prwlas_w07.pdf
(
473 KB
)
Pobierz
Wiadomo±ci wst¦pne
Wybrane definicje i twierdzenia
Rozwi¡zanie problemu własnego – metody numeryczne
ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Budownictwo, studia I stopnia, semestr III
rok akademicki 2010/2011
Instytut L-5, Wydział In»ynierii L¡dowej, Politechnika Krakowska
EwaPabisek
AdamWosatko
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY
Wiadomo±ci wst¦pne
Wybrane definicje i twierdzenia
Rozwi¡zanie problemu własnego – metody numeryczne
Czym jest problem własny?
Algebraiczny problem własny – definicja
W teorii układów liniowych dla układu liniowych równa« algebraicznych
o zwykłej postaci:
Ax
=
y
,
gdzie
A
n
×
n
jest macierz¡ kwadratow¡, wyró»nia si¦:
1) pewn¡ dan¡ wielko±¢ wej±ciow¡
y
(
sygnał wej±ciowy
)
2) i poszukiwan¡ wielko±¢ wyj±ciow¡
x
(
sygnał wyj±ciowy
).
Równanie to przedstawia odwzorowanie wektora
x
w wektor
y
.
Istot¡ algebraicznego problemu własnego jest
poszukiwanie takiego
sygnału wej±ciowego
y
, do którego byłby proporcjonalny sygnał
wyj±ciowy
x
. Zatem powinien zachodzi¢ zwi¡zek:
y
=
x
,
w którym
jest skalarnym współczynnikiem proporcjonalno±ci.
Otrzymujemy ogóln¡ posta¢
standardowegoproblemuwłasnego
:
Ax
=
x
lub
(
A
−
I
)
x
=
0
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY
Wiadomo±ci wst¦pne
Wybrane definicje i twierdzenia
Rozwi¡zanie problemu własnego – metody numeryczne
Czym jest problem własny?
Algebraiczny problem własny – definicja
Standardowy problem własny ma posta¢:
Ax
=
x
lub
(
A
−
I
)
x
=
0
x
y
=
Ax
y
=
x
x
inny kierunek
inna norma
ten sam kierunek = kolinearno±¢
inna norma
Algebraiczny problem własny sprowadza si¦ zatem do poszukiwania
rozwi¡za« jednorodnego układu liniowych równa« algebraicznych,
w którym macierz współczynników
A
−
I
zale»y od jednego
parametru
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY
Wiadomo±ci wst¦pne
Wybrane definicje i twierdzenia
Rozwi¡zanie problemu własnego – metody numeryczne
Rozwi¡zanie problemu własnego
Rozwi¡zanie problemu własnego
Problem własny
(
A
−
I
)
x
=
0
ma nietrywialne rozwi¡zanie
x
6
=
0
tylko wtedy, gdy:
det
(
A
−
I
)=
0
Zajmiemy si¦ takimi algebraicznymi problemami własnymi, o których
b¦dzie wiadomo a priori, »e maj¡ dokładnie
n
liniowo niezale»nych
rozwi¡za«, przy czym
n
okre±la rozmiar macierzy
A
n
×
n
.
Rozwi¡zaniem problemu własnego jest zatem cały zbiór
n
par własnych
:
(
i
,
x
i
)
,
i
=
1
,
2
,...,
n
uporz¡dkowany przez relacje
1
2
...
n
.
Warto±ci
i
,
i
=
1
,
2
,...,
n
nazywamy
warto±ciamiwłasnymi
rowi¡zywanego problemu. Ka»dej warto±ci własnej odpowiada
wektorwłasny
x
i
. Zbiór warto±ci własnych
i
,
i
=
1
,
2
,...,
n
oznaczamy Sp
(
A
)
i nazywamy
widmem
(spektrum) macierzy
A
,
a liczb¦ max
i
|
i
|
– jej promieniem spektralnym
(
A
)
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY
Wiadomo±ci wst¦pne
Wybrane definicje i twierdzenia
Rozwi¡zanie problemu własnego – metody numeryczne
Rozwi¡zanie problemu własnego
Wektor własny – dowolna długo±¢
Je»eli
(
i
,
x
i
)
jest par¡ własn¡ macierzy
A
, to jej par¡ własn¡ jest tak»e
w
(
i
,
c
x
i
)
, gdzie
c
jest dowolnym skalarem ró»nym od zera.
Wynika to z faktu, »e je»eli
x
i
jest rozwi¡zaniem równania:
(
A
−
i
I
)
x
i
=
0
to jego rozwi¡zaniem b¦dzie równie»
c
x
i
(
c
6
=
0
)
, gdy» spełnia ono
równanie:
(
A
−
i
I
)(
c
x
i
)=
0
Wektor własny jest wi¦c okre±lony tylko z dokładno±ci¡ do kierunku,
natomiast jego długo±¢ mo»e by¢ dowolna.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY
Plik z chomika:
m_i_c_h_a_l
Inne pliki z tego folderu:
belka 2.docx
(10 KB)
belka matlab.doc
(19 KB)
calkrozn_10s.pdf
(5253 KB)
Kol1_przyklady.pdf
(71 KB)
Kol2_zad_roz.pdf
(111 KB)
Inne foldery tego chomika:
architektura
Budo_przem
budownictwo ogólne
chemia budowlana
drogi szynowe
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin