Rozdz_3.pdf

(272 KB) Pobierz
Microsoft Word - Rozdz_3.doc
83
3.
METODA ZMIENNYCH STANU
3.1. Wprowadzenie
Teoria zmiennych stanu posługuje się modelem matematycznym procesu dynamicz-
nego, w którym wielkości wejściowe, określone przez wektor )
f i wyjściowe, okre-
ślone przez wektor )
y (rys. 3.1), są powiązane za pomocą następujących równań
( t
[2], [6]:
x
(
t
)
=
Ax
(
t
)
+
Bf
(
t
),
(3.1)
y
(
t
)
=
Cx
(
t
)
+
Df
(
t
),
gdzie:
A ,
n ×
n
B ,
n ×
r
C ,
m ×
n
D - macierze parametrów,
m ×
r
x - wektor zmiennych stanu.
( t
)
f 1
f 2
f 3
układ skupiony
x 1 , x 2 , ..., x n
y 1
y 2
y 3
f r
y m
Rys. 3.1. Schemat układu do opisu zmiennymi stanu
W ogólnym przypadku, macierze parametrów mogą być zmienne w czasie (układ
niestacjonarny) lub zależeć od zmiennych stanu (układ nieliniowy). W odniesieniu
do układu reprezentowanego za pomocą równań stanu zakłada się, że nie ma w nim
opóźnienia (układ o stałych skupionych).
Pierwsze z podanych równań nazywane jest równaniem stanu, a drugie – równa-
niem wyjść. Zmienne stanu w (3.1) są związane z elementami inercyjnymi (reaktan-
cyjnymi), co daje wskazówkę co do sposobu tworzenia takich równań dla danego
systemu. W przypadku obwodu elektrycznego, zmienne stanu wynikają z zależności
pomiędzy napięciami a prądami w kondensatorach:
d
( )
Cu
(
t
)
=
i
(
t
)
(3.2)
dt
C
C
oraz w cewkach:
d
( )
Li
(
t
)
= .
u
(
t
)
(3.3)
dt
L
L
Parametry L , C w powyższych równaniach mogą być nieliniowe.
W sposób oczywisty wynika stąd, że w charakterze zmiennych stanu w obwodach
elektrycznych należy wybrać napięcia (ładunki) na kondensatorach i prądy (stru-
( t
&
648092669.018.png 648092669.019.png 648092669.020.png 648092669.021.png
84
3. METODA ZMIENNYCH STANU
mienie) w cewkach. Ilustruje to symbolicznie schemat na rys. 3.2 Jeśli wszystkie ele-
menty L , C oraz niezależne źródła zostaną wydzielone z sieci, to pozostała jej część
tworzy sieć bezinercyjną o parametrach skupionych.
u S
i C
i L
u C
C
sieć bezinercyjna
L
u L
Rys. 3.2. Graficzna reprezentacja sieci opisanej równaniami stanu
W przypadku złożonej sieci, wydzielone elementy inercyjne można opisać następu-
jącymi równaniami:
(
i S
i
C
(
t
)
=
g
C
u
C
,
i
L
,
u
S
,
i
S
,
t
)
,
(3.4)
(
) ,
u
(
t
)
=
g
u
,
i
,
u
,
i
,
t
L
L
C
L
S
S
gdzie funkcje g , g zależą od parametrów i konfiguracji sieci.
Zależności (3.4), po uwzględnieniu (3.2), (3.3) prowadzą do równań stanu. Liczba
niezależnych równań stanu określa rząd układu. Niekoniecznie jest ona równa sumie
elementów L , C w sieci. W odniesieniu do sieci liniowych, stacjonarnych, o elemen-
tach skupionych można tę kwestię rozstrzygnąć rozważając warunki początkowe,
niezbędne do rozwiązania odpowiednich równań różniczkowych stanu. Stosowne
przykłady są pokazane na rys. 3.3.
a)
b)
i L3
u S
L 3
i S
u C1
C 1
C 3
C 2
u C2
L 1
L 2
i L1
u C3
i L2
Rys. 3.3. Przykład niezależnego obwodu CE (a) i niezależnego przekroju LJ (b)
W przypadku obwodu z rys. 3.3a spełnione jest równanie:
u
S
(
t
)
+
u
C
1
(
t
)
+
u
C
2
(
)
+
u
C
3
(
t
)
=
0
(3.5)
Jeśli warunki początkowe odpowiednich równań różniczkowych tego obwodu
(oczka) mają być niezależne, to powyższe równanie musi być także spełnione dla
0
u S z definicji jest niezależna jako niezależne źródło napięciowe).
Widać zatem, że dla spełnienia postulatu niezależności równań obwodu, jedna ze
zmiennych w zależności (3.5) może być zredukowana.
( t
)
t
= t przy niezależnym wyborze wszystkich jego składników, co, jak widać, nie ma
miejsca (wielkość
648092669.001.png 648092669.002.png 648092669.003.png 648092669.004.png 648092669.005.png
3.1. Wprowadzenie
85
Podobne związki można wyprowadzić dla przekroju (rozcięcia) z rys. 3.3b (w tym
przypadku jest to węzeł):
i
S
(
t
)
+
i
L
(
t
)
+
i
L
2
(
t
)
+
i
L
3
(
t
)
=
0
(3.6)
= t określają warunki początkowe do roz-
wiązywania równań różniczkowych opisujących te cewki. Znów tylko dwa z tych
prądów są niezależne, a trzeci wynika z równania (3.6).
W przypadku sieci liniowych, stacjonarnych z elementami skupionymi, w której
występują tylko niezależne źródła prądu i napięcia, liczba n niezależnych równań
stanu jest określona następującą zależnością [1], [9]:
( )
n
=
n
LC
−
n
CE
+
n
LJ
,
(3.7)
gdzie: L n - suma wszystkich kondensatorów i cewek w sieci,
C n - liczba niezależnych obwodów CE w sieci,
L n - liczba niezależnych przekrojów LJ w sieci.
Przykłady niezależnych oczek oraz niezależnych przekrojów są pokazane na rys.
3.4.
a)
i L 1
i L 3
i L 4
i L 6
R 1
R 2
u 1
i 2
i 1
L 1
L 2
i L 2
i L 5
i L 7
C
b)
C 1
u 1
C 4
R 1
R 1
C 1
C 2
R 2
C 3
R 3
u 1
L 1
C 2
R 2
R 4
C 3
Rys. 3.4. Przykłady niezależnych przekrojów LJ (a) i niezależnych obwodów CE (b)
Jeśli w sieci występują źródła sterowane, to zależność (3.7) określa górną granicę mi-
nimalnego wymiaru układu równań stanu [1], [9].
Redukcja liczby równań zgodnie z (3.7) prowadzi do tego, że wśród wielkości
wymuszających, tworzących wektory napięć źródłowych
u i prądów źródłowych
i znajdą się także ich pochodne.
1
Prądy płynące w cewkach w momencie 0
648092669.006.png 648092669.007.png 648092669.008.png 648092669.009.png
86
3. METODA ZMIENNYCH STANU
3.2. Formułowanie równań stanu
Równania stanu obwodu elektrycznego tworzone są zgodnie z regułami wynikają-
cymi z praw Kirchhoffa. Ich przekształcenie powinno odbywać się zgodnie z założe-
niem, że zmiennymi stanu są prądy (strumienie) w cewkach oraz napięcia (ładunki)
na kondensatorach. Liczba równań powinna być zgodna z zależnością (3.7). Ilustruje
to poniższy przykład.
Przykład 3.1. Utworzyć równania stanu opisujące dynamikę sieci pokazanej na rys. 3.5.
Jako zmienne wyjściowe przyjąć prądy w elementach reaktancyjnych.
Obwód zawiera trzy elementy LC (
n =3), przy czym
LC
n =1 (oczko utworzone z elementów
CE
n =0. Zatem, liczba równań niezależnych: n =2.
W charakterze zmiennych stanu wybieramy prąd
LJ
i oraz napięcie
L
u .
C
2
u R 1
u R 2
i C 1
C 1
R 2
i R 2
i
i R 1
R 1
i C 2
L
i L
e
u C 2
C 2
j
Rys. 3.5. Przykładowa sieć elektryczna
Piszemy równania obwodu:
j
−
i
L i
−
2 =
0
,
C
du
R
1
+ i
i
−
=
0
,
R
1
dt
R
1
e
−
u
R u
−
=
0
,
L
di
L
−
R
i
=
0
,
R
i
−
u
=
0
.
1
C
2
dt
2
R
2
1
1
R
1
Należy z nich wyeliminować wszystkie zmienne, za wyjątkiem prądu
i , napięcia
L
u oraz
C
2
wymuszeń e i j .
Po niezbyt złożonych przekształceniach otrzymamy:
di
L
=
−
R
2
i
+
R
2
j
,
du
C
2
=
−
1
u
+
1
j
+
1
e
+
C
1
de
.
( )
( )
dt
L
L
L
dt
R
C
+
C
C
2
C
+
C
R
C
+
C
C
+
C
dt
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
Prąd
i jest także wielkością wyjściową, natomiast pozostałe prądy są określone następująco:
L
i
=
C
1
u
−
C
1
j
−
C
1
e
+
C
2
1
de
,
( )
( )
C
1
R
C
+
C
C
2
C
+
C
R
C
+
C
C
+
C
dt
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
i
=
−
C
2
u
+
C
2
j
+
C
2
e
+
C
1
C
2
de
.
( )
( )
C
2
R
C
+
C
C
2
C
+
C
R
C
+
C
C
+
C
dt
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
Równania te można zapisać w postaci macierzowej:
−
R
2
0
R
2
0
0
0
i
i
j
j
d
L
L
d
C
L
L
=
+
+
1
1
1
0
1
dt
u
u
e
dt
e
0
−
C
+
C
C
2
C
2
( )
( )
1
2
R
C
+
C
C
+
C
R
C
+
C
1
1
2
1
2
1
1
2
e , C 1 , C 2 ),
648092669.010.png 648092669.011.png 648092669.012.png 648092669.013.png 648092669.014.png 648092669.015.png
3.2. Formułowanie równań stanu
87
=
Ax
+
Bf
+
B
d
f
,
1
dt
1
0
0
0
0
0
i
L
C
i
C
C
j
C
2
1
d
j
i
=
0
1
L
+
−
1
−
1
+
0
( )
( )
C
1
R
C
+
C
u
C
+
C
R
C
+
C
2
e
C
+
C
dt
e
i
1
1
2
C
2
1
2
1
1
2
1
2
C
2
C
C
C
C
C
0
−
2
2
2
0
1
2
( )
( )
R
C
+
C
C
+
C
2
R
C
+
C
C
+
C
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
=
Cx
+
Df
+
D
d
f
.
1
dt
W równaniach tych występuje różniczkowanie sygnału wymuszającego, co nie jest korzyst-
ne. Można to wyeliminować przez podstawienie:
u C
=
−
C
1
e
.
e
2
C
+
C
1
2
Wówczas równania stanu przyjmą postać (3.1), gdzie:
−
R
2
0
R
2
0
i
( )
( )
L
i
L
j
L
x
=
L
u
,
A
=
,
B
=
,
f
=
,
y
=
i
,
1
1
C
e
C
1
2
0
−
e
i
R
C
+
C
C
+
C
R
C
+
C
2
C
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
0
0
0
0
0
( )
( )
C
C
C
C
C
2
1
C
=
0
1
,
D
=
−
1
−
1
2
,
D
=
0
.
( )
( )
1
R
C
+
C
C
+
C
R
C
+
C
2
C
+
C
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
C
C
C
2
2
C
C
0
−
2
2
0
1
2
R
C
+
C
2
C
+
C
C
+
C
R
C
+
C
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
Wyeliminowanie pochodnych względem wielkości wymuszających w równaniu stanu nie
prowadzi jednak do podobnej redukcji w równaniach wyjść.
Jak widać, równania stanu są formułowane zgodnie z ogólnymi zasadami opisu
obwodów elektrycznych. Liczba tych równań może być zredukowana do wartości
określonej przez (3.7). W ogólnym przypadku, równania te przyjmują następującą
postać:
d
d
p
x
(
t
)
=
Ax
(
t
)
+
Bf
(
t
)
+
B
f
(
t
)
+
...
+
B
f
(
t
)
,
(3.8)
1
dt
p
dt
p
d
d
p
y
(
t
)
=
Cx
(
t
)
+
Df
(
t
)
+
D
f
(
t
)
+
...
+
D
f
(
t
)
,
(3.9)
1
dt
p
dt
p
gdzie
0 .
Na drodze kolejnych podstawień zmiennych:
≤
np +
≤
CE
n
LJ
d
p
−
1
z
(
t
)
=
x
(
t
)
−
B
f
(
t
)
(3.10)
p
dt
p
−
1
&
648092669.016.png 648092669.017.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin