Polska szkoła matematyczna.doc

Nowy rok szkolny przywitajmy tym razem rozważaniami dotyczącymi rozwoju polskiej myśli matematycznej, jej rodowodu oraz znaczenia dla innych nauk.

Profesor Stefan Banach

"Polska eksportuje węgiel i twierdzenia matematyczne" powiedział w 1946 roku Stanisław Skrzeszewski, ówczesny dyrektor departamentu w Ministerstwie Oświaty. Istotnie, węgiel był wtedy niemal jedynym bogactwem materialnym, który mogliśmy eksportować, a matematyka jednym z niewielu dóbr duchowych, z których Polska lat międzywojennych była słynna na cały świat.

Żeby zrozumieć fenomen Polskiej Szkoły Matematycznej, trzeba cofnąć się do lat po powstaniu styczniowym. Po kolejnym przegranym powstaniu do głosu doszli ludzie, o których mówi się, że byli nudni i mało romantyczni. To pozytywiści. To oni głosili, że zamiast organizować kolejne zrywy przeciw zaborcom, należy po prostu rozwijać naukę, gospodarkę, sztukę i technikę. Dbać o polską kulturę - na ile to możliwe w niewoli. A wtedy niepodległość będzie łatwiej wywalczyć i łatwiej utrzymać.

Jedną z takich pozytywistycznych instytucji była Kasa im. Mianowskiego, patronująca nauce i naukowcom na ziemiach polskich. Powstała ona w 1881 roku. Wydawano książki, wysyłano młodych uczonych za granicę, a w kraju organizowano kursy i nieformalne uniwersytety. Do takich nazw instytucji powołanych przez kasę im. Mianowskiego, jak Uniwersytet Latający i Towarzystwo Kursów Naukowych, nawiązywała opozycja w Polsce w latach siedemdziesiątych i osiemdziesiątych XX wieku.

Z wolna ta "praca organiczna" zaczęła dawać efekty. Jeszcze wcześniej Józef Maria Hoene-Wroński (1778-1853) wszedł do historii matematyki dzięki wartościowemu zastosowaniu pewnych wyznaczników funkcyjnych do teorii równań różniczkowych (dziś te wyznaczniki są nazywane wrońskianami). W końcu XIX wieku pojawiło się więcej uczonych o znaczniejszej wiedzy, zaczęła się poważniejsza działalność wydawnicza i organizacyjna, inspirowana głównie przez Samuela Dicksteina (1851-1939), a także częściowo finansowana przez niego z własnej kieszeni. Samuel Dickstein był synem znanego bankiera, ale gdy umierał w oblężonej Warszawie we wrześniu 1939 roku, prawie cały majątek już nie istniał: poszedł na rozwój polskiej matematyki.

Jeszcze przed pierwszą wojną zaczęły się ukazywać wartościowe prace z rozmaitych działów matematyki klasycznej, w szczególności prace Stanisława Zaremby (1863-1942) i Kazimierza Żorawskiego (1866-1953). Wielu zdolnych absolwentów szkół średnich z obydwóch zaborów wyjeżdżało na studia za granicę: bądź do ówczesnej Galicji (do Krakowa lub Lwowa), bądź też na zachód - do Francji, Belgii i Anglii, a z zaboru rosyjskiego również do Niemiec. Te studia zagraniczne zaważyły w dużym stopniu na zainteresowaniach, umysłowości i dojrzałości ówczesnych młodych polskich naukowców. Wszyscy późniejsi założyciele Polskiej Szkoły Matematycznej studiowali dłużej lub krócej za granicą: Mazurkiewicz, Steinhaus, Sierpiński w Getyndze, Janiszewski w Paryżu, Kuratowski w Glasgow.

Zainteresowania wymienionych polskich matematyków skierowały się ku wtedy nowemu (bo powstałemu w końcu XIX wieku) działowi tej nauki - teorii mnogości (czyli teorii zbiorów) i jej zastosowaniom, przede wszystkim topologii - najbardziej ogólnej geometrii. W 1908 roku rozpoczął wykłady jako docent Uniwersytetu Lwowskiego Wacław Sierpiński (1882-1969). W 1909 roku wygłosił on pierwszy na świecie roczny wykład poświęcony teorii mnogości, a w kilka lat później wydał podręcznik z tego zakresu (także pierwszy na świecie). W 1912 roku w Paryżu obronił prace doktorską Zygmunt Janiszewski (1888-1920), a w 1913 roku u Sierpińskiego doktoryzował się (na podstawie pracy z topologii) Stefan Mazurkiewicz (1888-1945). Ci uczeni odegrali później najpoważniejszą rolę w powstaniu w odrodzonej Polsce silnej szkoły matematycznej.

W sierpniu 1915 roku wojska carskie opuściły Warszawę, a już w listopadzie otwarto dwie wyższe polskie uczelnie: Uniwersytet i Politechnikę Warszawską. Wśród wykładowców matematyki na Uniwersytecie znaleźli się między innymi Janiszewski, Mazurkiewicz, a od roku 1918 Sierpiński. Mazurkiewicz był świetnym wykładowcą i bardzo aktywnym badaczem naukowym, Janiszewski nie ustępował mu wiedzą ani pomysłowością, a górował dokładnością, ścisłością i uporządkowaniem wewnętrznym. Obaj poświęcali się przede wszystkim topologii. Sierpiński był już wtedy znanym specjalistą z teorii mnogości i teorii liczb. Algebrę wykładał Dickstein, który szczególnie potrafił zarazić swym entuzjazmem i pasją młodych adeptów matematyki. Wszyscy, i słuchacze i wykładowcy, mieli świadomość, że są pierwszymi po ponad stuletniej przerwie, którym dane jest uczyć się i nauczać w polskiej wyższej uczelni. Na początku 1918 roku można było już mówić o dość silnym warszawskim ośrodku naukowym, w którym zajmowano się teorią mnogości i topologią i ich zastosowaniami. Tacy młodzi studenci jak Bronisław Knaster, Stanisław Saks, Antoni Zygmund, Kazimierz Kuratowski, Alfred Tarski, Kazimierz Zarankiewicz, osiągnęli wkrótce znaczne i liczące się w skali europejskiej wyniki.

Istnienie w Polsce grupy matematyków aktywnie pracujących w tej samej (i ponadto młodej i ważnej) dziedzinie było jednym z czynników umożliwiających właśnie rozwój Polskiej Szkoły Matematycznej. Ale to by nie wystarczyło. To, że grupa ta mogła stworzyć taką "szkołę", było również wynikiem tego, że ci ludzie chcieli i umieli ze sobą współpracować, że wysunięto szczęśliwe pomysły organizacyjne, że stworzony został pewien wyraźny program działania i że ich działalność naukowa objęła przyszłościowy wówczas dział matematyki.

Wacław Sierpiński

Na polu organizacyjnym największe zasługi położył Janiszewski. Otóż w 1917 roku Kasa im. Mianowskiego, patronująca wówczas polskim naukowcom (zwłaszcza z zaboru rosyjskiego), rozpisała ankietę o potrzebach nauki w Polsce, a u progu niepodległości w 1918 roku wydała tom pod tytułem "Nauka polska, jej potrzeby, organizacja i rozwój", zawierający odpowiedzi na tę ankietę. W tomie tym znalazł się siedmiostronicowy artykuł Janiszewskiego o potrzebach polskiej matematyki. Artykuł okazał się głęboko słuszny. Janiszewski sformułował główny cel, do jakiego powinni dążyć polscy matematycy: stworzenie w niepodległej ojczyźnie ośrodka twórczej pracy matematycznej o międzynarodowym znaczeniu. Jednym z zasadniczych środków, zaproponowanych przez Janiszewskiego dla osiągnięcia tego celu, było właśnie skupienie się na niewielkim wycinku matematyki (w którym już i tak zaczynaliśmy się liczyć). Najbardziej nowatorskim pomysłem Janiszewskiego była propozycja wydawania czasopisma poświęconego wyłącznie tym działom matematyki, które miały stanowić podstawowy kierunek badań w Polsce, przy czym artykuły miały być drukowane w językach obcych (to jest głównie niemieckim, francuskim, angielskim i włoskim). "Chcąc zdobyć sobie odpowiednie stanowisko w świecie naukowym, przyjdźmy z własną inicjatywą" - pisał Janiszewski. Rewolucyjność pomysłów Janiszewskiego zasadzała się na dwóch sprawach. Po pierwsze, do tej pory nie było na świecie ani jednego czasopisma poświęconego wyłącznie tylko wybranych działom matematyki. Większość uczonych w Polsce i za granicą twierdziła, że czasopismo takie nie może się utrzymać jako periodyk naukowy z powodu braku dostatecznej liczby artykułów na odpowiednim poziomie. Obawy takie wyraził na przykład jeden z najbardziej znanych matematyków francuskich, Henri Lebesgue, w liście do Sierpińskiego. Później okazało się, że rozwój matematyki, a topologii w szczególności, spowodował, że poziom publikowanych prac nie maleje, lecz szybko rośnie wskutek konkurencji wśród autorów i sławy, jaką zdobyło polskie czasopismo (nazwane "Fundamenta Mathematicae").

Janiszewski padł ofiarą szczególnie ostrej grypy, jaka nawiedziła Europę w 1920 roku, i nie dożył nawet wydania pierwszego tomu "Fundamenta Mathematicae", ale jego koncepcje, poparte przez Sierpińskiego, Mazurkiewicza i innych, znalazły szybko oddźwięk w całym kraju. W zamian za "Fundamenta Mathematicae" matematycy polscy otrzymywali inne periodyki z całego świata, co umożliwiało intensyfikację wymiany myśli naukowej z zagranicą (w niezbyt bogatej Polsce wczesnych lat dwudziestych nie można było pozwolić sobie na kupno wszystkich liczących się pozycji). W 1922 roku zaczęto wydawać po francusku roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego, a wkrótce i inne pozycje. Wszystko to umacniało pozycje Polaków w świecie matematycznym.

Ale złoty okres matematyki polskiej rozpoczął się w chwili, gdy w połowie lat dwudziestych we Lwowie powtórnie doszło do "wybuchu" myśli matematycznej. Matematycy lwowscy ograniczyli się (podobnie jak warszawscy) do jednej gałęzi matematyki - analizy funkcjonalnej. Ta tematyka była odmienna od warszawskiej, chociaż z nią powiązana. Wspaniały rozwój tej gałęzi matematyki w Polsce i na świecie zawdzięczamy głównie Hugonowi Steinhausowi (1887-1972) i Stefanowi Banachowi (1892-1945), Stanisławowi Mazurowi (1905-1981), Władysławowi Orliczowi (1903-1990), Juliuszowi Schauderowi (1896-1943) i ich uczniom. Chociaż podstawowe pojęcia analizy funkcjonalnej znane były na początku XX wieku, a nawet wcześniej, to jednak dopiero dzięki pracom Banacha problematyka ta stała się jedną z centralnych dyscyplin nowoczesnej matematyki. Dzisiaj przydaje się ona nie tylko matematykom, ale ma także wielkie znaczenie dla fizyki (w szczególności dla mechaniki kwantowej) i jej zastosowań. Napisana przez Banacha w 1929 roku monografia o "operacjach liniowych" była pierwszym na świecie podręcznikiem analizy funkcjonalnej, ugruntowała sławę autora i reprezentowanego przez niego środowiska na wiele, wiele lat. Myślą przewodnią analizy funkcjonalnej jest jakby geometryzacja analizy matematycznej, jak pary czy trójki liczb można traktować jako punkty (odpowiednio płaszczyzny i przestrzeni trójwymiarowej), tak i bardziej skomplikowane twory: ciągi nieskończone, funkcje, itp., można uważać za pewne punkty. Oczywiście nie są to punkty zwykłej przestrzeni trójwymiarowej, ale pewnych przestrzeni wielo-, a nawet nieskończenie wielowymiarowych. Niektóre takie przestrzenie wyodrębnił właśnie Banach. Pojęcie przestrzeni Banacha jest dziś jednym z najczęściej używanych pojęć w matematyce. Dzięki geometryzacji, o której mowa, rozmaite twierdzenia ściśle analityczne (np. o równaniach różniczkowych) dadzą się ściśle dowodzić metodami najzupełniej geometrycznymi. Odpowiednio patrząc na fakt, że gdy rozciągnięty kawałek gumy wraca do pierwotnego położenia, to chociaż jeden punkt nie zmienia swego miejsca - można udowodnić twierdzenie o istnieniu rozwiązań szerokiej klasy równań różniczkowych czy całkowych. Dodajmy, że przestrzenie Banacha pozwalają jednocześnie podchodzić do zagadnień analizy metodami algebraicznymi, a na "punktach" tych przestrzeni rachuje się zgodnie z prawami zwykłego rachunku wektorów. Właśnie zręczne połączenie metody algebraicznej i topologiczno-geometrycznej jest charakterystycznym rysem metody Banacha.

Teorię, którą stworzył Banach, próbowali zbudować wielcy i mali matematycy przed nim. Najbliższy sukcesu był późniejszy twórca cybernetyki, Norbert Wiener, który niezależnie od Banacha osiągnął początkowe sukcesy w tworzeniu podstaw analizy funkcjonalnej. Rezultaty Wienera były tak poważne, że odpowiednie przestrzenie przez pewien czas nosiły nazwę przestrzeni Banacha-Wienera. Jednakże później Wiener doszedł do wniosku, że teoria ta jest tylko czczym formalizmem, że nie odegra żadnej roli w matematyce, i zajął się czym innym. W wydanej w 1956 roku swojej autobiografii przyznał, jak bardzo się pomylił. "Teoria Banacha dopiero teraz zaczyna w pełni rozwijać swoją pełną skuteczność jako metoda naukowa" - pisał Wiener. Stefan Banach został odkryty dla matematyki w sposób jakby żywcem wyjęty z dziewiętnastowiecznej powieści obyczajowej. Hugo Steinhaus wspominał potem:

...Idąc letnim wieczorem 1916 roku wzdłuż Plant usłyszałem rozmowę, a raczej tylko kilka słów; wyrazy "całka Lebesgue'a" były tak nieoczekiwane, że zbliżyłem się do ławki i zapoznałem z dyskutantami: to Stefan Banach i Otto Nikodym rozmawiali o matematyce. Powiedzieli mi, że mają jeszcze trzeciego kompana, Wilkosza (...) Niepewność jutra, brak sposobności pracy zarobkowej i brak kontaktu z uczonymi zagranicznymi i nawet polskimi - taka była atmosfera krakowska w 1916 r. Ale to nie przeszkadzało owej trójce przesiadywać w kawiarni i rozwiązywać zagadnień w tłoku i zgiełku. Hałas ich nie odstraszał, a Banach nawet (nie wiadomo dlaczego) wybierał stoliki blisko orkiestry.

W trakcie długiej rozmowy na Plantach Steinhaus opowiedział młodzieńcom o problemach, nad którymi od dłuższego czasu bezskutecznie pracował. W kilka dni później Banach przyniósł gotowe rozwiązanie. Steinhaus mawiał potem, że jego najważniejszym odkryciem matematycznym jest odkrycie Banacha!

W 1929 roku Banach objął asystenturę na Uniwersytecie Lwowskim (nie mając ukończonych studiów). W tym samym roku został doktorem, a w 1922 roku habilitował się i bezpośrednio potem został mianowany profesorem (znowu za specjalnym zezwoleniem władz państwowych i wbrew zwyczajom akademickim), a w 1924 roku był już członkiem-korespondentem Polskiej Akademii Umiejętności. Do 1939 roku zdołał opublikować ponad 50 prac z różnych działów matematyki. Zmarł, wycieńczony przeżyciami wojennymi, 31 sierpnia 1945 roku. Jego imieniem nazwana jest dzisiaj jedna z ulic Warszawy, przy której znajduje się znany szpital oraz Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego.

Oryginalną osobliwością lwowskiej szkoły matematycznej było życie kawiarniane (które, jak widzieliśmy, Banach lubił i przedtem). W ogóle w dawnej Galicji życie kawiarniane odgrywało zdecydowanie pozytywną i inspirującą rolę (w kabarecie "Zielony Balonik" w cukierni Michalika w Krakowie zaczęła się kariera literacka Boya-Żeleńskiego)

Posiedzenia matematyczne we Lwowie odbywały się w położonych w pobliżu Uniwersytetu kawiarniach, najpierw w "Romie", potem w "Kawiarni Szkockiej". Do licznych zalet tej kawiarni należało serwowanie wyśmienitych ciastek (właściciel utrzymywał, że codziennie ekspediuje je samolotem ze Lwowa do Warszawy) oraz... marmurowe blaty stolików, na których można było szybko pisać, i co ważniejsze, szybko ścierać. Wielogodzinne dyskusje wytwarzały atmosferę wytrwałości, podniecenia, koncentracji i wspólnoty myślowej. Jeden z najwybitniejszych przedstawicieli lwowskiej szkoły matematycznej, Stanisław Ulam, który po wojnie zasłynął w Stanach Zjednoczonych swym czynnym udziałem w konstrukcji bomby atomowej (a później przy pierwszych maszynach liczących), napisał w 1963 roku: "Jedynym wypadkiem, gdy spotkałem się z podobną jak we Lwowie wspólnotą zainteresowań, częstotliwością dyskusji i intensywnością współżycia intelektualnego, był okres mych badań nad energią jądrowa w czasie wojny". Przy jednym ze stolików w "Kawiarni Szkockiej" zwykle przesiadywali najwybitniejsi z matematyków: Stanisław Ulam, Stanisław Mazur i Stefan Banach. Rezultaty dyskusji zapisywano ołówkiem chemicznym na blatach i następnego dnia uczestnicy dyskusji zjawiali się z karteczkami w ręku i (już na trzeźwo, w przenośnym i dosłownym sensie) próbowali odcyfrować swoje wczorajsze gryzmoły i uporządkować je w logiczną całość. Trzeba stwierdzić z żalem, że wiele cennych osiągnięć Banacha i jego uczniów przepadło z wielką szkodą dla nauki polskiej, wskutek braku staranności u adeptów tej szkoły, przede wszystkim zaś samego Banacha. Zresztą gdyby nie pomoc asystentów i przyjaciół, chyba żadna praca Banacha nie dotarłaby do drukarni, tak nieporządną szatą zewnętrzną się odznaczały. Pewnej jesieni "sesja matematyczna" w kawiarni przeciągnęła się do... wczesnych godzin przedpołudniowych, a jej rezultatem był dowód pewnego twierdzenia z teorii przestrzeni Banacha. Niestety, rozumowania nie udało się odtworzyć, szczęśliwi uczestnicy "sesji" zapisali go chemicznym ołówkiem na blacie stołu, który starannie zmyła niczego nieświadoma sprzątaczka. Toteż wielką zasługą żony Banacha było zakupienie zeszytu o twardych okładkach i powierzenie go płatniczemu "Kawiarni Szkockiej" z poleceniem wydawania go na życzenie każdemu matematykowi. W ciągu kilku lat powstała z tego zeszytu tak zwana dziś "Księga Szkocka", zawierająca zbiór problemów, jakie matematycy przebywający we Lwowie stawiali sobie nawzajem (a zarazem i całemu światu) wraz z ich rozwiązaniami. Każdy, kto stawiał problem, fundował nagrodę dla odkrywcy rozwiązania. Nagrody były różne - mała kawa, butelka wina lub żywa gęś. "Księga Szkocka" przetrwała szczęśliwie wojnę i znajduje się w rękach prywatnych. Nie mniejsze osiągnięcia miała i Warszawska Szkoła Matematyczna. Wacław Sierpiński zasłynął z prac z teorii liczb i teorii mnogości i innych działów matematyki, publikując do końca życia 724 prace i komunikaty, 50 książek i spora liczbę artykułów popularnych, historycznych, przeglądowych oraz siedem podręczników szkolnych. Kazimierz Kuratowski (1896-1980) jest znany jako współtwórca topologii ogólnej, a Karol Borsuk (1905-1982) zyskał światową sławę dzięki pracom z teorii retraktów i punktów stałych a także z topologicznej teorii kształtu. Z badań nad podstawami matematyki zasłynął Andrzej Mostowski (1913-1975).

Matematyka polska poniosła wielkie straty w czasie ostatniej wojny, podobnie jak cała nasza nauka i kultura. Banach i Mazurkiewicz zmarli w wyniku wycieńczenia wojną, wielu profesorów osiadło za granicą. W 1942 roku spłonęła biblioteka Seminarium Matematycznego w Warszawie, a prywatne zbiory matematyków warszawskich zniszczone zostały w czasie Powstania. Niemal wszyscy matematycy warszawscy, którzy przeżyli, pozostali bez jednej książki czy odbitki. Tym niemniej matematyka polska odrodziła się po wojnie i znowu osiągnęła najwyższy poziom europejski. Dziś maleje znaczenie szkół narodowych. Współpraca między matematykami nie zna granic, nikt się nie dziwi wspólnym pracom specjalistów z różnych krajów, a Internet i łatwość podróży sprzyja intensywnym kontaktom. Trochę żal starego stylu pracy, tym bardziej, że przynosił nam tak wspaniałe efekty.
Uściślijmy jednak: to nie styl pracy przynosił te efekty, tylko ludzie, którzy go stworzyli.

Michał Szurek