cišgi liczbowe.pdf
(
187 KB
)
Pobierz
729511534 UNPDF
CIĄGI LICZBOWE
Definicja
Ciągiem liczbowym
nazywamy funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb
rzeczywistych.
N
-tym
wyrazem ciągu
nazywamy wartość tej funkcji dla liczby naturalnej
n
(oznaczamy np. przez
a
n
).
Ciąg o takich wyrazach oznaczamy przez (
a
n
).
Zbiór wyrazów ciągu (
a
n
) tj. {
a
n
:
n
}, oznaczamy przez {
a
n
}.
Ciągi można określić:
- wzorem
a
1 1 1 1
1 2 2
,
b
2
n
dla n parzystych
n
n dla nnieparzystych
2
- rekurencyjnie
1
c , c c
,
1
d , d , d d d
1 2
2
4
n n n
1
- opisowo
a
n
–
n
-ta liczba pierwsza,
h
n
–
n
-ta liczba po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym 3
Definicja
Ciąg
(
a
n
)
jest
ograniczony z dołu
, jeżeli zbiór {
a
n
} jest ograniczony z dołu, tzn.
a m
n
Ciąg
(
a
n
)
jest
ograniczony z góry
, jeżeli zbiór {
a
n
} jest ograniczony z góry, tzn.
a M
n
Ciąg
(
a
n
)
jest
ograniczony
, jeżeli zbiór {
a
n
} jest ograniczony, tzn.
m,M n
m a M
n
Definicja
Ciąg
(
a
n
)
jest
rosnący
, jeżeli
a a
n n
1
.
Ciąg
(
a
n
)
jest
niemalejący
, jeżeli
a a
n n
1
.
n
Uwaga
Analogicznie definiuje się ciąg malejący i nierosnący.
Ciągi rosnący, malejący, niemalejący i nierosnący nazywamy
monotonicznymi
.
Monotoniczność dowolnego ciągu (
a
n
) możemy ustalić badając znak różnicy
a
n+
1
-
a
n
,
a monotoniczność dowolnego ciągu (
b
n
) o wyrazach dodatnich porównując iloraz
b
b
n
z 1.
1
n
a
n+
1
-
a
n
b
b
n
Ciąg
1
n
rosnący
malejący
niemalejący
nierosnący
...
n n n n
3
n n
2
m n
M n
n
Definicja
Ciąg
(
a
n
)
ma granicę właściwą
(granicę)
a
, wtedy i tylko wtedy, gdy
n n a a .
0
n
0
n n
0
Ciąg, który ma granicę właściwą nazywamy
ciągiem zbieżnym
.
„Ciąg
(
a
n
)
ma granicę
a
” zapisujemy symbolicznie w postaci równości
n
n
lima a
lub
a a
n
Twierdzenie
(o jednoznaczności granicy ciągu)
Każdy ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.
Twierdzenie
(o ograniczoności ciągu zbieżnego)
Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.
Definicja
Ciąg
(
a
n
)
ma granicę niewłaściwą
∞
(
n
n
lima
), wtedy i tylko wtedy, gdy
0
n n
n n a .
0
n
0
Ciąg
(
a
n
)
ma granicę niewłaściwą
-
∞
(
n
n
lima
), wtedy i tylko wtedy, gdy
0
n n
n n a .
0
n
0
Uwaga
O ciągach z granicami niewłaściwymi
∞
i -
∞
mówimy, że są rozbieżne odpowiednio do
∞
lub do -
∞.
Granica właściwa ani niewłaściwa ciągu nie zależy od wartości skończenie wielu jego wyrazów.
Twierdzenie
(o arytmetyce granic ciągów)
Jeżeli ciągi (
a
n
) i (
b
n
) mają granice właściwe, to:
lim a b lima limb
n n n n
,
n n
lim a b lima limb
n n n n
n n
lim a b lima limb
,
a
lim , limb
b limb
n n
lima
n
0
n n
n n
n
n
n n
n
n
n n
n
lim a lima , p
p
p
,
lim a lima , k
k
k
n
n
n
n
n
n
n
n
Twierdzenie
(o trzech ciągach)
Jeżeli ciągi (
a
n
), (
b
n
) i (
c
n
) spełniają warunki:
dla każdego
0
n n
oraz
n n
n n
lima limc b,
n
limb b
.
2
.
n
n
a b c
n n n
to
n
Definicja
1
n
def
1
n
Liczbę
e
definiujemy jako granicę ciągu liczb
e
:
e lim
n
n
n
e
= 2,7182818...≈ 2,72
Uwaga
Można również liczbę
e
zdefiniować następująco:
Jeżeli
n
lima
n
oraz 0
0
a
dla
n
, to|:
1
n
lim a e
1
a
n
Twierdzenie
(o granicach niewłaściwych ciągów)
a dla a
a dla a
0
a
0
dla a
a
dla a
0
0
a dla a
0 0 1
a dla a
1
b
0
dla b
0
b
dla b
0
Uwaga
Równość 0
a
dla a
(podobnie jak pozostałe równości), jest symboliczną formą zapisu
twierdzenia:
a
lim
b
Jeżeli
n
n
lima a
, gdzie 0
a
oraz
n
limb
, 0
0
b
dla każdego
n
, to
n
.
n
n
n
Wyrażenia nieoznaczone:
, , , , , ,
0
0
1
0
0
0
0
3
1
1
CIĄGI LICZBOWE
Obliczyć granice ciągów:
n n
n n
3
2 1
2
2 5 10
n n
n
2
a)
lim
b)
lim
3
3
3
5
n
n
1 2 ...
d)
n
3
n n
n n
2
3
1
c)
lim
n
lim
n
n
2
2 4
e)
lim
n
n n n n
4 2
f)
4 2
lim 16 5 4 4
n
n n n
2
g)
lim 2 7 13 2
n
n n n n
2
h)
2
lim 2
n n n
2
2
1 2
n
n
n
n
n n
2
2
2
3
i)
n
n
n n
2
5
j)
lim
lim
2
n
1
n
2
2
k)
lim 4 5 2
n
n n
2
l)
lim
1
n
n n
5
2
m)
lim
n n n
n)
2
5
lim 3 1
n
n n n n
4
3
3
n
3 3 4
lim
1
9 6 4
5
2 3
n n
1
2 3
2 3
n
lim
5 3 4
o)
p)
n
n n
n
n
1
r)
lim 2 3 6
n n n n
s)
lim
n
1
1
...
1
1 2
n n n n
2
2
2
n
n
5 8
n
3 2
n n
2
4 2
n
n
n
n
7
t)
lim
u)
lim
n
4 3
n
9
n n
n n
2
2 5
n
5
9 7
n
v)
3 2
n n
n
2
w)
lim
lim
2
3
n
3 1
2
n
n
2
2
6 3
y)
n n
n n
2
1
z)
2 5
n
n
n
lim
lim
2
n
1
n
2 1
n
n
2
2 2
n
n
n
1
n
aa)
lim
bb)
lim
1
1
n
n
n
n
3
n
n
5
6 3
n
cc)
lim
dd)
lim
n
1
3
n
n
2
n
n
3
n
n
2 3
n
ee)
lim
ff)
lim
2 1
n
2 1
n
n
n
ln
n n n n
2
4 ln
2
10
n
7
gg)
hh)
lim
lim ln
n
n
n
1
1
n
n
n
n
3
lim
.
a
n
Dane są ciągi: {
a
n
}, {
b
n
}, gdzie
a
n
,
. Obliczyć granicę
b
n
2
4
...
2
n
2
3
n
b
n
4
Plik z chomika:
rado_es
Inne pliki z tego folderu:
cišgi liczbowe.pdf
(187 KB)
Inne foldery tego chomika:
Chemia Budowlana
FIZYKA
Galeria
Geodezja inżynierska
Geologia
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin