4.5 Obliczanie pochodnych funkcji
Reguły różniczkowania
Przykład 1 Obliczyć pochodną funkcji
Przykład 2 Obliczyć pochodną funkcji
Przykład 3 Obliczyć pochodną funkcji
Przykład 4 Obliczyć pochodną funkcji
Pochodna funkcji złożonej
Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych
Przykład 5 Obliczyć pochodną funkcji
Pochodne funkcji cyklometrycznych
Pochodne funkcji odwrotnych
Przykład 1 Korzystając z tw. o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć (f-1)¢(y) dla f(x)=ex, gdzie xÎR.
Przykład 2 Korzystając z tw. o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć (f-1)¢(y) dla f(x)=ctg(x), gdzie xÎ(0,p).
Przykład 3
Korzystając z tw. o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć
(f-1)¢(3) Ù f(x) = x5 + x + 1.
Zauważmy najpierw, że funkcja f jest ciągła i rosnąca na R.
Ponadto f(1) = 15+1+1 = 3.
Stąd wynika, że 1 jest jedynym rozwiązaniem równania:
x5 + x + 1 = 3
Funkcja f spełnia założenia tw. o pochodnej funkcji odwrotnej.
Zatem mamy:
Przykład 4
(g-1)¢(1) Ù g(x) = 2e3x - e-x.
Zauważmy najpierw, że funkcja g jest ciągła i rosnąca na R.
Ponadto g(0) = 2e0 - e0 = 2-1 = 1.
2e3x - e-x = 1
Funkcja g spełnia założenia tw. o pochodnej funkcji odwrotnej.
Wykazanie, że funkcja
f(x) = x5 + x + 1
jest ciągła i rosnąca na R
oraz pokazanie wykresu w programie Matcad 2001
Ciągłość
Monotoniczność
Wykres
Przykład 4 Wykazanie, że funkcja
g(x) = 2e3x - e-x
oraz pokazanie wykresu w programie Mathcad 2001
Pochodne funkcji danych niejawnie
Przykład 1 Obliczyć pochodną funkcji, gdzie y=y(x):
Obie strony różniczkujemy względem x. Wtedy mamy:
Przykład 2 Obliczyć pochodną funkcji, gdzie y=y(x):
Przykład 3 Obliczyć pochodną funkcji, gdzie y=y(x):
Przykład 4 Obliczyć pochodną funkcji, gdzie y=y(x):
Pochodne funkcji danych parametrycznie
Przykład 1 Obliczyć pochodną funkcji o równaniach:
Przykład 2 Obliczyć pochodną funkcji o równaniach:
Przykład 3 Obliczyć pochodną funkcji o równaniach:
...
krenciolex