ta o kołowo symetrycznym przekroju
Podstawienie wyra Ň e ı okre Ļ laj Ģ cych elementy macierzy napr ħŇ e ı do wzorów (8.18) pozwala
na wyznaczenie g ħ sto Ļ ci energii spr ħŇ ystej i energii spr ħŇ ystej dla skr ħ canego pr ħ ta o kołowo
symetrycznym przekroju poprzecznym:
(
1
+
n
)
t
2
1
Ç
M
( )
x
×
2
F
=
t
2
+
t
2
=
=
É
s
r
,
E
xy
xz
2
G
2
G
J
o
i st Ģ d energia spr ħŇ ysta takiego pr ħ ta o długo Ļ ci l wynosi:
1
Ç
M
( )
x
×
2
l
1
Ç
M
( )
x
×
2
l
M
2
( ) dx
J
U
=
ÐÐÐ
F
dV
=
ÐÐÐ
s
r
dV
=
Ð
dx
ÐÐ
s
r
dA
=
Ð
s
.
É
Ù
É
Ù
2
G
J
2
G
J
2
G
o
o
o
V
V
0
A
0
W przypadku pr ħ ta, którego przekrój poprzeczny zmienia si ħ na jego długo Ļ ci, energia
spr ħŇ ysta jest równa:
202
M
Ù
x
88670304.013.png 88670304.014.png 88670304.015.png 88670304.016.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin