Metody numeryczne zajmują się szukaniem i udoskonalaniem sposobów rozwiązania zadań matematyki za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych i logicznych.
Konieczność zastąpienia pewnych wielkości - wielkościami przybliżonymi.
  Budując rozwiązanie przybliżone, musimy więc umiejętnie ocenić jego dokładność, szacując wielkości błędów popełnianych na kolejnych etapach budowy modelu obliczeniowego i jego rozwiązywania.
Algorytm-  przepis, według którego realizowane są obliczenia.
Program- algorytm wraz z szeregiem dodatkowych informacji związanych z techniką obliczeń napisany w języku „zrozumiałym” przez maszynę matematyczną.
Podstawowe podzespoły maszyn cyfrowych i ich wzajemne powiązania.
Użytkownika komputera obowiązuje znajomość zasad pracy urządzeń: wejścia, wyjścia i pamięci.
Pamięć przechowuje 2 rodzaje informacji:
- liczby związane z analizowanym problemem;
- oraz rozkazy określające operacje, jakie urządzenie ma wykonać.
Operacje możemy podzielić na następujące grupy:

1.         Operacje arytmetyczne,

2.         Operacje logiczne i sterujące,

3.         Operacje przesyłania danych,

4.         Operacje wejścia i wyjścia.

Jednostka sterująca – określa która z operacji ma zostań wykonana w danym momencie i z udziałem jakich liczb.
ARYTMETYKA STAŁOPRZECINKOWA I ZMIENNOPRZECINKOWA
Jeśli każda z liczb d-cyfrowych ma kropkę dziesiętną przed pierwszą cyfrą, to można założyć, że wszystkie te liczby są co do modułu mniejsze od 1.
Gdy wynikiem działania jest liczba co do modułu nie mniejsza od 1 – powstaje nadmiar.
Jeżeli urządzenie cyfrowe wykonuje działania arytmetyczne na liczbach o kropce dziesiętnej w stałym miejscu, to stosowany rodzaj arytmetyki nazywamy arytmetyką stałoprzecinkową.
Praktycznie wszystkie urządzenia cyfrowe umożliwiają prowadzenie działań stałoprzecinkowych jak i zmiennoprzecinkowych.
ARYTMETYKA WSPÓŁCZESNYCH KOMPUTERÓW- Obliczenia numeryczne
Współcześnie w obliczeniach numerycznych do reprezentacji liczb całkowitych i rzeczywistych wykorzystywane są tzw. rozwinięcia systematyczne.
Zalety:
- proste algorytmy realizacji działań arytmetycznych,
- czytelność i prostota zapisu pozycyjnego
Najistotniejsze informacje o liczbie zawiera pierwsza, różna od zera cyfra i jej położenie względem kropki pozycyjnej.
Zapis półlogarytmiczny rozwinięć systematycznych
Każdą liczbę rzeczywistą x różne od 0 można zapisać w następującej postaci:

Gdzie: m – mantysa m1 różne od 0(warunek normalizacji),
c- cecha całkowita
LICZBY W ARYTMETYCE NUMERYCZNEJ/ZMIENNOPOZYCYJNEJ
Punktem wyjścia lub reprezentacji liczb a arytmetyce numerycznej, nazwanej także arytmetyką zmiennopozycyjną lub arytmetyką fl (floating-point-arithmetic) jest zapis półlogarytmiczny, w którym dopuszczamy jedynie stałą liczbę cyfr mantysy i ustalony zakres liczb całkowitych dla cechy.
Arytmetyka rozwinięć systematycznych względem bazy będącej potęgą liczby 2:
- baza=2 - arytmetyka dwójkowa,
- baza=8 - arytmetyka ósemkowa,
- baza-16- arytmetyka szesnastkowa
Szybkość obliczeń.
Generalnie , jeśli dwie metody służące do rozwiązywania tego samego zagadnienia różnią się jedynie ilością i rodzajem realizowanych operacji, a nie różnią się istotnie pod względem uzyskiwanych wyników, to powinniśmy stosować metodę wymagającą krótszego czasu obliczeń.
PODSTAWOWE POJĘCIA W SZACOWANIU BŁĘDÓW- Źródła błędów.
Błędy danych wejściowych- Tego typu błędy występują wówczas, gdy dane wejściowe pochodzą z pomiarów podlegających wpływowi błędów systematycznych lub czasowych zakłóceń.
Błędy numeryczne:
- błędy zaokrągleń w czasie obliczeń- zaokrąglenie wyników pośrednich przed wykonaniem kolejnych obliczeń,
- błędy obcięcia- występują gdy proces obliczania granicy jest przerywany przed osiągnięciem wartości granicznej.
Uproszczenia modelu matematycznego
Wynikają z idealizacji rzeczywistych sytuacji w większości zastosowań matematyki. Wielkość błędów wynikłych z uproszczenia modeli matematycznych jest zwykle trudniejsza do oszacowania niż w przypadku innego rodzaju błędów.
Błędy człowieka: błędy pisarskie, błędy popełniane w rachunkach „ręcznych” jak i zwykłych pomyłek
Błąd bezwzględny wartości przybliżonej dokładnej a.
Błąd względny dla :
gdzie: - poprawka.Jeśli spełniona jest nierówność: to mówimy, że przybliżona liczba przedstawia liczbę a z dokładnością do wielkości .
Cyfry istotne w ułamku dziesiętnym-cyfry pozostałe po pominięciu zer na początku ułamka dziesiętnego.
Cyfry ułamkowe- wszystkie cyfry po kropce dziesiętnej-także ewentualnie zera między kropką dziesiętną a pierwszą cyfrą rożną od zera.
Poprawne cyfry ułamkowe- jeśli moduł błędu wartości nie przewyższa  to mówimy, że ma t poprawnych cyfr ułamkowych.
Cyfry znaczące – cyfry istotne występujące w aż do t-ej pozycji po kropce dziesiętnej nazywamy cyframi znaczącymi.
Skracanie liczb do danej długości t-cyfr ułamkowych: ucinanie, zaokrąglanie
Ucinanie- polega na odrzucaniu cyfr na prawo od t-ej cyfry.
Zaokrąglanie- jeśli fragment liczby znajdujący się na prawo od t-ej cyfry ułamkowej jest co do modułu:
- mniejszy od , to t-tą cyfrę zostawia się bez zmiany;
- wiekszy od  , to do t-ej cyfry ułamkowej dodaje się 1;
- równy dokładnie  , można zwiększać t-ą cyfrę o 1, jeśli jest nieparzysta pozostawić bez zmiany.
Większość komputerów, w których wykonuje się zaokrąglenia, zwiększa liczbę we wspomnianym przypadku granicznym o  .

Oszacowanie błędu bezwzględnego wyniku odejmowania:
Oszacowanie błędu bezwzględnego wyniku dodawania:
Oszacowanie błędu względnego iloczynu: ,

Błąd względny ilorazu
Znoszenie się składników- występuje, gdy różnica dwóch argumentów jest znacznie mniejsza od każdego z nich.
Ogólny wzór dla przenoszenia się błędów:
gdzie: - wartości przybliżone,y- funkcja zmiennych,- błąd bezwzględny wartości x,- błąd bezwzględny y,- oszacowanie błędu
Błąd maksymalny – oszacowanie dla
Błąd standardowy (statystyczny) - odchylenie standardowe przybliżonej zmiennej (traktowanej jako zmienna losowa)
 

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Istotą metod iteracyjnych jest uzyskanie ciągu xo, x2, x2.. przypuszczalnie zbierznego do poszukiwanego pierwiastka.
W zależności od metody, aby uzyskać zbieżność – musimy określić:
- przedział zawierający poszukiwany pierwiastek [a,b];
- lub początkowe przybliżenie – dostatecznie bliskiego poszukiwania pierwiastka.
Wstępna analiza położenia pierwiastków równania f(x)=0 - wykreślenie funkcji;
- metody lokalizacji przedziałów występowania pierwiastków rzeczywistych (metoda tablicowa, wzór Maclaurina, Metoda Newtona itp.)
METODA BISEKCJI
Załóżmy że f(x) jest ciągła w [a0, b0] i że f(a0) f(b0)<0 => f(x) ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty w analizowanym przedziale.
Wyznaczamy ciąg (a1, b1) -> (a2, b2)->…. Takich, że każdy z nich zawiera poszukiwany pierwiastek równania f(x)=0
Przy założeniu, że f(a0)<0 i f(b0)>0 przedziały Ik=(an, bn) dla k=1,2,…) wyznaczamy następująco:

W związku z tym, że w każdym kroku przedział zmniejszamy o połowę jako wartość przybliżoną poszukiwanego pierwiastka α należy przyjąć:
α=cn+1±dn, dn=2-n-1(b0-a0)

Dla danego p.p. x0 tworzymy ciąg: x1, x1, x1,… w którym kolejne elementy xn+1 wyznaczamy aproksymując funkcję f(x) za pomocą stycznej do wykresu w punkcie o współrzędnych (xn,f(xn)). Odcięta punktu przecięcia stycznej z osią x – wskazuje położenie xn+1.
xn+1 = xn+hn             
Proces iteracji można zakończyć gdy [hn] przyjmuje wartości mniejsze od dopuszczalnego błędu pierwiastka.
ZBIEŻNOŚĆ METODY NEWTONA
Twierdzenie:
Załóżmy że f`(x)≠0 i f``(x) nie zmienia znaku w przedziale [a,b] oraz, że iloczyn funkcji f(a)*f(b)<0
i ,wtedy metoda Newtona jest zbieżna dla dowolnego przybliżenia początkowego x0ε[a,b]
METODA SIECZNYCH

aproksymacja pochodnej f`(x)

Metoda siecznych wynika z prostego przekształcenia metody Newtona wg której dokonano aproksymacji f`(xn)
Dla p.p. x0 i x1 tworzony jest ciąg: x2,x3,… w którym dla f(xn-1):
Xn+1=xn+hn

Odpowiada to przyjęciu xn+1 jako odciętej punktu przecięcia siecznej przechodzącej przez punkty (xn-1, f(xn-1)) i (xn, f(xn)) z osią x-ów. f`(x)/f(x) > 0,44

ZBIEŻNOŚĆ METOD SIECZNYCH
Metoda siecznych jest zbieżna dla dostatecznie dobrych przybliżeń początkowych x0 i x1 gdy f`(α)≠0 oraz gdy f(x) ma ciągłą drugą pochodną.
Inne metody:
-regóła falsi;
- metoda Steffensona;
- metoda Mullera-Trauba;
OGOLNA TEORIA METOD TRADYCYJNYCH
Jeżeli xn+1 możemy wyrazić przez wartości finkcji f(x) i jej pochodnych w punktach xn, xn+1,… xn-m+1;
to φ-nazywamy funkcją iteracyjną!
-Metoda Newtona

-Metoda siecznych

ITERACYJNE ROZWIĄZANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH
Metody bezpośrednie zawsze prowadzą do rozwiązania układu – o ile takowe rozwiązanie istnieje.
Metody iteracyjne – startują z przybliżenia początkowego, które w kolejnych krokach stopniowo się ulepsza, aż do uzyskania dostatecznie dokładnego rozwiązania.

METODY ITERACYJNE

Metoda iteracji prostej (metoda Jacobego)
Liniowy układ postaci AX=f              rozwiązujemy względem niewiadomych stojących na głównej przekątnej:
Zapis w formie macierzowej:

X=BX+g, (I-B)X=g
gdzie: I – macierz jednostkowa, AI=IA=A
Tworzymy następujący ciąg wektorów:
 

Przy „m”-> ∞ => Xm=X – będzie rozwiązaniem układu równań.
Zbieżność metody iteracji prostej
Dla zbieżności metody iteracji prostej Przy dowolnym wektorze początkowym x0 i Przy dowolnej wartości wektora g wyrazów wolnych potrzeba i wystarcza, żeby wszystkie wartości własne macierzy B były co do wartości bezwzględnej mniejsze od jedności.
Twierdzenie
Dla zbieżności procesu iteracji prostej wystarcza, żeby którakolwiek z norm macierzy B była mniejsza od jedności
Elementy macierzy iteracji B:

Metoda iteracji prostej jest zbieżna dla macierzy A ze ściśle dominującą główną przekątną.             

METODA SEIDLA (GAUSSA-SEIDELA)
W metodzie Seidla do obliczenia k-tej składowej wektora Xm+1 w kolejnych przybliżeniach wykorzystujemy k-1 wcześniej obliczonych pierwszych składowych tego wektora.
ZBIEŻNOŚĆ METODY SEIDLA
Twierdzenie
Jeśli norma max macierzy B jest mniejsza od jedności:
to metoda seidla jest zbieżna (kryterium dostatecznej zbieżności).
TWIERDZENIE
Dla zbieżności Seidla w zastosowaniu so układu:
X=(B1=B2)X+g,  gdzie:

,
Potrzeba i wystarczy, żeby wszystkie wartości własne macierzy M=(I-B1)-1 B2 – były co do wartości mniejsze od jedności.
Met bezpośrednie rozwiązania ukł rów liniowych- roz- metody, które przy założeniu braku błędów zaokrągleń dają dokładne roz po skończonej liczbie kroków. Najefektywniejsze gdy większość elem macierzy A ≠0. Wybór met zależy od liczby i rozmieszczenia oraz znaku i wielkości elem ≠0 macierzy A.
Met bezpośrenie: cramera, Gauss, met Chaleckiego,metoda rzutu ortogonalnego.
Ukł jednorodne (wszystkie wyrazy wolne =0) zawsze mają rozw.
Ukła niejed mają rozw gdy wyznacznik macierzy utworzonej ze współczynników przy niewiadomych ≠0 (det≠0).
Reguła Cramera: xi= gdzie IAiI wyz macierzy Ai otrzymanej w wyniku zamiany i-tej kolumny macierzy A z kolumną wyrazów wolnych.
Met Gauss- Jordana: -każdy z etapów eliminacji poprzedzany jest wyszukiwaniem max co do wartości bezwzględnej współ macierzy A, który obieramy za współ kierunkowy układu w danej podmacierzy –konieczność poddawania poszczególnych podmacierzy operacjom przekształceń elementarnych –w pewnych przypadkach zapewnia większą dokładność rozw.

DOPASOWANIE KRZYWEJ-APROKSYMACJI
APROKSYMACJA- określenie/konstruowanie przybliżonych zależności analitycznych opisujących prawidłowości dla zmiennych losowych (w formie zbiorów n+1 punktów x1, x2, … , xn) pochodzących z badań eksperymentalnych lub pomiarów.

Kryteria oceny trafności wyboru funkcji aproksymacyjnej[1]:

·          kryterium minimalizacji modułu maksymalnego odchylenia wartości eksperymentalnych od wartości funkcji aproksymującej,

·          kryterium minimalizacji sumy modułów odchyleń,

·          kryterium minimalizacji sumy kwadratów odchyleń

Przybiżenie średniokwadratowe dla danego wyrażenia analitycznego f(x) w przedziale [a,b]:

Przybliżenie średniokwadratowe dla funkcji f(x) danej w n+1 punktach:

Odchylenie średniokwadratowe funkcji f(x) i P(x) w przypadku wyrażenia f(x) zapisanego analitycznie:

Odchylenie średniokwadratowe funkcji f(x)i P(x)w przypadku wyrażenia f(x)danego n+1 punktach:

?

Przybliżenie średniokwadratowe dla funkcji f(x)danej n+1 punktach:

...