egz_22.02.10.pdf

MMF 1 { Egzamin pisemny FM + FT { 22.02.2010

1. (6 pkt) Znajdz wszystkie pierwiastki rownania

64 p 2

3 +iz 3

1 i

= 0

2) oraz z podstawowych

wlasnosci funkcji trygonometrycznych zapisz kazdy z pierwiastkow w postaci

algebraicznej.

6 p

2), cos 12 = 1 4 (

6 +

2. (6 pkt) Znajdz macierz odwrotn a do macierzy:

1 1 i

1 2 1

i 1 1

a) korzystaj ac z metody dopelnien algebraicznych,

b) korzystaj ac z metody Gaussa.

c) Widac, ze kolumny macierzyA= f~v 1 ;~v 2 ;~v 3 g mozna wybrac jako baz e w

przestrzeni C 3 . Zortonormalizuj t e baz e tak aby jeden z wektorow nowej

bazy byl rownolegly do wektora~v 1 .

3. (6 pkt) Podaj liczb e rozwi azan ukladu rownan w zaleznosci od wartosci rzeczy-

wistego parametrua:

x+ 2y 3z= a

3xy+ 5z= 2

ax+y+ (a 2 14)z=a+ 2

W przypadkach kiedy rozwi azania istniej a znajdz je.

4. (7 pkt) Prosz e znalezc wartosci wlasne i wektory wlasne macierzy

2 1

1 1

2 1

1 1

Nast epnie prosz e wybrac cztery ortonormalne wektory wlasne oraz zbudowac z

nich ortogonaln a macierzOdiagonalizuj ac a macierzBpoprzez transformacj e

podobienstwaO T BO= i podaj macierz .

Kazdy z perwiastkow przed st aw w postaci wyklad n iczej . Nast epnie korzystaj ac

z informacji, ze sin 12 = 1 4 (