17. Stateczność osiowo ściskanych prętów prostych.pdf

(214 KB) Pobierz
Microsoft Word - 17statec.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Stateczno Ļę osiowo Ļ ciskanych pr ħ tów prostych
17. STATECZNO ĺĘ OSIOWO ĺ CISKANYCH PR Ħ TÓW PROSTYCH
17.1. Stateczno Ļę pr ħ ta w zakresie liniowo spr ħŇ ystym.
Jednym z podstawowych zało Ň e ı przyj ħ tych na pocz Ģ tku naszych rozwa Ň a ı było to, Ň e
analizowane przez nas konstrukcje znajduj Ģ si ħ w równowadze trwałej (inaczej statecznej) ale
jak dot Ģ d, prócz prostych obja Ļ nie ı , nie zostały sformułowane Ň adne analityczne warunki
gwarantuj Ģ ce tak Ģ równowag ħ lub jak powiemy w j ħ zyku in Ň ynierskim gwarantuj Ģ ce
stateczno Ļę konstrukcji. Utrata stateczno Ļ ci konstrukcji jest zagadnieniem niezwykle wa Ň nym
i skomplikowanym - i co wi ħ cej - stanowi jedn Ģ z przyczyn wyst Ģ pienia stanu granicznego
no Ļ no Ļ ci. Konieczno Ļę uwzgl ħ dnienia utraty stateczno Ļ ci w analizie mechanicznej
zachowania si ħ konstrukcji dobitnie obrazuje nast ħ puj Ģ ce zadanie 1 , w którym nale Ň y
wyznaczy ę dopuszczaln Ģ wysoko Ļę stalowego pr ħ ta prostego o polu przekroju poprzecznego
A = 1cm 2 , obci ĢŇ onego tylko ci ħŇ arem własnym g = 78.50 kN/m 3 , wykonanego ze stali o
wytrzymało Ļ ci obliczeniowej przy Ļ ciskaniu
=
215
g
l
A
R
215
*
10
6
£
R
®
l
£
c
=
=
2
.
739
*
10
3
m
.
c
A
g
78
.
5
*
10
3
Jest rzecz Ģ oczywist Ģ , Ň e nie ma mo Ň liwo Ļ ci realizacji konstrukcji o tych wymiarach z
zachowaniem jej prostoliniowego kształtu (jak to jest zało Ň one w wykonanych obliczeniach) i
w j ħ zyku in Ň ynierskim powiemy, Ň e konstrukcja taka musi utraci ę swoj Ģ stateczno Ļę .
Zajmiemy si ħ teraz podaniem analitycznych warunków zapewnienia równowagi statecznej dla
bardzo prostej konstrukcji, jak Ģ jest osiowo Ļ ciskany pr ħ t pryzmatyczny, wykonany z
materiału o własno Ļ ciach fizycznych okre Ļ lonych prawem Hooke’a.
Zaczniemy od prostego „ideowego” obja Ļ nienia trzech postaci równowagi w jakich
konstrukcja mo Ň e si ħ znajdowa ę .
Je Ň eli po dowolnie małym wychyleniu z pierwotnego poło Ň enia równowagi ruch ciała jest
taki, Ň e wychylenia jego punktów nie s Ģ wi ħ ksze tych pocz Ģ tkowych to tak Ģ równowag ħ
nazywamy stateczn Ģ (trwał Ģ ).
I
II
III
W przeciwnym przypadku równowaga
jest niestateczna (nietrwała, chwiejna).
Mo Ň na jeszcze wyró Ň ni ę szczególne
poło Ň enie równowagi zwane
równowag Ģ oboj ħ tna w której punkty
ciała pozostaj Ģ w poło Ň eniu po
wychyleniu. Opisan Ģ sytuacj ħ mo Ň na
zobrazowa ę traktuj Ģ c konstrukcj ħ jako
ci ħŇ k Ģ kulk ħ w ró Ň nych warunkach
podparcia
Rys. 17.1
znajduj Ģ c Ģ
si ħ
w
potencjalnym polu sił (rys. 17.1).
Równowadze statecznej I odpowiada minimum energii potencjalnej układu, a w równowadze
chwiejnej III maksimum. W stanie równowagi oboj ħ tnej II warto Ļę energii potencjalnej przy
dowolnie małym wychyleniu pozostaje stała.
Przykład wzi ħ ty z ksi ĢŇ ki S.Piechnik. Wytrzymało Ļę Materiałów dla Wydziałów Budowlanych. PWN 1972.
231
R MPa.
Warunek stanu granicznego no Ļ no Ļ ci zwi Ģ zanego jedynie z nie przekroczeniem
wytrzymało Ļ ci obliczeniowej przy Ļ ciskaniu, daje ni Ň ej wyznaczon Ģ , dopuszczaln Ģ wysoko Ļę
pr ħ ta
1
88670190.036.png 88670190.037.png 88670190.038.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Stateczno Ļę osiowo Ļ ciskanych pr ħ tów prostych
17.2. Siła krytyczna
Zagadnienie utraty stateczno Ļ ci Ļ ciskanego osiowo pr ħ ta pryzmatycznego rozwi ĢŇ emy w
sposób podany przez L.Eulera w 1744 r.
Rozwa Ň my, pokazany na rys. 17.2, Ļ ciskany osiowo sił Ģ P pr ħ t przegubowo podparty na obu
ko ı cach, wykonany z materiału liniowo spr ħŇ ystego o module Younga E i nadajmy mu
Z
w
Z
Y
w(x)
P kr
X
l
P kr
J y = J min
Rys. 17.2
jakim Ļ impulsem poprzecznym dowolnie małe pocz Ģ tkowe ugi ħ cie w płaszczy Ņ nie
najmniejszej sztywno Ļ ci zginania. Je Ň eli po usuni ħ ciu przyczyny ugi ħ cia powróci on do swej
pocz Ģ tkowej prostoliniowej postaci, oznacza to, Ň e znajduje si ħ w równowadze statecznej.
Powtarzaj Ģ c rozumowanie wraz ze zwi ħ kszaniem warto Ļ ci siły P dojdziemy do sytuacji, w
której pr ħ t po usuni ħ ciu przyczyny pocz Ģ tkowego ugi ħ cia pozostanie krzywoliniowy (nie
powróci do swej pierwotnej prostoliniowej formy) . Oznacza to, Ň e tym razem pr ħ t znajduje
si ħ w stanie równowagi oboj ħ tnej, a sił ħ , przy której to nast Ģ piło nazywa ę b ħ dziemy sił Ģ
krytyczn Ģ kr
M
x
=
P
kr
w
( )
x
,
(17.1)
a równanie ró Ň niczkowe jego ugi ħ tej osi przyjmuje form ħ :
d
2
w
( )
x
M
( )
x
=
−
,
(17.2)
dx
2
EJ
min
z której otrzymujemy równanie ró Ň niczkowe wi ĢŇĢ ce ugi ħ cie z sił Ģ krytyczn Ģ :
( )
2
w
x
P
( ) 0
+
kr
w
x
=
.
(17.3)
dx
2
EJ
min
Przyjmuj Ģ c oznaczenie:
k =
2
P
kr
,
(17.4)
EJ
min
zapiszemy je w postaci:
( )
2
w
x
( ) 0
+
k
2
w
x
=
,
(17.5)
dx
2
którego rozwi Ģ zaniem jest funkcja:
( )
x
=
A
sin +
kx
B
cos
kx
.
(17.6)
Stałe całkowania A oraz B wyznaczymy z kinematycznych warunków brzegowych:
232
P . Tak wi ħ c:
siła krytyczna to siła przy której osiowo Ļ ciskany pr ħ t znajduje si ħ w stanie równowagi
oboj ħ tnej.
Wyliczmy t ħ sił ħ krytyczn Ģ . Równanie momentów w zakrzywionym pr ħ cie przy obci ĢŇ eniu
sił Ģ krytyczn Ģ ma posta ę :
( )
d
d
w
88670190.039.png 88670190.001.png 88670190.002.png 88670190.003.png 88670190.004.png 88670190.005.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Stateczno Ļę osiowo Ļ ciskanych pr ħ tów prostych
w
( ) 0
oraz ( ) 0
w
l
=
.
(17.7)
Pierwszy warunek daje
B
=
0
, natomiast drugi zale Ň no Ļę
0 =
A sin
kl
, z której przy zało Ň eniu
Ň e
A
¹
0
(rozwa Ň amy pr ħ t zakrzywiony, wi ħ c równocze Ļ nie nie mo Ň e by ę
B
=
0
i
A
=
0
),
dostajemy:
sin
kl
=
0
®
k
=
n
p
,
n
=
1
2
3
,....
l
Korzystaj Ģ c z (17.4), dla kolejnych liczb naturalnych otrzymujemy:
p
2
EJ
( )
p
n
=
1
P
=
min
,
w
x
=
A
sin
x
,
kr
,
l
2
l
l
4
p
2
EJ
( )
2
p
n
=
2
P
=
min
,
w
x
=
A
sin
x
,
kr
,
2
l
2
l
l/2
l/2
9
p
2
EJ
( )
3
p
n
=
3
P
=
min
,
w
x
=
A
sin
x
,
kr
,
l
2
l
l/3
l/3
l/3
n . W
tym miejscu warto zwróci ę uwag ħ , Ň e impuls poprzeczny wywołuj Ģ cy to wst ħ pne
zakrzywienie potrzebny jest tylko w rozwa Ň aniach teoretycznych. W rzeczywisto Ļ ci
odst ħ pstwa od idealnych zało Ň e ı , np. idealnej prostoliniowo Ļ ci pr ħ ta, osiowo Ļ ci przyło Ň enia
siły czy jednorodno Ļ ci materiału, same zawsze spowoduj Ģ wyboczenie pr ħ ta.
Wyniki analizy pr ħ tów o innych warunkach podparcia pozwalaj Ģ napisa ę jednolity wzór na
sił ħ krytyczn Ģ , nazywan Ģ sił Ģ krytyczn Ģ Eulera, w postaci:
=
1
p
2
EJ
P
E
kr
=
min
,
(17.8)
l
2
w
gdzie:
l w
= ,
l
(17.9)
nazywamy długo Ļ ci Ģ wyboczeniow Ģ .
Warto Ļ ci współczynnika długo Ļ ci wyboczeniowej a zale Ň nego od warunków podparcia
podano na rys. 17.3.
l
a = 1
a = 2
a =0.7
a = 0.5
a = 1
a = 2
Rys. 17.3
233
0 =
.............,
co dowodzi, Ň e ka Ň dej warto Ļ ci siły krytycznej odpowiada inna forma deformacji pr ħ ta, albo -
inaczej - inna posta ę wyboczonego pr ħ ta, ale wszystkie s Ģ sinusoidami.
Jest rzecz Ģ oczywist Ģ , Ň e za sił ħ krytyczn Ģ uznamy t ħ najmniejsz Ģ , odpowiadaj Ģ c Ģ
88670190.006.png 88670190.007.png 88670190.008.png 88670190.009.png 88670190.010.png 88670190.011.png 88670190.012.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Stateczno Ļę osiowo Ļ ciskanych pr ħ tów prostych
17.3. Napr ħŇ enia krytyczne
Zakres wa Ň no Ļ ci wzoru Eulera na sił ħ krytyczn Ģ jest ograniczony własno Ļ ciami fizycznymi
materiału Ļ ciskanego pr ħ ta. Poniewa Ň materiał analizowanego przez nas pr ħ ta był z zało Ň enia
materiałem liniowo spr ħŇ ystym to napr ħŇ enia normalne w pr ħ cie nie mog Ģ przekracza ę R -
granicy stosowalno Ļ ci prawa Hooke’a (granicy proporcjonalno Ļ ci).
W celu wyznaczenia zakresu stosowalno Ļ ci wzoru (17.8) dokonamy jego przekształcenia.
Wpierw podzielimy obustronnie przez pole przekroju poprzecznego A
P
E
kr
p
2
EJ
=
min
,
A
A
l
2
w
a nast ħ pnie, definiuj Ģ c poj ħ cie napr ħŇ enia krytycznego:
s
kr =
P kr
,
(17.10)
A
i smukło Ļ ci pr ħ ta:
l
l w
,
(17.11)
i
min
min = - jest minimalnym promieniem bezwładno Ļ ci przekroju
poprzecznego, mo Ň emy otrzyma ę zale Ň no Ļę :
i
J
min
/
A
p
2
E
s
E
kr
=
(17.12)
l
2
w której:
s
E
kr
=
P kr
oznacza napr ħŇ enie krytyczne Eulera.
A
s kr jest hiperbola, której
zakres wa Ň no Ļ ci jest ograniczony od góry, na osi rz ħ dnych, warto Ļ ci Ģ R . Odpowiadaj Ģ c Ģ
tej warto Ļ ci napr ħŇ e ı krytycznych k s , smukło Ļę nazwiemy smukło Ļ ci Ģ graniczn Ģ i
wyznaczymy z warunku:
p
2
E
E
R
=
®
l
=
p
.
(17.13)
H
l
2
gr
R
gr
H
s
kr
prosta Tetmajera-Jasi ı skiego
R
hiperbola Eulera
R
H
l
l
234
gdzie:
Na wykresie zale Ň no Ļ ci k s od l(rys. 17.4), wykresem funkcji ( l
gr
88670190.013.png 88670190.014.png 88670190.015.png 88670190.016.png 88670190.017.png 88670190.018.png 88670190.019.png 88670190.020.png 88670190.021.png 88670190.022.png 88670190.023.png 88670190.024.png 88670190.025.png 88670190.026.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Stateczno Ļę osiowo Ļ ciskanych pr ħ tów prostych
l³ i napr ħŇ enia krytyczne s Ģ opisane
wówczas przez hiperbol ħ Eulera, a pr ħ t pracuje w zakresie linio spr ħŇ ystym.
W praktycznych zastosowaniach potrzebujemy, jednak cz ħ sto, analizowa ę utrat ħ stateczno Ļ ci
równie Ň w zakresie nieliniowo spr ħŇ ystym i spr ħŇ ysto plastycznym, dla których smukło Ļę
spełnia nierówno Ļę
l
gr
0
£
l<
l
gr
.
W stanach poza liniowo spr ħŇ ystych posługiwa ę si ħ b ħ dziemy zale Ň no Ļ ciami ustalonymi
empirycznie, z których najbardziej znanymi s Ģ , prosta Tetmajera-Jasi ı skiego okre Ļ lona
wzorem:
s
T
kr
−
J
=
a
−
b
l
,
(17.14)
oraz parabola Johnsona-Ostenfelda zdefiniowana równaniem:
s
J
kr
−
O
=
A
−
B
l
.
(17.15)
W obu powy Ň szych zale Ň no Ļ ciach a, b, A oraz B to stałe materiałowe.
Aproksymacja krzywej teoretycznej prost Ģ Tetmajera-Jasi ı skiego (patrz rys. 17.4) zakłada, Ň e
dla pr ħ tów ,których smukło Ļę
0
s
T
kr
−
J
=
R
e
dla
l
= 0
®
a =
R
e
,
s
T
kr
−
J
=
R
dla
l
=
l
®
R
=
a
−
b
l
®
b
=
R
e
−
R
H
=
R
e
−
R
H
R
H
,
H
gr
H
gr
l
p
E
gr
gdzie: R e - wyra Ņ na granica plastyczno Ļ ci. Zatem ostatecznie napr ħŇ enie krytyczne według
Tetmajera-Jasi ı skiego mo Ň na zapisa ę w postaci wzoru:
s
T
kr
−
J
=
R
−
R
e
−
R
H
R
H
l
.
(17.16)
e
p
E
17.4. Wymiarowanie osiowo Ļ ciskanych pr ħ tów z uwzgl ħ dnieniem utraty stateczno Ļ ci
Poprawnie zaprojektowany osiowo Ļ ciskany pr ħ t winien spełnia ę równocze Ļ nie dwa,
niezale Ň ne od siebie warunki stanu granicznego no Ļ no Ļ ci tzn. był wytrzymały i znajdował si ħ
w równowadze statecznej. Warunki te wymagaj Ģ aby siła obci ĢŇ aj Ģ ca P spełniała
nierówno Ļ ci:
P
£
A
*
R
i
P £
P
kr
,
gdzie: A to pole przekroju poprzecznego pr ħ ta.
W praktyce in Ň ynierskiej przy projektowaniu konstrukcji stalowych korzystamy z jednego
warunku, wyst ħ puj Ģ cego w Polskich Normach Budowlanych, spełniaj Ģ cego równocze Ļ nie oba
te kryteria. Warunek ten mo Ň na otrzyma ę wychodz Ģ c z nierówno Ļ ci zapewniaj Ģ cej
równowag ħ stateczn Ģ :
P
£
P
kr
®
P
£
s
kr
( ) A
l
.
(17.17)
235
Rys. 17.4
Zatem wzór Eulera jest wa Ň ny dla smukło Ļ ci
l (pr ħ tów kr ħ pych) stan graniczny no Ļ no Ļ ci osi Ģ gany jest
przez uplastycznienie a nie poprzez utrat ħ stateczno Ļ ci i st Ģ d stałe a i b we wzorze
wyznaczone s Ģ z warunków :
88670190.027.png 88670190.028.png 88670190.029.png 88670190.030.png 88670190.031.png 88670190.032.png 88670190.033.png 88670190.034.png 88670190.035.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin