5.2.pdf

(1310 KB) Pobierz
ccc
5.2. OBNIŻENIE AMPLITUDY DRGAŃ ELEMENTìW
Z kursu drgań mechanicznych wiadomo, że każdy element mechaniczny, podzespł, a nawet
całą maszynę można w przybliżeniu zmodelować układem mechanicznym o jednym stopniu
swobody, tak jak na rys. 5.1.
Rys. 5.1. Układ o jednym stopniu swobody jako model drgających elementw maszynowych i maszyn jako
całości
Parametry modelu: masa - m, sztywność - k, tłumienie - c zredukowane są do środka masy
lub innego punktu reprezentatywnego elementu (na korpusie, na łapach, wirniku itp.).
Oznaczona na rysunku wielkość F(t) to siła wzbudzająca drgania, zaś u(t) to przemieszczenia
masy zredukowanej m. Charakter sił wzbudzających i ich możliwe reprezentacje czasowe i
widmowe omwiliśmy już uprzednio w rozdziale drugim, tutaj jedynie założymy dodatkowo
liniowość sił sprężystych (ku) i wiskotyczny charakter sił tłumiących (cu) w rozpatrywanym
obiekcie. Załżmy dalej, że siła wymuszająca ma charakter zdeterminowany i może być z
dostateczną dokładnością przedstawiona w postaci szeregu Fouriera, czyli
S
F(t)= Σ F n cos(n ω o t + φ n )
n=1
z częstością podstawową ω o =2πfo i przesunięciami faz kolejnych harmonicznych φ n .
Częstość podstawowa ω o wynika na ogł z cyklu pracy (obrotw) rozpatrywanego
urządzenia.
Z dynamiki wiadomo, że charakter ruchu układu modelowego można zbadać rozwiązując
jego rwnanie rżniczkowe ruchu
.. . S
mu + cu + ku = F(t)= F n cos(n ω o t + φ n ) (5.1)
n=1
Łatwo sprawdzić, te rozwiązanie to można przedstawić w postaci szeregu
762412485.002.png
S F n cos ω o n t
u(t) = ∑ √ (k-nč ω o č m)č + hč nč ω o č
n=1
S
u(t) = α F (n ω o )F n cos n ω o t
(5.2)
n=1
gdzie h=c/2m.
762412485.003.png
5.2.1. ZMIANA PARAMETRìW UKŁADU
W celu zbadania wpływu parametrw układu m, c, k na jego amplitudę drgań załżmy, że
wszystkie harmoniki siły wymuszającej są zerowe z wyjątkiem n = 1, czyli F 1 ≠ 0, F n = 0, n ≠
1. Wtedy odpowiedź na wymuszenie harmoniczne zgodnie ze wzorem (5.2) będzie
F 1 cos ω o t
u(t) =
√ (k- ω o 2 m)č
(5.3)
u(t) = α F o )F 1 cos ω o t
Niech podstawowa częstość wymuszenia ω o zmienia się w szerokich granicach 0 < ω o < ∞
i przedstawmy podatność układu α F o ) na wykresie w skali logarytmicznej, tak jak na
rys5.2..Dla ułatwienia zrozumienia tego rysunku zwrćmy uwagę na fakt, że dla
częstotliwości niskich
ω o ≈ 0 mamy
α F o ) → 1/k , gdy ω o ≈ 0
(5.4)
Rys. 5.2. Bezwymiarowa podatność układu o jednym stopniu swobody ze strefami wpływu parametrw
762412485.004.png
Jak widać podatność układu, a więc i amplituda drgań dla niskich częstotliwości zależy
jedynie od jego sztywności. Znaczy to ,że w obszarze niskich częstotliwości(rys.5.2)zmiana
amplitudy drgań może być uzyskana jedynie przez zmianę sztywności układu(strefa wpływu
k na rys.5.2).
Dla wzrastających wartości częstości zdążających do rezonansu w układzie ω o → √(k/m)
podatność rezonansowa zależy jedynie od tłumienia
α F o ) → 1/hω o , gdy ω o ≈ √k/m
(5.5)
znaczy to, że w strefie rezonansowej amplituda drgań zależy przede wszystkim od wartości
tłumienia w układzie i tu leży głwna możliwość minimalizacji rezonansowych drgań
elementw maszyn.
Po minięciu strefy rezonansowej na rys.5.2,tzn. dla ω o >> √k/m lub bezwymiarowo
ω o /√k/m >>1 podatność układu przyjmie wartość
α F o ) ≈ 1/m ω o gdy ω o >>√k/m
(5.6)
Znaczy to, że amplituda drgań w tym zakresie jest kontrolowana przez inercje (masę) układu
drgającego (strefa wpływu m). Zauważmy przy tym jeszcze, że wartość podatności (5.6) jest
identyczna z podatnością masy swobodnej, na ktra działa siła harmoniczna. Znaczy to, że dla
częstotliwości wyższych w obszarze pozarezonansowym wpływ więzw sprężystych i
dyssypatywnych jest do pominięcia, zaś układ zachowuje się jak swobodny w rozpatrywanym
kierunku. Dodajmy tu jeszcze, że określenie częstość niska lub wysoka jest zawsze rozumiane
w odniesieniu do częstotliwości rezonansowej układu ω r = √k/m. Dlatego też na rysunku 5.2
poszczeglne strefy wpływu łatwiej było oznaczyć w skali bezwymiarowej częstotliwości
δ = ω r /√k/m.
Sumując przedstawione rozważania można stwierdzić, że amplituda drgań analizowanego
układu, jako modelu elementu maszynowego, zachowuje się następująco: w zakresie
częstotliwości niskich determinowana jest sztywnością układu, w zakresie rezonansowym
wartością tłumienia, zaś w pozarezonansowym - masą. W terminologii angielskiej strefy te
noszą odpowiednie nazwy: "stiffness controled", "damping controled" oraz "mass controled".
5.2.2. ZMIANA PARAMETRìW WYMUSZENIA
Analizując ponownie amplitudę drgań wymuszonych naszego wkładu (5.2), można dojść do
wniosku, że będzie ona tym większa, im więcej składowych Fn będzie mieć siła wymuszająca
F(t) oraz im większe będą te składowe. Ilość składowych to szerokość widmowa wymuszenia,
ta zaś z kolei dla wymuszeń krtkotrwałych związana jest z czasem trwania poszczeglnych
zdarzeń wymuszenia. Najłatwiej to zilustrować przytaczając twierdzenie o podobieństwie
obrazw i przekształceń fourierowskich [24,8].
F[u(at)]=(1/ |a|)U(f/a)
(5.7)
oraz zasadę nieoznaczoności w dziedzinie widma i czasu
∆t · ∆f ~ 1
(5.8)
Z obu relacji wynika, ze im krtszy czas trwania zjawiska (małe ∆ t lub a), tym szerszy jego
zakres widmowy. Dlatego chcąc zmniejszyć amplitudę drgań układu należy eliminować siły
wzbudzające o dużej zawartości harmonicznych 1ub mwiąc oglnie o szerokim widmie.
Takim widmem cechują się przede wszystkim siły występujące przy wzajemnych
zderzeniach. Wiadomo przy tym, że wartość siły zderzenia zależy od prędkości względnej
ciał pary zderzeniowej, ich masy oraz stanu powierzchni (twardość). Stąd też zmniejszenie
mas, prędkości oraz wprowadzenie elastycznej warstwy pośredniej (tam gdzie to jest
możliwe), w znacznym stopniu redukuje efekty drganiowe takich sił wymuszających. Z
drugiej strony jak już pokazaliśmy widmo sił zderzeniowych (w oglności impulsowych) jest
tym szersze w skali częstotliwości, im krcej trwa efekt zderzenia. Tak więc, jeśli
wyeliminowanie zderzeń nie jest możliwe (prasy, młoty), to należy wydłużyć czas trwania
zderzenia, np. przez ukosowanie wykrojnikw, stosowanie przekładek elastycznych itd. Tym
samym zmniejszy się wartość szczytową siły F(t) oraz wyeliminuje się wysokoczęstościowe
drgania układu (konstrukcji). Jak dalece jest to istotne można pokazać obliczając średni
kwadrat odpowiedzi układu (5.2), otrzymując
(5.9)
Przy wymuszeniu szerokopasmowym, np. ciągiem uderzeń, zawsze znajdzie się składowa
wymuszenia bliska częstości rezonansowej r ω o ω r = √k/m wtedy zamiast(5.9) możemy
napisać wzr na odpowiedź rezonansową
(5.10)
762412485.005.png 762412485.001.png
Zgłoś jeśli naruszono regulamin