wykład 5.pdf

5Funkcjepot¦goweiwykładnicze.Logarytmyiichzastoso-

wania

Wbiologiiiinnychnaukachprzyrodniczychposzukujesi¦zale»no±cipomi¦dzyró»nymiwielko±ciami

(cechami)charakteryzuj¡cymibadaneobiekty.Przez x oznaczymywarto±¢cechyoznaczonejjako

C 1 ,wyra»onejwodpowiednichjednostkach,takiejjaknp.masa,powierzchniaciała,czas,st¦»enie,a

przez y warto±¢cechy C 2 .Pojawiasi¦pytanie,czywarto±ciom x cechy C 1 odpowiadaj¡jednoznacznie

wyznaczonewarto±ci y cechy C 2 .Innymisłowyczyistniejefunkcja f taka,»e y = f ( x ) . Rozró»nimy

trzysytuacje.

• Pierwsz¡ztychcechjestczas.Wtedyfunkcja f opisujeprzebiegwczasiejakiego±procesu,

któregoprzejawemjestzmianawarto±cidrugiejcechy.Wtymkontek±ciewarto±cicechy C 2

nazywasi¦stanamiprocesu.Jakoprzykładmo»narozwa»y¢cech¦ C 2 -mas¦ciałaczłowieka

mierzon¡ka»degodnialubliczebno±¢osobnikówjakiej±ustalonejpopulacjizwierz¡tzamiesz-

kuj¡cejustalonyobszar.

• Istnieniezale»no±cimo»eby¢przejawemtego,»eproces,którycharakteryzujececha C 1 wpływa

naproces,którycharakteryzujececha C 2 .Przykłademmo»eby¢zale»no±¢pomi¦dzyilo±ci¡

kaloriispo»ywanychka»degodniaprzezdzieckoimas¡jegociałamierzon¡ka»degodnia.

• Obiecechycharakteryzuj¡przebiegjakiego±jednegoprocesu,któryjestbezpo±redni¡przy-

czyn¡zmianwarto±ciobucech.Przykładówrównie»dostarczaﬁzjologia.Jakopierwsz¡cech¦

rozwa»mymas¦ciała,ajakodrug¡jegocałkowit¡powierzchni¦.Przyczyn¡zmianwarto±ciobu

cechjestwzrostliczbyiwpewnymstopniutak»ewielko±cikomórekciała.

Wkolejnychpodrozdziałachprzypominamypodstawowewiadomo±ciopewnychszczególnychfunk-

cjachprzyjmuj¡cychwarto±ciwzbiorzeliczbrzeczywistych.Chodzituofunkcjepot¦gowe,wykład-

nicze,logarytmiczne,wielomiany.Funkcjeteobokfunkcjitrygonometrycznych,pełni¡bardzowa»n¡

rol¦wewszelkichzastosowaniachmatematyki.

5.1Funkcjeliniowe

Najprostsz¡funkcj¡,któr¡mo»narozwa»y¢jestfunkcjaliniowa

y = f ( x )= mx + b

Zakładamydalej,»e m 6 =0,wprzeciwnymprzypadkufjestfunkcj¡stał¡przyjmuj¡c¡jedyniewarto±¢

b .Parametr m nazywasi¦współczynnikiemkierunkowymprostej.Wykresemfunkcjiliniowej

jestliniaprosta.Cech¡charakterystyczn¡funkcjiliniowejjestto,»eprzyrostwarto±cifunkcjijest

proporcjonalnydoodpowiadaj¡cegomuprzyrostuwarto±ciargumentówtzn.

x 2 − x 1 = ( mx 2 + b ) − ( mx 1 + b )

x 2 − x 1 = m ( x 2 − x 1 )

x 2 − x 1 = m

Przypomnijmy,»eliczba m równajesttak»ewarto±citangensak¡ta,przyktórymprostaprzecinao±

poziom¡układuwspółrz¦dnych.Je»eli m> 0tołatwosprawdzi¢korzystaj¡czpowy»szejrówno±ci,

»e f jestfunkcj¡rosn¡c¡tzn.spełnionyjestwarunek

( x 2 >x 1 ) ) ( f ( x 2 ) >f ( x 1 )) .

Przeciwnie,je±li m< 0to f jestfunkcj¡malej¡c¡tzn.spełnionyjestwarunek

( x 2 >x 1 ) ) ( f ( x 2 ) <f ( x 1 )) .

Dlauzupełnieniaterminologiidodajmy,»efunkcj¦,któraspełniawarunek

( x 2 >x 1 ) ) ( f ( x 2 ) f ( x 1 )) ,

nazywasi¦funkcj¡niemalej¡c¡,afunkcj¦spełniaj¡c¡warunek

( x 2 >x 1 ) ) ( f ( x 2 ) ¬ f ( x 1 )) ,

nazywasi¦funkcj¡nierosn¡c¡.Niektórzyautorzydlapodkre±lenia,ostrychnierówno±cifunkcj¦

rosn¡c¡nazywaj¡±ci±lerosn¡c¡amalej¡c¡±ci±lemalej¡c¡.Mimo,»eniematupowszechnie

przyj¦tejterminologiinazewnictwonieprowadzidodwuznaczno±ci.

Znajomo±¢funkcjiliniowejniewystarczajednakdoopisuprocesówwzrostuwyst¦puj¡cychwbio-

logii.Wﬁzjologiimamycz¦stodoczynieniazfunkcjamipot¦gowymiaprzyopisiewzrostupopulacji

pojawiaj¡si¦funkcjewykładnicze.

5.2Pot¦gowanie

Przypomnijmy,»epot¦g¡liczbyrzeczywistej a owykładniku n b¦d¡cymliczb¡naturaln¡nazywamy

iloczyn

z }| {

a · a...a. (1)

Byzdeﬁniowa¢pot¦g¦owykładnikub¦d¡cymliczb¡wymiern¡korzystasi¦zistnieniapierwiastkaz

liczbydodatniej.Mo»namianowicieudowodni¢,»edladowolnejliczbyrzeczywistej A> 0idowolnej

a n =

f ( x 2 ) − f ( x 1 )

= A 1 n .

Zatemdlaliczbnaturalnych m,n 6 =0iliczbyrzeczywistejdodatniej a

a m n = n p a m = a 1 n m .

B = n p

A ozn.

Wtensposóbokre±lasi¦pot¦g¦liczbyowykładnikub¦d¡cymliczb¡wymiern¡.Dalejrozszerza

si¦pot¦gowanienaprzypadekwykładnikówrzeczywistychkorzystaj¡czg¦sto±ciliczbwymiernych

wzbiorzeliczbrzeczywistych.Przypomnijmy,»edladowolnychliczbrzeczywistychdodatnich a,b

idowolnychliczbrzeczywistych x i y zachodz¡nast¦puj¡cewłasno±cipot¦gowania,któremo»na

wyprowadzi¢z(??)

a y = a x − y , (3)

( a x ) y = a xy , (4)

a x b x =( ab ) x . (5)

Woparciuowłasno±cipot¦gowaniadeﬁniujesi¦funkcj¦pot¦gow¡,wykładnicz¡orazlogaryt-

miczn¡.

5.3Karłyiolbrzymy

Znajomo±¢funkcjipot¦gowychjestniezb¦dnadotegobyzrozumie¢konsekwencjezró»nicowania

wielko±cizwierz¡t.

Przykład5.1Rozwa»myró»nezwierz¦tastałocieplneró»ni¡cesi¦wielko±ci¡aleozbli»onympla-

niebudowyciała.Wiadomo,»eimwi¦kszapowierzchniaciałazwierz¦ciatymwi¦ksza,wstanie

spoczynku,wymianaenergiicieplnejzotoczeniem.Powstajepytanie-ileenergii±redniobior¡cw

przeliczeniunajednostk¦masyciałamusiprodukowa¢zwierzemałewstosunkudodu»egoabyzrów-

nowa»y¢strat¦energiicieplnejwstaniespoczynku.Czyprawd¡jest,»ezwierzepi¦¢razyci¦»sze

produkuje±redniopi¦¢razywi¦cejenergii?Byodpowiedzie¢natopytanieznajdziemyzale»no±¢

pomi¦dzymas¡ciałazwierz¦ciaipowierzchni¡ciała.

Rozwa»myró»negatunkizwierz¡toschemaciebudowyciałajaknarysunku.

liczbynaturalnej n 1istniejeliczbarzeczywista B zwanapierwiastkiem n − tegostopniaz A taka,

ze B n = A .Zapisujesi¦wtedy

a x a y = a x + y , (2)

a x

Rys.5.1

Poniewa»interesujenasjedynieocenaszacunkowamasyipowierzchniciaładokonujemyuproszczenia

bior¡cpoduwag¦jedynietułówzwierz¦cia(np.ssaka),któryreprezentowanyjestjakowalecowyso-

ko±ci L ipromieniupodstawy L .Parametr L charakteryzujezatemrozmiarzwierz¦ciamierzonyod

ko±ciogonowejdopierwszegokr¦guszyjnego.Parametr okre±laproporcjeciała,stosunekpromienia

podstawywalcadojegowysoko±ci.Wtakimrazieobj¦to±¢tułowiatowprzybli»eniuobj¦to±¢walca

V = L · ( L ) 2 = 2 L 3 apowierzchniabocznawynosi P = L · 2 L =2 L 2 . Masaciała M jest

proporcjonalnadoobj¦to±ciczyli

L = CM 1 3 ,

gdzie C jeststał¡równ¡( m 2 ) − 1 3 .Mo»emywyrazi¢terazpowierzchni¦boczn¡poprzezmas¦

P = C 0 M 2 3 .

E ( M )= E 0 C 0 M 2 3

gdziestała E 0 okre±lastrat¦ciepłanajednostk¦powierzchniciała.St¡dpłyniewniosek,»estrata

ciepła S ( M )przypadaj¡canajednostk¦masyciaławynosi

M = E 0 C 0 M 2 3

M = E 0 C 0 M − 1 3 = E 0 C 0

M 1 3

M = m 2 L 3

gdzie m toci¦»arwła±ciwy,czylici¦»arjednostkiobj¦to±cinp.w[g/ cm 3 ]przyj¦tyjakowspólnydla

rozwa»anejgrupygatunkówzwierz¡t.Zostatniegorównaniawyliczamy

gdziestała C 0 =2( ) 1 3 m − 2 3 T¦zale»no±¢nazywasi¦czasemreguł¡powierzchni.Utrat¦ciepła

okre±lamyjako

S ( M )= E ( M )

Awi¦cS(M)wzrastanieograniczeniegdy M zbli»asi¦do0imalejedozeragdy M ro±nienieogra-

niczenie.Zatem

zwierz¦taomałejmasiemaj¡niekorzystnystosunekpowierzchnidomasyidlategotempometabolizmu

mierzonegojakoilo±¢energiiprodukowanawjednostceczasunajednostk¦obj¦to±ciciałamusiby¢

znaczniewi¦kszeni»uzwierz¡tdu»ychpotoabyzrównowa»y¢strat¦ciepła.

Nakoniecporównajmystrat¦ciepłauzwierz¡tró»ni¡cychsi¦pi¦ciokrotniemas¡ciała

E ( M ) = E 0 C 0 (5 M ) 2 3

E 0 C 0 M 2 3 =5 2 3 = 3 p

5 2 2 , 92 .

Przyprzyj¦tychzało»eniach,zwierz¦pi¦ciokrotnieci¦»szetraci,wprzybli»eniu,jedynietrzykrotnie

wi¦cejciepła.Ztychpowodówmałezwierz¦musije±¢znaczniewi¦cejni»du»ewstosunkudowłasnej

masyciała.Dlaprzykładu(patrz[?])sikoramodrawa»¡ca11gmusicodzienniezje±¢pokarmomasie

30%masyswojegociała,drozd±piewakwa»¡cy89g-10%,myszołówza±wa»¡cy900g-4 , 5%.Wynika

st¡d,»e±redniobior¡c,zwierz¦tamałes¡bezustanniezaj¦teposzukiwaniempokarmuizarazem

bardzowra»liwenagłód.Dlaprzykładuryjówkaniemo»eobej±¢si¦bezpokarmudłu»ejni»3

godz.Dalejid¡ctymtropemmo»nastwierdzi¢,»eistotinteligentnychwytwarzajacychkultur¦i

osi¡gaj¡cychrozmiaryryjówkiwwarunkachziemskichby¢niemo»e.Warunkiemrozwojukultury

jestbowiempewnadozaczasuwolnegododyspozycji.Jesttozarazemsilnyargumentprzeciwko

istnieniukrasnoludków.

Wi¦cejotegotypuzagadnieniachmo»naprzeczyta¢wbardzoprzyst¦pnienapisanejksi¡»ce[?]

atak»ewniecobardziejzaawansowanej[?].

5.4Funkcjepot¦gowe,wielomiany

Je±liwykładnik p> 0jestustalonyapodstawajestzmienn¡(argumentemfunkcji),ozn.przez x to

tak¡funkcj¦nazywamyfunkcj¡pot¦gow¡czyli

x 7! x p .

x 7! a x .

Je±li p 2 INtofunkcjapot¦gowa f ( x )= x p jestokre±lonadladowolnego x 2 IR .

Je»eli a> 1toimwi¦kszyargumentfunkcjiwykładniczejtymwi¦kszajejwarto±¢czyliwtym

przypadkufunkcjawykładniczajestfunkcj¡rosn¡c¡.Je±liza± a 2 (0 , 1)tofunkcjawykładniczajest

E (5 M )

Je±lipodstawa a> 0jestustalonaazmieniasi¦wykładnik,ozn.przez x totak¡funkcj¦nazywamy

funkcj¡wykładnicz¡

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: