wykład 8.pdf

8Podstawyanalizymatematycznej

Zajmiemysi¦podstawowymipoj¦ciamidziedzinymatematykizwanejanaliz¡matematyczn¡.Główne

poj¦ciaanalizytopochodnafunkcjiicałka.S¡oneniezb¦dnedokonstruowaniaianalizymodeli

matematycznychwewszystkichnaukachprzyrodniczychispołecznych.Genezatychpoj¦¢zreszt¡

wywodzisi¦zpróbyopisuzjawiskﬁzycznychisi¦gawiekuXVII.Centralnemiejscewanalizie

zajmujepoj¦ciegranicyci¡gu,któreprzedstawimywdo±¢ogólnymsformułowaniu.Słu»yono

mi¦dzyinnymidozdeﬁniowaniaci¡gło±ciipochodnejfunkcji.

9Granicaci¡guiszereguliczbowego

Rozpatrzmypewienzbiórniepusty X orazmetryk¦ d czyliokre±lonysposóbpomiaruodległo±ci.

Para( X,d )tworzyzatemprzestrze«metryczn¡.Wnajprostszymprzypadku X =IRa d ( x,y )=

| x − y | dla x,y 2 IR . Przypomnijmy,»eci¡giemelementówz X nazywamyfunkcj¦okre±lon¡na

dowolnympodzbiorze I zbioruliczbnaturalnychINowarto±ciachw X czyli

I 3 n ! a ( n )= a n 2 X.

Je»elimoczbioru I jestsko«czonatoci¡gnazywamysko«czonym.Je±limoczbioru I jesttakajak

moczbioruIN( I jestzbioremprzeliczalnymniesko«czonym)toci¡gnazywamyniesko«czonym.

Zajmiemysi¦ci¡gaminiesko«czonymi.Podstawowepytanie,któremo»natuzada¢jesttakie;

Czyistniejetakielementzbioru X wokółktóregoskupiaj¡si¦wszystkiewyrazyci¡guzpomi-

ni¦ciemby¢mo»esko«czonejichliczby.Dochodzimydopoj¦ciagranicyci¡gu.

Deﬁnicja1 Elementg 2 Xjestgranic¡ci¡gu { a n } 1 n =0 w.t.w.gdydladowolniewybranejliczby

"> 0 istniejeliczbaNtaka,»e

d ( a n ,g ) <"dlan>N.

Piszemywtedy

n ! + 1 a n = g,

imówimy,»eci¡g { a n } 1 n =0 jestzbie»nydog.

lim

Oznaczenielimpochodziodgreckiegosłowalimes-granica.Innymisłowy g 2 X jestgranic¡ci¡gu

{ a n } 1 n =0 je»eliwkuliodowolnympromieniui±rodkuw g znajduj¡si¦wszystkiewyrazyci¡guz

pomini¦ciemby¢mo»esko«czeniewielu(mówimywtedy,»e prawiewszystkiewyrazyci¡gu s¡wkuli

odowolnympromieniu).Rozwa»my X =IR 2 czylipłaszczyzn¦imetryk¦euklidesow¡.Poni»szy

rysunekilustrujezbie»no±¢ci¡gupunktówpłaszczyznydogranicy g .Wkoleodowolniemałym

promieniui±rodkuwpunkcie g jestniesko«czeniewielewyrazówci¡gu,apozakołemsko«czenie

wiele.Bardziejobrazowomówi¡cmo»emywyobrazi¢sobiegranic¦ci¡gujakotakipunkt g, »e

je±linakierujemyna«centralniemikroskoptoprzydowolnejzmianiepowi¦kszeniawidzimyprzez

binokularniesko«czeniewielepunktówwokółpunktu g awszystkichpozostałychpunktówjest

zawszesko«czeniewiele.

Rys.7.1

Wprzypadkuci¡gówliczbowychtzn.takich,którychwyrazys¡liczbamirzczywistymi( X =IR),

wpowy»szejdeﬁnicjitrzebaoczywi±ciewstawi¢ d ( x n ,g )= | a n − g | . Rysunekponi»ejilustruje

zbli»aniesi¦kolejnychwyrazówci¡guliczbowegodogranicy

Rys.7.2

Wyobra¹mysobie,»ewyrazyci¡gureprezentuj¡stanyjakiego±procesuﬁzycznegowposzcze-

gólnychchwilachczasu n =0 , 1 , 2 ... .Je»elitestanyprzyjmuj¡zczasemwarto±cicorazbli»sze

pewnegostanuﬁnalnegodoktóregoprocesd¡»ytomatematyczn¡idealizacj¡tegotypuzjawiska

jestwła±niepoj¦ciezbie»no±cici¡gudogranicy.

Zdeﬁnicjiwynikaodrazu,»eci¡gmo»emie¢conajwy»ejjedn¡granic¦.Ci¡g,któryniema

granicynazywamyci¡giemrozbie»nymnp.ci¡g,którego n -tywyrazzapisujesi¦jako c n =( − 1) n

przyjmujewarto±¢1gdy n jestliczb¡parzyst¡i − 1wprzeciwnymprzypadku,jestrozbie»ny.Jest

jasnetak»e,»eje±lizci¡guzbie»negousuniemydowoln¡sko«czon¡liczb¦wyrazówniezmienito

granicyci¡gu.

Wida¢,»enaprzykładgranic¡ci¡gu { a n } + 1

n =1 = { 1 n } + 1

n =1 jest0cozapisujemy

lim

n ! + 1

n =0 .

Bytowykaza¢wystarczydladowolnejliczby "> 0znale¹¢ N takie,»edla n>N zachodzi

n − 0 | = 1

n <".

Oczywi±cieka»daliczba N> 1 " spełniatenwarunek.Naprzykładje±liwybierzemy " = 1 10 to

wystarczywzi¡¢ N =11bowtedy 1 n < 1 10 dlawszystkich n 11.Je±liwybierzemy " = 1 520 to

wystarczywzi¡¢ N =521itd.

n =0 jestrozbie»nydo + 1 w.t.w.gdydladowolnegoR> 0 istniejeNtakie,

»edlawszystkichn>Na n >R.Zapisujemyto

n ! + 1 a n =+ 1 .

Ci¡g { a n } 1 n =0 jestrozbie»nydo −1 w.t.wgdyci¡g {− a n } 1 n =0 jestrozbie»nydo + 1 .

Je±lilim n ! + 1 a n =+ 1 tolim n ! + 1 1 a n =0 .

Przykład7.1.

n ! + 1 n k =+ 1 gdy k> 0 (1)

lim

n ! + 1 b n =+ 1 gdy b> 1 (2)

lim

n ! + 1 b n =0gdy | b | < 1 (3)

Podamyterazkilkatwierdze«dotycz¡cychgranicci¡gów.

Twierdzenie3 Ci¡gliczbowy { a n } 1 n =0 ,któryjestograniczony(tzn.istniejeliczbaMtaka,»e

dlaka»degon | a n | <M)iniemalaj¡cylubnierosn¡cyjestzbie»nydopewnejliczbygtakiej,»e

| g |¬ M.

| 1

Deﬁnicja2 Ci¡g { a n } + 1

lim

Wprzypadkuci¡guniemalej¡cegot¡granic¡jestnajmniejszazliczbograniczajacychci¡g { a n } 1 n =0

odgórytzw.kresgórnyzbioruwszystkichwyrazówci¡gu.Poni»szyrysunekilustrujetak¡sytuacj¦

a n =1 − ( − 1) n

,któryaniniejestnierosn¡cyaniniemalej¡cy.Jegowyrazyzbiegaj¡dogranicyoscylacyjnietzn.

przyjmuj¡warto±cinaprzemianmniejszelubwi¦kszeod1.

Rys.7.3

Wprzypadkuci¡gunierosn¡cegojegogranicajestnajwi¦ksz¡zliczbograniczaj¡cychci¡g { a n } 1 n =0

oddołutzw.kresdolnyzbioruwszystkichwyrazówci¡gu.Poni»szyrysunekprzedstawiaci¡g

zbie»ny

Rys7.4

Mo»naudowodni¢(patrz.[28]str.33),»eci¡g

1+ 1

jestrosn¡cyiograniczonyprzezliczb¦3.MaonzatemnamocyTwierdzenia3granic¦ijejwarto±¢

mo»naprzyj¡¢jakodeﬁnicj¦stałejEuleraozn. e ,

1+ 1

lim

n ! + 1

= e.

Jesttowła±nieliczba,którajestpodstaw¡logarytmunaturalnego.Jestonaliczb¡niewymiern¡

którejprzybli»onawarto±¢wynosi e 2 , 718 .

Podci¡giemdanegoci¡gu { a n } 1 n =0 nazywamydowolnyniesko«czonyci¡gwyrazówwybranych

zci¡gu { a n } 1 n =0 , zzachowaniemichporz¡dkuwyst¦powania.Naprzykładpodci¡giemci¡gu

{ a n } 1 n =0 jestci¡g { a 2 n } 1 n =0 składaj¡cysi¦tylkozwyrazówonumerachparzystychci¡gu { a n } 1 n =0

Bezpo±redniozdeﬁnicjigranicyci¡guwynikanast¦puj¡cetwierdzenie.

Twierdzenie4 Je»elici¡gjestzbie»nydopewnejliczbytowszystkiejegopodci¡gizbiegaj¡dotej

samejliczby.

Otowłasno±ciarytmetycznegranicyci¡gu

Twierdzenie5 Przyzało»eniu,»eistniej¡graniceci¡gów lim n ! + 1 a n = a,oraz lim n ! + 1 b n = b

spełniones¡nast¦puj¡cerówno±ci

lim

n ! + 1 ( a n b n )= ab

lim

n ! + 1

b n = a

b je±lib,b n 6 =0

n ! + 1 ( a n ± b n )= a ± b

lim

a n

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: