temat18.pdf

(67 KB) Pobierz
Microsoft PowerPoint - temat18
18. Równania Lagrange’a
• francuski matematyk, mechanik i
astronom pochodzenia włoskiego
• współtwórca mechaniki analitycznej i
rachunku wariacyjnego
• rozległe badania w dziedzinie
mechaniki i jej wykorzystania do opisu
ruchu planet i Ksi ħŇ yca ( Traité de
mécanique analytique – Mechanika
analityczna – 1788)
• oficer Legii Honorowej, senator
Joseph Louis de Lagrange
(Giuseppe Lodovico Langrangia)
1736 – 1813
Równania Lagrange’a II rodzaju
d
Å
T
Õ
−
T
=
−
V
+
Q
−
R
j
j
dt
q
#
q
q
Æ
j
Ö
j
j
j
=
1 2
2
,
s
w potencjalnym polu sił
s – liczba stopni swobody układu
q – współrz ħ dna uogólniona
T – energia kinetyczna układu
V – energia potencjalna układu (gdy na układ działaj Ģ siły potencjalne)
Q j – zewn ħ trzna siła uogólniona odpowiadaj Ģ ca współrz ħ dnej uogólnionej
R j – uogólniona siła oporu (skierowana przeciwnie do Q j )
praca przygotowana
n sił czynnych
działaj Ģ cych na
nieswobodny układ
materialny
Ã
n
(
)
d
=
P
d
+
P
d
+
P
d
=
xi
xi
yi
yi
zi
zi
i
=
1
s
Ç
n
Å
Æ
x
y
z
Õ
Ö
×
s
=
à Ã
È
É
P
i
+
P
i
+
P
i
Ø
Ù
d
q
=
Ã
Q
d
xi
yi
zi
j
j
j
q
q
q
È
Ø
j
= =
1 1
i
j
j
j
=
1
Q j
1
Ä
Ô
L
Ä
Ô
q
j
36414791.040.png 36414791.041.png
Zadanie 1/18
Jednorodny cienki pr ħ t o masie m i długo Ļ ci l zawieszono
przegubowo w polu sił ci ħŇ ko Ļ ci i podparto na niewa Ň kiej
spr ħŇ ynie o sztywno Ļ ci c . Przy pionowym ustawieniu pr ħ ta
spr ħŇ yna nie jest napi ħ ta. Wyznaczy ę okres drga ı układu po
nieznacznym wychyleniu pr ħ ta z poło Ň enia równowagi.
a)
b)
m
m
l /2
l
c
l
c
Zadanie 2/18
Do niewa Ň kiego pr ħ ta podpartego na niewa Ň kiej spr ħŇ ynie o
sztywno Ļ ci c i umieszczonego w polu sił ci ħŇ ko Ļ ci przytwierdzono
jednorodn Ģ tarcz ħ o masie m i promieniu r . Przy pionowym
ustawieniu pr ħ ta spr ħŇ yna nie jest napi ħ ta. Wyznaczy ę okres drga ı
układu po nieznacznym wychyleniu z poło Ň enia równowagi.
a)
b)
m , r
l /2
l /2
c
l
l
c
m , r
2
36414791.042.png 36414791.043.png 36414791.001.png 36414791.002.png 36414791.003.png 36414791.004.png 36414791.005.png 36414791.006.png 36414791.007.png 36414791.008.png 36414791.009.png 36414791.010.png 36414791.011.png
Zadanie 3/18
Do niewa Ň kiego pr ħ ta podpartego na niewa Ň kiej spr ħŇ ynie o
sztywno Ļ ci c i umieszczonego w polu sił ci ħŇ ko Ļ ci przytwierdzono
punkt materialny o masie m . Przy pionowym ustawieniu pr ħ ta
spr ħŇ yna nie jest napi ħ ta. Wyznaczy ę okres drga ı układu po
nieznacznym wychyleniu z poło Ň enia równowagi.
a)
b)
c
l /3
2 l /3
l
l
m
c
m
Zadanie 4/18
ĺ rodek jednorodnego, chropowatego walca o masie m i
promieniu r poł Ģ czono z nieruchom Ģ podpor Ģ za pomoc Ģ
niewa Ň kiej spr ħŇ yny o sztywno Ļ ci c i umieszczono w polu sił
ci ħŇ ko Ļ ci. Obliczy ę okres drga ı układu wokół poło Ň enia
równowagi.
a)
b)
m , r
c
c
m , r
a
3
36414791.012.png 36414791.013.png 36414791.014.png 36414791.015.png 36414791.016.png 36414791.017.png 36414791.018.png 36414791.019.png 36414791.020.png 36414791.021.png
Zadanie 5/18
Podwójne wahadło
fizyczne składa si ħ z
cienkich pr ħ tów o masach i
długo Ļ ciach: m 1 , l 1 i m 2 , l 2 .
Napisa ę ró Ň niczkowe
równania ruchu układu.
m 1 ,l 1
m 2 ,l 2
Zadanie 6/18
Przedstawione na rysunkach układy znajduj Ģ si ħ w polu sił
ci ħŇ ko Ļ ci. Napisa ę ró Ň niczkowe równania ruchu po wytr Ģ ceniu
układu z poło Ň enia równowagi.
a)
b)
M , R
jednorodny
chropowaty
walec
M
gładki
klocek
c
c
przegub
niewa Ň ka
spr ħŇ yna
jednorodny
cienki pr ħ t
m , l
m , l
4
36414791.022.png 36414791.023.png 36414791.024.png 36414791.025.png 36414791.026.png 36414791.027.png 36414791.028.png 36414791.029.png
Zadanie 7/18
Przedstawione na rysunkach układy znajduj Ģ si ħ w polu sił
ci ħŇ ko Ļ ci. Napisa ę ró Ň niczkowe równania ruchu po wytr Ģ ceniu
układu z poło Ň enia równowagi.
a)
b)
M , R
jednorodny
chropowaty
walec
M
gładki
klocek
c
c
przegub
niewa Ň ka
spr ħŇ yna
niewa Ň ki
pr ħ t
l
l
m
m
masa punktowa
masa punktowa
Zadanie 8/18
Gładki klocek o masie M
zawieszono na niewa Ň kiej
spr ħŇ ynie o sztywno Ļ ci c .
Z klockiem poł Ģ czono
przegubowo cienki pr ħ t o
masie m i długo Ļ ci l .
Napisa ę ró Ň niczkowe
równania ruchu układu po
wytr Ģ ceniu go z poło Ň enia
równowagi.
c
M
m , l
5
36414791.030.png 36414791.031.png 36414791.032.png 36414791.033.png 36414791.034.png 36414791.035.png 36414791.036.png 36414791.037.png 36414791.038.png 36414791.039.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin