Szukanie miejsc zerowych Temat 2.docx

Temat 2

Szukanie miejsc zerowych

Tomasz Walocha

Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Kierunek Metalurgia

Wydział odlewnictwa

Rok I

Grupa VI

Spis treści

1.                    Cel ćwiczenia

2.                    Trzy wymienione metody poszukiwania miejsc zerowych przedstawione w teorii

3.                    Badania przeprowadzone na programie Turbo Delphi

4.                    Wnioski

1.Cel ćwiczenia

Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia  jest porównanie trzech metod poszukiwania miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

·       Metody Bisekcji

·       Metody siecznych

·       Metody stycznych

Celem tego ćwiczenia jest również porównanie tych trzech metod i wybranie najdokładniejszej przez porównanie otrzymanych wyników do liczby π. Wybieramy przedział w którym znajduje się liczba π i wyliczami dla niego miejsce zerowe potem porównujemy przybliżenia i wybieramy to które daje najbliższe przybliżenie z wartości liczby π które wynosi: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399…

2.Trzy wyminione metody poszukiwania miejsc zerowych przedstawione w teorii

Metoda Bisekcji- Metoda ta pozwala w prosty sposób wyznaczyć z zadaną dokładnością pierwiastki równania nieliniowego. Przed przystąpieniem do obliczania należy poznać najpierw przebieg funkcji by w przybliżeniu określić granice przedziału, w którym znajduje się szukany pierwiastek (można je oszacować z większym lub mniejszym przybliżeniem). Metoda ta może być stosowana w każdym przypadku, w którym funkcja w granicach podanego przedziału zmienia znak (po przejściu przez miejsce zerowe). Metoda ta zawsze jest zbieżna (zbieżność liniowa tej procedury gwarantuje odnalezienia pierwiastka równania jednak kosztem ilości iteracji). Poniższy rysunek obrazuje proces poszukiwania pierwiastków.

Niżej procedura poszukująca pierwiastki zadanego równania.

Metoda Siecznych- W języku łacińskim regula falsi oznacza fałszywą prostą. Ideą tej metody jest założenie, iż funkcja w coraz mniejszych przedziałach wokół pierwiastka zaczyna przypominać funkcję liniową. Skoro tak, to przybliżenie pierwiastka otrzymujemy prowadząc linię prostą (sieczną) z punktów krańcowych przedziału. Sieczna przecina oś OX w punkcie xo, który przyjmujemy za przybliżenie pierwiastka - gdyby funkcja faktycznie była liniowa, otrzymany punkt xo byłby rzeczywistym pierwiastkiem.

Poniższy wykres przedstawia metodę graficzna rozwiązania problemu:

Metoda Stycznych- Metoda ta należy do jednych z najszybciej zbieżnych metod służących do wyznaczania pierwiastków równań nieliniowych. Stopień zbieżności tej metody wynosi 2. Zbieżność tej metody została osiągnięta dzięki dodatkowemu nakładowi pracy jakim jest wyznaczenie pochodnej badanego równania. W niektórych przypadkach wyznaczenie pochodnej jest sprawą bardziej złożoną i zastosowanie tej metody nie jest opłacalne.

Na poniższym rysunku pokazany jest sposób w jaki dążymy do wyznaczenia pierwiastka równania.

3.Badania przeprowadzone na programie

Turbo Delphi

Badanie nr 1

Dodatkowe informacje:              Wsp. Podziału: 0.5                            Punk startu:

Badanie nr 2

Dodatkowe informacje:              Wsp. Podziału: 0.5                            Punk startu: 2

Badanie nr 3