5.2.pdf

5.2. OBNIŻENIE AMPLITUDY DRGAŃ ELEMENTìW

Z kursu drgań mechanicznych wiadomo, że każdy element mechaniczny, podzespł, a nawet

całą maszynę można w przybliżeniu zmodelować układem mechanicznym o jednym stopniu

swobody, tak jak na rys. 5.1.

Rys. 5.1. Układ o jednym stopniu swobody jako model drgających elementw maszynowych i maszyn jako

całości

Parametry modelu: masa - m, sztywność - k, tłumienie - c zredukowane są do środka masy

lub innego punktu reprezentatywnego elementu (na korpusie, na łapach, wirniku itp.).

Oznaczona na rysunku wielkość F(t) to siła wzbudzająca drgania, zaś u(t) to przemieszczenia

masy zredukowanej m. Charakter sił wzbudzających i ich możliwe reprezentacje czasowe i

widmowe omwiliśmy już uprzednio w rozdziale drugim, tutaj jedynie założymy dodatkowo

liniowość sił sprężystych (ku) i wiskotyczny charakter sił tłumiących (cu) w rozpatrywanym

obiekcie. Załżmy dalej, że siła wymuszająca ma charakter zdeterminowany i może być z

dostateczną dokładnością przedstawiona w postaci szeregu Fouriera, czyli

F(t)= Σ F n cos(n ω o t + φ n )

n=1

z częstością podstawową ω o =2πfo i przesunięciami faz kolejnych harmonicznych φ n .

Częstość podstawowa ω o wynika na ogł z cyklu pracy (obrotw) rozpatrywanego

urządzenia.

Z dynamiki wiadomo, że charakter ruchu układu modelowego można zbadać rozwiązując

jego rwnanie rżniczkowe ruchu

.. . S

mu + cu + ku = F(t)= ∑ F n cos(n ω o t + φ n ) (5.1)

n=1

Łatwo sprawdzić, te rozwiązanie to można przedstawić w postaci szeregu

S F n cos ω o n t

u(t) = ∑ √ (k-nč ω o č m)č + hč nč ω o č

n=1

u(t) = ∑ α F (n ω o )F n cos n ω o t

(5.2)

n=1

gdzie h=c/2m.

5.2.1. ZMIANA PARAMETRìW UKŁADU

W celu zbadania wpływu parametrw układu m, c, k na jego amplitudę drgań załżmy, że

wszystkie harmoniki siły wymuszającej są zerowe z wyjątkiem n = 1, czyli F 1 ≠ 0, F n = 0, n ≠

1. Wtedy odpowiedź na wymuszenie harmoniczne zgodnie ze wzorem (5.2) będzie

F 1 cos ω o t

u(t) =

√ (k- ω o 2 m)č

(5.3)

u(t) = α F (ω o )F 1 cos ω o t

Niech podstawowa częstość wymuszenia ω o zmienia się w szerokich granicach 0 < ω o < ∞

i przedstawmy podatność układu α F (ω o ) na wykresie w skali logarytmicznej, tak jak na

rys5.2..Dla ułatwienia zrozumienia tego rysunku zwrćmy uwagę na fakt, że dla

częstotliwości niskich

ω o ≈ 0 mamy

α F (ω o ) → 1/k , gdy ω o ≈ 0

(5.4)

Rys. 5.2. Bezwymiarowa podatność układu o jednym stopniu swobody ze strefami wpływu parametrw

Jak widać podatność układu, a więc i amplituda drgań dla niskich częstotliwości zależy

jedynie od jego sztywności. Znaczy to ,że w obszarze niskich częstotliwości(rys.5.2)zmiana

amplitudy drgań może być uzyskana jedynie przez zmianę sztywności układu(strefa wpływu

k na rys.5.2).

Dla wzrastających wartości częstości zdążających do rezonansu w układzie ω o → √(k/m)

podatność rezonansowa zależy jedynie od tłumienia

α F (ω o ) → 1/hω o , gdy ω o ≈ √k/m

(5.5)

znaczy to, że w strefie rezonansowej amplituda drgań zależy przede wszystkim od wartości

tłumienia w układzie i tu leży głwna możliwość minimalizacji rezonansowych drgań

elementw maszyn.

Po minięciu strefy rezonansowej na rys.5.2,tzn. dla ω o >> √k/m lub bezwymiarowo

ω o /√k/m >>1 podatność układu przyjmie wartość

α F (ω o ) ≈ 1/m ω o gdy ω o >>√k/m

(5.6)

Znaczy to, że amplituda drgań w tym zakresie jest kontrolowana przez inercje (masę) układu

drgającego (strefa wpływu m). Zauważmy przy tym jeszcze, że wartość podatności (5.6) jest

identyczna z podatnością masy swobodnej, na ktra działa siła harmoniczna. Znaczy to, że dla

częstotliwości wyższych w obszarze pozarezonansowym wpływ więzw sprężystych i

dyssypatywnych jest do pominięcia, zaś układ zachowuje się jak swobodny w rozpatrywanym

kierunku. Dodajmy tu jeszcze, że określenie częstość niska lub wysoka jest zawsze rozumiane

w odniesieniu do częstotliwości rezonansowej układu ω r = √k/m. Dlatego też na rysunku 5.2

poszczeglne strefy wpływu łatwiej było oznaczyć w skali bezwymiarowej częstotliwości

δ = ω r /√k/m.

Sumując przedstawione rozważania można stwierdzić, że amplituda drgań analizowanego

układu, jako modelu elementu maszynowego, zachowuje się następująco: w zakresie

częstotliwości niskich determinowana jest sztywnością układu, w zakresie rezonansowym

wartością tłumienia, zaś w pozarezonansowym - masą. W terminologii angielskiej strefy te

noszą odpowiednie nazwy: "stiffness controled", "damping controled" oraz "mass controled".

5.2.2. ZMIANA PARAMETRìW WYMUSZENIA

Analizując ponownie amplitudę drgań wymuszonych naszego wkładu (5.2), można dojść do

wniosku, że będzie ona tym większa, im więcej składowych Fn będzie mieć siła wymuszająca

F(t) oraz im większe będą te składowe. Ilość składowych to szerokość widmowa wymuszenia,

ta zaś z kolei dla wymuszeń krtkotrwałych związana jest z czasem trwania poszczeglnych

zdarzeń wymuszenia. Najłatwiej to zilustrować przytaczając twierdzenie o podobieństwie

obrazw i przekształceń fourierowskich [24,8].

F[u(at)]=(1/ |a|)U(f/a)

(5.7)

oraz zasadę nieoznaczoności w dziedzinie widma i czasu

∆t · ∆f ~ 1

(5.8)

Z obu relacji wynika, ze im krtszy czas trwania zjawiska (małe ∆ t lub a), tym szerszy jego

zakres widmowy. Dlatego chcąc zmniejszyć amplitudę drgań układu należy eliminować siły

wzbudzające o dużej zawartości harmonicznych 1ub mwiąc oglnie o szerokim widmie.

Takim widmem cechują się przede wszystkim siły występujące przy wzajemnych

zderzeniach. Wiadomo przy tym, że wartość siły zderzenia zależy od prędkości względnej

ciał pary zderzeniowej, ich masy oraz stanu powierzchni (twardość). Stąd też zmniejszenie

mas, prędkości oraz wprowadzenie elastycznej warstwy pośredniej (tam gdzie to jest

możliwe), w znacznym stopniu redukuje efekty drganiowe takich sił wymuszających. Z

drugiej strony jak już pokazaliśmy widmo sił zderzeniowych (w oglności impulsowych) jest

tym szersze w skali częstotliwości, im krcej trwa efekt zderzenia. Tak więc, jeśli

wyeliminowanie zderzeń nie jest możliwe (prasy, młoty), to należy wydłużyć czas trwania

zderzenia, np. przez ukosowanie wykrojnikw, stosowanie przekładek elastycznych itd. Tym

samym zmniejszy się wartość szczytową siły F(t) oraz wyeliminuje się wysokoczęstościowe

drgania układu (konstrukcji). Jak dalece jest to istotne można pokazać obliczając średni

kwadrat odpowiedzi układu (5.2), otrzymując

(5.9)

Przy wymuszeniu szerokopasmowym, np. ciągiem uderzeń, zawsze znajdzie się składowa

wymuszenia bliska częstości rezonansowej r ω o ω r = √k/m wtedy zamiast(5.9) możemy

napisać wzr na odpowiedź rezonansową

(5.10)

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: