Podstawowe zasady wyrównania
Rozważmy doświadczenie, w którym przeprowadzono wielokrotne pomiary tej samej wielkości. Ze zbioru n wartości , i = 1,...,n określających wartości szukanej wielkości chcemy wyznaczyć wartość najlepszą tj. najbardziej prawdopodobną zbliżoną maksymalnie do wartości prawdziwej. Zbiór metod prowadzących do tego celu, to rachunek wyrównawczy, a uzyskanie tej najbardziej prawdopodobnej wielkości to proces wyrównania.
Wiemy, że wynik eksperymentu zawiera błędy pomiarowe, które podlegają prawu rozkładu normalnego. Zatem, aby uzyskać wartość prawdziwą każdy wynik pomiaru trzeba poddać drobnym korektom tj. poprawkom, których wartości uzyskuje się w procesie wyrównania. Wyrównanie wyników pomiaru nieznanej wielkości będzie, zatem polegać na algebraicznym dodaniu do poszczególnych spostrzeżeń drobnych, wyznaczonych w optymalny sposób poprawek. Najlepszymi poprawkami byłyby błędy prawdziwe spostrzeżeń, lecz w praktyce trudno je wyznaczyć, dlatego korzysta się tutaj z błędów pozornych. W tym przypadku spełnione są równania
dla i = 1, 2, ... ,n
Poprawki , które z konieczności zastępują tu błędy prawdziwe muszą być odpowiednio wybrane, ponieważ istnieje nieskończenie wiele układów poprawek spełniających powyższe związki. Istnieją rózne kryteria wyboru poprawek, jednakże za najlepsze uznaje się kryterium Legendre`a (1805 r.) nazywane "zasadą wyrównania układów obserwacyjnych wg metody najmniejszych sum kwadratów poprawek", tj.
W przypadku, gdy wyniki pomiarów posiadają różne dokładności, co uwzględniamy wprowadzając pojęcie wag powyższy związek ma ogólniejszą postać:
Naczelną zasadą wyrównania jest, więc rozwiązanie zagadnienia metodą najmniejszych kwadratów tzn. trzeba tak dobrać parametry funkcji, żeby był spełniony warunek
Praktycznie rozwiązanie polega na przyrównaniu do zera pochodnych cząstkowych i rozwiązanie otrzymanego układu równań, nazywanego normalnym lub transformacją Gaussa. Oznacza to taki dobór parametrów krzywej F(t), dla której suma kwadratów odległości rzędnych punktów krzywej od odpowiednich rzędnych obserwacji osiąga wartość najmniejszą.
Realizację wyrównania według zasady najmniejszych kwadratów można przeprowadzić następującymi metodami: spostrzeżeń bezpośrednich, pośredniczącą i zawarunkowaną. Metoda spostrzeżeń bezpośrednich jest szczególnym przypadkiem metody pośredniczącej (dla jednej zmiennej). Wybór metody wyrównania jest głównie uzależniony od nakładu prac przygotowawczych i obliczeniowych. Szczegółowiej zaprezentujemy wyrównanie spostrzeżeń bezpośrednich, a przybliżone sposoby wyrównania układów wyników pomiarów podamy przy omawianiu poszczególnych konstrukcji wyznaczających położenie punktów w przyjętym układzie współrzędnych.
Wyrównanie spostrzeżeń jednej zmiennej
Dla wyznaczenia wartości tej samej wielkości fizycznej x dokonaliśmy bezpośredniego n-krotnego pomiaru tej wielkości, otrzymując szereg na ogół różnych wartości , i = 1,...,n. Zakłada się, że każda z tych wartości obarczona jest błędem przypadkowym (). Sama czynność wyrównania polega tu na algebraicznym dodawaniu do wyników pomiaru małych wielkości zwanych poprawkami , dobranymi dla poszczególnych spostrzeżeń, tak, aby były one najbardziej prawdopodobne:
Korzystając z warunku Legendre`a otrzymujemy funkcję
,
dla której mamy znaleźć minimum, przy wyrównaniu spostrzeżeń o różnej dokładności. (Wyrównanie spostrzeżeń jednakowo dokładnych potraktujemy jako przypadek szczególny).
Wykorzystując pojęcie wagi określonej wzorem
po przyjęciu m0 = 1 funkcja F przyjmuje postać
Jej pochodna wyraża się wzorem
Przyrównując ją do zera otrzymujemy wyrażenie
które w skróconym zapisie ma postać
Stąd najbardziej prawdopodobną (wyrównaną w sensie metody najmniejszych kwadratów) wartością x, jest
Wartość wyrównaną nazywa się średnią wagową albo średnią arytmetyczną ogólną. Łatwo zauważyć, że jeżeli , to wzór przybiera postać wzoru na zwykłą średnią arytmetyczną.
Ocena błędu wartości wyrównanej
Uzyskana w toku wyrównania niewiadoma x jako średnia arytmetyczna ważona, jest obarczona również błędem, który nazywamy błędem wartości wyrównanej. Błąd średniej arytmetycznej można wyznaczyć z prawa przenoszenia się błędów, ponieważ jest ona liniową funkcją pomiarów bezpośrednich :
Stosując to prawo otrzymamy
Wyrażając kwadraty błędów średnich przez wagi
i podstawiając je do powyższej zależności otrzymamy:
Po uproszczeniu otrzymamy:
lub
Wzór ten jest równoważny następującej zależności
która nie wymaga wprowadzenia pojęcia wag.
Dla spostrzeżeń jednakowo dokładnych wzór ten przyjmuje postać
Obliczanie błędu średniego pojedynczego pomiaru
Na podstawie użytych do wyrównania spostrzeżeń należy ocenić ich błąd średni, stanowiący miarę dokładności każdego spostrzeżenia. Błąd ten, zwany błędem średnim pojedynczego spostrzeżenia lub błędem przed wyrównaniem, określa się przy użyciu błędów pozornych, uzyskanych w wyniku metody wyrównania.
(Wyznaczenie wartości takiego błędu bezpośrednio na podstawie błędów prawdziwych .
zwykle nie jest niemożliwe, ponieważ nie znamy błędów prawdziwych. )
W metodzie najmniejszych kwadratów [vv] jest mniejsza od [ee], co do której uczyniliśmy założenie, że musi spełniać warunek minimum, zaś [e], o ile jest wyliczalna, takich założeń nie wymaga. Ponieważ
Po podniesieniu do kwadratu i zsumowaniu otrzymamy
.
Przyrównując pochodną do zera mamy
Stąd
W równaniu różnica nie jest znana. Zależność między wielkością najbardziej prawdopodobną a prawdziwą określona jest wzorem:
Na tej podstawie równość [] można zapisać w postaci
Korzystając z definicji błędu średniego
równość przyjmie postać:
Po przeniesieniu i wyciągnięciu przed nawias kwadratu błędu średniego otrzyma się ostateczną odpowiedź:
Oznacza to, że błąd średni pojedynczego spostrzeżenia równy jest pierwiastkowi z sumy kwadratów poprawek (błędów pozornych), podzielonemu przez ilość spostrzeżeń nadliczbowych. Różnica n-1 oznaczająca ilość spostrzeżeń nadliczbowych w statystyce nazywa się ilością punktów (stopni) swobody, bowiem dla jednoznacznego określenia pojedynczej wielkości konieczne jest tylko jedno spostrzeżenie, zaś pozostałe stanowią materiał nadliczbowy. Znaczy to też, że określając ilość koniecznych spostrzeżeń, równą k, otrzymamy wzór ogólnej postaci:
Przy wyrównaniu spostrzeżeń o różnej dokładności otrzymujemy poprawki do spostrzeżeń pomierzonych, których odpowiednie błędy średnie wynoszą m1, m2, ... , mn.
Wiedząc, że
otrzymamy wzór:
dla jednej zmiennej, lub wzór
dla k zmiennych.
Powyższe związki prowadzą do bezpośredniego otrzymania wzoru na wartość błędu średniej ar...
abukpl