Wykład 6
Przepływ płynów ściśliwych
1. Wiadomości podstawowe
W termodynamice przepływów zakłada się, że przepływ jest jednowymiarowy, tj. parametry płynu zmieniają się tylko w kierunku przepływu. Przemiana płynu w układzie o przepływie ustalonym jest zbiorem stanów ustalonych w kolejnych przekrojach kanału przepływowego. Przekroje prostopadłe do ogólnego kierunku przepływu są oznaczane liczbami arabskimi, a wielkości z nimi związane są zaopatrzone w odpowiednie indeksy dolne. Podczas przepływu ustalonego parametry intensywne w dowolnych punktach płynu oraz działania na granicach układu nie zmieniają się.
Podstawowe równania przepływu ustalonego
a) średnie masowe natężenie przepływu (wydatek masowy):
stosunek przepływającej masy do czasu t, w którym ta masa przepłynęła
[kg/s] (1)
b) objętościowe natężenie przepływu (wydatek objętościowy)
stosunek objętości płynu V do czasu t, w którym ta objętość przepłynęła
[m3/s] (2)
gdzie: A – pole powierzchni przekroju prostopadłego do kierunku przepływu
[m2],
w – prędkość przepływu [m/s]
c) równanie zachowania masy (równanie ciągłości)
w każdym przekroju układu charakteryzującego się przepływem ustalonym
i jedną drogą przepływu (rys. 1) masowe i objętościowe natężenie przepływu
jest stałe
(3)
praktycznie: A1w1 = A2w2 lub A1w1 r1 = A2w2 r2
Rys. 1. Model strugi płynu z dwoma przekrojami obliczeniowymi 1-1 i 2-2
d) strumień pędu (ilość ruchu) – iloczyn masowego natężenia i prędkości
przepływu: SP = [kg m/s2]
e) równanie zachowania pędu – przyrost strumienia pędu między przekrojami
jest równy wypadkowej F wszystkich sił zewnętrznych działających na
płyn zawarty między tymi przekrojami
(4)
f) równanie bilansu energetycznego dla układu o przepływie ustalonym
(5)
lub
(6)
gdzie: g – miejscowe przyspieszenie siły ciężkości
h – wysokość środka ciężkości przekroju przepływowego ponad umowny
poziom odniesienia PO
Le 1,2 – praca efektywna układu
Ciepło tarcia wewnętrznego i praca na pokonanie sił tarcia występujące po obydwu stronach znaku równości powyższego równania znoszą się (Qw1,2=Lw1,2)
Dla gazów i par można praktycznie pominąć zmiany energii potencjalnej Mgh, a energię kinetyczną uwzględnia się przy prędkościach w>=40 m/s.
Jeżeli założymy, że brak jest wymiany ciepła i pracy z otoczeniem (przepływ adiabatyczny), wówczas powyższe równania można zapisać w następującej formie:
= const (7)
= const (8)
g) uogólnione równanie Bernoulliego
(9)
h) prędkość dźwięku dla gazów doskonałych
(10)
i) liczba Macha – stosunek prędkości płynu do miejscowej prędkości dźwięku
(11)
2. Parametry spiętrzenia
Parametry spoczynkowe strumienia płynu, który został wyhamowany do prędkości równej zeru bez wykonywania pracy efektywnej (przemiana
izentropowo-adiabatyczna). Oznaczamy je indeksem dolnym 0:
a) entalpia spiętrzenia
(12)
stanowi sumę entalpii statycznej oraz przyrostu entalpii dynamicznej przy założeniu, że całkowita energia kinetyczna zostanie zamieniona tylko w ciepło.
Dla przepływu energetycznie odosobnionego entalpia spiętrzenia jest wielkością
stałą (i0=const).
b) temperatura spiętrzenia dla gazów doskonałych
(13)
c) ciśnienie spiętrzenia dla płynu nieściśliwego
(14)
Prędkość przepływu płynu nieściśliwego jest równa:
(15)
Pomiary dokonuje się za pomocą rurki Prandtla mierząc manometrem różnicowym różnicę ciśnień spiętrzenia p0 i statycznego p
3. Parametry krytyczne
Przekrój, w którym prędkość przepływu staje się równa miejscowej prędkości dźwięku. Parametry określające stan gazu w tym przekroju są nazywane parametrami krytycznymi i oznaczane wskaźnikiem * (indeks górny).
Dla gazu doskonałego prędkość dźwięku jest największa, gdy w=0 (gaz
nieruchomy). Wynosi ona wtedy: . Prędkość dźwięku jest równa
zeru (a=0) przy rozprężaniu gazu aż do próżni (p=0, T=0, i=0).
Prędkość gazu osiąga wówczas wartość maksymalną równą:
(16)
W przypadku gazów doskonałych:
(17)
gdzie: dla jednoatomowych a=1,118, dla dwuatomowych a=1,08,
da pary wodnej przegrzanej a=1,063
Prędkość krytyczna w gazach doskonałych:
(18)
Dla liczby Macha Ma<1 przepływ jest poddźwiękowy (w<a - podkrytyczny).
Dla Ma=1 (w=a) przepływ jest krytyczny. Dla Ma>1 (w>a) przepływ jest naddźwiękowy (nadkrytyczny). Jeżeli Ma<0,6, to na ogół gazy można traktować
jako nieściśliwe.
Temperatura krytyczna dla gazów doskonałych:
lub (19)
dla gazów jednoatomowych qk = 0,75 (k=1,667), dla dwuatomowych
qk = 0,833 (k=1,4), dla pary wodnej przegrzanej qk = 0,87 (k=1,3)
Ciśnienie krytyczne dla gazów doskonałych:
lub (20)
dla gazów jednoatomowych bk = 0,482 (k=1,667), dla dwuatomowych
bk = 0,528 (k=1,4), dla pary wodnej przegrzanej bk = 0,546 (k=1,3)
Gęstość krytyczna:
lub (21)
dla gazów jednoatomowych gk = 0,65 (k=1,667), dla dwuatomowych
gk = 0,62 (k=1,4), dla pary wodnej przegrzanej gk = 0,63 (k=1,3)
Współczynnik prędkości (liczba Lavala) – stosunek prędkości przepływu do
prędkości krytycznej:
(22)
dla gazów doskonałych:
(23)
4. Przepływ izentropowy energetycznie odosobniony
Przepływ adiabatyczny bez wykonywania pracy efektywnej płynu nielepkiego i nieprzewodzącego jest przepływem izentropowym, w którym
Qz 1,2 = 0, Le 1,2 = 0, Qw 1,2 = 0 i S = const.
Zależność różniczkowa między polem przekroju kanału przepływowego
a prędkością przepływu dla gazów doskonałych ma postać:
(24)
Wyprowadzenie:
Po zlogarytmowaniu i zróżniczkowaniu równania ciągłości przepływu otrzymujemy:
(25)
Z kolei z postaci różniczkowej równania Bernoulliego wynika, że:
skąd a więc
Po podstawieniu otrzymujemy:
Z równania izentropy mamy: . Po podstawieniu i odpowiednich
przekształceniach otrzymamy wzór wyjściowy.
Dyszą nazywamy kanał przepływowy, w którym wzrasta prędkość (dw>0).
Kanał o zmiennym przekroju pracuje jako dysza, jeżeli jego przekrój zmniejsza
się w kierunku przepływu (dA<0) w zakresie prędkości poddźwiękowych (Ma<1), a zwiększa się (dA>0) w zakresie prędkości naddźwiękowych.
Wartość Ma=1 może być osiągnięta tylko w przekroju minimalnym dyszy (dA=0), który staje się wówczas przekrojem krytycznym.
Wyjaśnienie:
Prędkość w wzrasta kosztem spadku ciśnienia (dw>0,dp<0). Prędkości wlotowesą mniejsze od prędkości dźwięku w<a, wobec czego a2-w2>0 i prawa stronarównania (10) ma znak ujemny. Znak dA będzie zgodny ze znakiem prawej strony, czyli dA<0. Oznacza to, że przy prędkościach poddźwiękowychprzepływu dysza powinna być zbieżna. W miarę wzrostu prędkości w zbieżnym kanale dochodzimy do przekroju, w którym prędkość osiąga wartość prędkości dźwięku (a=w,Ma=1). Jeżeli spadek ciśnienia dp będzie dostatecznie duży (dalsze rozprężanie gazu), wówczas dla uzyskania prędkości większej od dźwięku, na podstawie równania (10) musi być spełniony warunek zmiany kształtu na rozbieżny (dA>0). Kanał o odpowiednim ukształtowaniu oraz odpowiadające mu przebiegi ciśnienia, prędkości przepływu i prędkości dźwięku zostały pokazane na rys. 3.
...
hivantera