16. Funkcje uwikłane.pdf

(106 KB) Pobierz
Funkcje uwikłane
FUNKCJE UWIKŁANE
F
Rozważamy równanie
:
R
2
R
F .
  0
, 
y
Definicja
Jeśli istnieje funkcja  
y , spełniająca w każdym punkcie
f
x
x warunek
R
F , to nazywamy ją funkcją uwikłaną określoną w zbiorze X równaniem
  0
x
, 
(
x
)
F .
x
, 
Przykład
Rozważmy równanie
x .
y
2
1
0
y
1
y = y 1
1
x
Istnieją funkc je uwi kłane spełniające to równanie:
2
y
1 1 x
dla 1
x
lub
y
2 1 x
2
dla 1
x .
Istnieje nieskończenie wiele funkcji uwikłanych spełniających powyższe równanie, na
przykład funkcja 3 y
y .
y
1
y = y 3
1
x
Uwaga
Będziemy rozważać tylko ciągłe funkcje uwikłane.
1
Niech
x
X
  0
f
y
2
10635305.018.png 10635305.019.png 10635305.020.png 10635305.021.png 10635305.001.png 10635305.002.png 10635305.003.png 10635305.004.png 10635305.005.png 10635305.006.png 10635305.007.png 10635305.008.png 10635305.009.png 10635305.010.png 10635305.011.png
x nie określa żadnej funkcji uwikłanej,
natomiast równanie
2
y
2
1
0
y określa dokładnie jedną funkcję uwikłaną.
x
2
0
Twierdzenie ( o istnieniu i jednoznaczności funkcji uwikłanej )
Z:
Top
R
2
F
:
U
R
F
 
 
C
1
U
P
0
x
0
,
y
0
U
F
 
x
,
y
0
F
  0
x
,
y
0
0
y
0
0
T:  ciągła funkcja uwikłana  
y określona w pewnym przedziale
f
x
x za pomocą równania   0
0 , x
0
 
F i spełniająca warunek   0
x
, 
y
f
0 y
(czyli funkcja uwikłana przechodząca przez wybrany punkt P 0 ).
Wniosek
Jeśli spełnione są założenia twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności funkcji uwikłanej, to
 
x
F
 
x
,
f
(
x
)
 
x
f
'
x
F
 
x
,
f
(
x
)
y
lub krótko:
F
 
x
,
y
x
y
'
.
F
 
x
,
y
y
F . Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności funkcji
uwikłanej wiemy, że funkcja uwikłana
x
, 
y
y  taka, że
f
( x
)
F .
Równanie różniczkujemy stronami i wyznaczamy pochodną funkcji f .
x
, x
f
(
x
)
0
dla
x
x
0 ,
 
0
F
x
F
f
'
(
x
)
0
dla
x
x
,
x
x
x
y
0
0
1
F
0
y
F
 
x
,
f
(
x
)
x
f
'
(
x
)
F
 
x
,
f
(
x
)
y
ڤ
2
Rozważamy problem istnienia funkcji uwikłanej.
Np. równanie
U
x
w pewnym otoczeniu punktu x 0 i
f '
Dowód (szkic)
Rozważmy równanie   0
 
10635305.012.png
Uwaga
Korzystając z powyższego wniosku możemy wyznaczyć ekstrema funkcji bez rozwikłania tej
funkcji.
Twierdzenie ( o drugiej pochodnej funkcji uwikłanej )
Z:
Top
R
2
F
:
U
R
F
 
 
C
2
U
P
0
x
0
,
y
0
U
F
 
x
,
y
0
F
  0
x
,
y
0
0
y
0
0
T: Funkcja ciągła  
y określona w przedziale
f
x
x równaniem   0
0 , x
0
 
F i
, 
spełniająca warunek   0
f posiada w pewnym otoczeniu punktu x 0 drugą pochodną.
x
0 y
Wzór na drugą pochodną funkcji uwikłanej
Na podstawie wniosku o pierwszej pochodnej funkcji uwikłanej
 
F
x
,
y
x
F
y .
'
,
gdzie
0
F
y
 
x
,
y
y
Stąd
1
2
F
x
2
F
F
2
F
2
F
F
y
'
1
y
'
x
2
x
y
x
y
x
y
y
2
x
y
'
2
F
y
F
2
2
F
F
2
F
F
2
F
F
2
F
x
x
2
y
y
x
x
x
y
x
y
2
F
y
2
F
y
F
2
2
F
F
2
F
F
2
F
x
2
x
2
y
x
y
x
y
2
F
y
F
2
y
bo, na podstawie założeń o ciągłości drugiej pochodnej funkcji F , mieszane pochodne
cząstkowe są sobie równe.
3
U
x
y
'
10635305.013.png
Wniosek
Jeśli spełnione są założenia powyższego twierdzenia i dodatkowo jeśli
y , to
' 0
(
x
)
0
y
F , a stąd
  0
x
0
, 0
2
F
 
x
,
y
x
2
0
0
y
'
'
(
x
)
.
0
F
 
x
,
y
y
0
0
Korzystając z powyższego wniosku można łatwo zbadać
ekstrema lokalne funkcji uwikłanej f(x)
y .
Pierwsza pochodna funkcji f musi być równa 0, czyli
F
0
x
F
0
y
Stąd wyznaczamy punkty stacjonarne funkcji F , a następnie wystarczy zbadać w każdym z
2
F
P wartość ilorazu
( 0
x
0 y
,
)
x
2
punktów stacjonarnych
.
F
y
2
F
(
x
,
y
)
x
2
0
0
0
P maksimum
( 0
0 y
,
)
Wtedy, jeśli
, to funkcja uwikłana ma w punkcie
F
(
x
,
y
)
y
0
0
lokalne. Analogicznie, jeżeli iloraz ten jest mniejszy od 0, to funkcja uwikłana ma w punkcie
)
( 0
x
0 y
,
z .
Aby wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcji
F , gdzie
x
, 
y
,
z
z
( y
x
,
)
z różniczkujemy równanie
z
( y
x
,
)
F kolejno względem zmiennej x i y ( x , y – zmienne niezależne)
  0
x
, 
y
,
z
F
z
x
F
F
F
z
x
F
1
0
0
x
y
z
x
F .
z
dla 0
F
F
F
F
z
z
0
1
0
z
y
x
y
z
y
F
y
z
opracował Mateusz Targosz
4
x
x
P minimum lokalne.
Przykład (bez twierdzenia)
Niech   0
10635305.014.png 10635305.015.png 10635305.016.png 10635305.017.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin