intro10.pdf

(80 KB) Pobierz
381442622 UNPDF
WSTE¸PDOMATEMATYKI Lista10
1. Zbada¢zbie»no±¢nast¦puj¡cychszeregów:
1 P
3
n 2 +2
1 P
n +1
n 2 +1
1 P
sin( 2 n )
1 P
100 n
n !
n =1
n =1
n =1
n =1
1 P
1 P
1 P
n k =2 (1 − k p
1 P
n 2 sin( 2 n )
n !
n n
2)
( n +1) 2 n
(2 n 2 +1) n
n =1
n =1
n =2
n =1
1 P
1 P
n ) n 2 1 P
n =1
1 P
2 n +3 n
3 n +4 n
n ( n − 1
n 2 + n +1
2 n 3 − 1
2 n − 1
3 n − 1
n =1
n =2
n =1
1 P
1 P
arctg ( 1 n 2 )
sin 3 n
sin 2 n
n =1
n =1
2. Korzystaj¡czdefinicjizbada¢zbie»no±¢szeregówpodaj¡c-dlaszeregówzbie»nych-ichsumy.
1 P
( 1
n +2 − 1
n +1 )
1 P
( − 1) n 1 P
n =1
ln(1+ 1 n )
n =1
n =1
1 P
1 P
1 P
sin[ 4 (2 n − 1)]
1
( + n )( + n +1)
1
n ( n +1)( n +2)
n =1
n =1
n =1
1 P
1 P
3 n +2 n
4 n
arctg ( 1
2 n 2 )
n =1
n =1
3. Zbada¢dlajakichwarto±ciparametru nast¦puj¡ceszeregis¡zbie»ne:
1 P
n p
b − 1
,b> 0 ,
1 P
1+ 1 n
n − e .
n =1
n =1
4. Zakładamy,»eszeregowyrazachdodatnich
1 P
a n jestrozbie»ny.Niech S m =
m P
a n . Udowodni¢,
n =1
n =1
1 P
»eszereg
S n jestrozbie»ny.
n =1
5. Definiujemyci¡g: b 0 = b 1 =1 ,b n +1 = b n + 1 n 2 · b n − 1 ,n ­ 2 . Zbada¢zbie»no±¢szeregu
1 P
b n .
n =1
6. Zbada¢zbie»no±¢izbie»no±¢bezwzgl¦dn¡szeregów:
1 P
( − 1) n
3 n +1
1 P
( − 1) n n +2
n 2 +3
1 P
cos( n )
n p n
n =1
n =1
n =1
1 P
1 P
3 n +1 ) n 1 P
n =1
( − 2) n
n 2
( 1 − 2 n
( − 1) n
n !
n =1
n =1
7. Udowodni¢,»eje»elizbiórsumcz¦±ciowychszeregu
1 P
a n jestograniczony,szereg
1 P
| b n − b n +1 |
n =1
n =1
1 P
jestzbie»nyorazlim
n !1 b n =0 , toszereg
a n · b 2 n jestzbie»ny.
n =1
n =1 b¦dzieci¡giemwyrazówniezerowychzbie»nymdogranicy a, róznejodka»degoz
wyrazówci¡gu.Udowodni¢,»eszereg
1 P
( a n +1 − a n )jestzbie»nybezwzgl¦dniewtedyitylkowtedy,
1
n =1
.
1 P
gdyzbie»nyjestszereg
a n +1 − 1 a n
n =1
a n
1
8. Niech( a n ) 1
381442622.007.png 381442622.008.png 381442622.009.png 381442622.010.png 381442622.001.png 381442622.002.png
 
ZADANIEDOMOWE Lista10
1. Zbada¢zbie»no±¢nast¦puj¡cychszeregów:
1 P
tg( 4 n )
1 P
n sin( 1 n 2 )
1 P
( n !) 2
(2 n )!
1 P
n n
3 n n !
n =1
n =1
n =1
n =1
1 P
1 P
1 P
n p n 100
1 P
3 n n n 2
( n +1) n 2
arccos n ( 1 n 2 )
(1 − n sin( 1 n ))
n =1
n =1
n =1
n =1
1 P
1 P
1 P
n +2
n +100
( − 1) n n
100 n 2 +1
n
ln( n )
n =1
n =1
n =1
2. Korzystaj¡czdefinicjizbada¢zbie»no±¢szeregówpodaj¡c-dlaszeregówzbie»nych-ichsumy.
1 P
1
p n − p n +1
1 P
1
n 2 +5 n +6
1 P
n 2 + n +1
n ( n +1)
n =1
n =1
n =1
1 P
1 P
1 P
ln(1 − 1 n 2 )
( − 1) n +1 (2 n − 1)
( 5 7 ) n
n =1
n =1
n =1
1 P
n − 1
n !
n =1
3. Zbada¢dlajakichwarto±ciparametru nast¦puj¡cyszeregjestzbie»ny:
1 P
( n p n − 1) .
n =1
4. Udowodni¢,»eje»eliszeregowyrazachdodatnich
1 P
a n jestzbie»ny,todladowolnegoparametru
n =1
1 P
b> 0zbie»nyjestszereg
( b a n − 1) .
n =1
1 P
5. Zakładamy,»eszereg
a n ,a n > 0 , jestzbie»ny.Wykaza¢,»ezbie»nyjestrównie»szereg
n =1
p a n +1 a n . Udowodni¢,»eprzyzało»eniu,i»ci¡g( a n ) 1 n =1 jest(silnie)malej¡cy,zachodziimplikacja
odwrotna.Poda¢przykładci¡gupokazuj¡cy,»etaimplikacja(odwrotna)niezawszejestprawdziwa.
6. Zakładamy,»e b 1 ,> 0 . Dla n ­ 2definiujemy b n +1 = b n e − b n . Korzystaj¡czkryteriumRaabego
zbada¢zbie»no±¢szeregu
n =1
1 P
b n .
n =1
7. Zbada¢zbie»no±¢izbie»no±¢bezwzgl¦dn¡szeregów:
1 P
( − 1) n ln( n )
n
1 P
( − 1) n +1 ( n +2
3 n − 1 ) n 1 P
n =1
( − 1) n 1
n − ln( n )
n =1
n =1
1 P
1 P
1 P
( − 1) n n 4 n
( − 1) n ln( n )
n ln(ln( n ))
( − 1
ln( n ) ) n
n =1
n =1
n =1
1 P
1 P
1 P
( − 1) n (1 − cos( 1 n ))
( − 1) n n 2
n 3 +1
cos( n )
n
n =1
n =1
n =1
8. Zakładamy,»eszereg
1 P
( b n − b n +1 )jestzbie»nybezwzgl¦dnieaszereg
1 P
a n jestzbie»ny.
n =1
n =1
1 P
Udowodni¢,»eszereg
a n · b n jestzbie»ny.
n =1
9. Udowodni¢,»eje»elici¡g( n · a n ) 1 n =1 orazszereg
1 P
n ( a n +1 − a n )s¡zbie»ne,torównie»szereg
n =1
1 P
a n jestzbie»ny.
n =1
1 P
381442622.003.png 381442622.004.png 381442622.005.png 381442622.006.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin