tematy_arkusze_1-5.pdf

(108 KB) Pobierz
Tematy_arkusze_1-5
Tematy zada ı – arkusze maturalne 1-5.
1. Zestaw 1 (egzamin przeprowadzony 7 stycznia 2003 r.)
Arkusz podstawowy
1) Powierzchnia prostok Ģ tnej działki budowlanej równa si ħ 1540 m 2 . Oblicz
wymiary tej działki wiedz Ģ c, Ň e ró Ň ni Ģ si ħ one o 9m.
2) Na wspólne konto pa ı stwa Kowalskich wpływaj Ģ pieni Ģ dze z ich dwóch pensji
miesi ħ cznych, razem jest to kwota 3200 złotych. Na pocz Ģ tku ka Ň dego miesi Ģ ca
mał Ň onkowie dziel Ģ cało Ļę tej kwoty. Na diagramie kołowym przedstawiono
struktur ħ planowanych, przez pa ı stwa Kowalskich, miesi ħ cznych wydatków.
Korzystaj Ģ c z tych danych:
a) Oblicz, ile procent danej kwoty stanowi Ģ miesi ħ czne wydatki pa ı stwa
Kowalskich na wy Ň ywienie.
b) Oblicz, ile pieni ħ dzy wydaj Ģ pa ı stwo Kowalscy w ci Ģ gu miesi Ģ ca ł Ģ cznie, na
gaz i energi ħ oraz czynsz
3) Upraszczaj Ģ c pierwiastek kwadratowy z liczby
27 +
10
2
, zapiszemy j Ģ w postaci
kwadratu sumy dwóch liczb. Post ħ pujemy nast ħ puj Ģ co:
( ) ( )
27
+
Przeanalizuj ten przykład, a nast ħ pnie, stosuj Ģ c analogiczne post ħ powanie,
upro Ļę
2
=
25
+
10
2
+
2
=
5
2
+
2
×
5
×
2
+
2
2
=
5
+
2
2
=
5
+
2
11
+
6
2
.
4) Równanie postaci
C
=
5
×
F
-
160
, ustala zale Ň no Ļę mi ħ dzy temperatur Ģ ,
9
9
wyra Ň on Ģ w stopniach Celsjusza (C) oraz Fahrenheita (F).
a) Oblicz, ile stopni w skali Fahrenheita, ma wrz Ģ ca w temperaturze 100 0 C
woda.
b) Wyznacz tak Ģ temperatur ħ , przy której liczba stopni w skali Celsjusza
jest równa liczbie stopni w skali Fahrenheita.
5) Dany jest trójk Ģ t, którego dwa boki maj Ģ długo Ļ ci 8 cm i 12 cm, k Ģ t zawarty
mi ħ dzy tymi bokami ma miar ħ 120 0 . Oblicz długo Ļę promienia okr ħ gu opisanego
na tym trójk Ģ cie.
6) Do pewnego przepisu z ksi ĢŇ ki kucharskiej nale Ň y przygotowa ę 0,25 litra płynu.
Mamy do wyboru trzy szklanki w kształcie walca, o wewn ħ trznych wymiarach:
pierwsza – o Ļ rednicy 6cm i wysoko Ļ ci 10cm, druga – o Ļ rednicy 5,8cm i
10
22914181.025.png 22914181.026.png 22914181.027.png 22914181.028.png
 
wysoko Ļ ci 9,5cm oraz trzecia – o Ļ rednicy 6cm i wysoko Ļ ci 9cm. Której szklanki
obj ħ to Ļę jest najbli Ň sza 0,25 litra? Odpowied Ņ uzasadnij.
7) Funkcja
f
:
R
®
R
jest okre Ļ lona wzorem:
f
(
x
)
=
x
2
-
6
x
+
12
.
.
b) Uzasadnij, Ň e obrazem wykresu funkcji f, w symetrii wzgl ħ dem prostej o
równaniu x=6 nie jest parabola, okre Ļ lona równaniem
f
(
x
)
-
19
>
0
.
8) Spo Ļ ród wszystkich wierzchołków sze Ļ cianu wybieramy jednocze Ļ nie trzy
wierzchołki. Oblicz prawdopodobie ı stwo zdarzenia polegaj Ģ cego na tym, Ň e
otrzymamy wierzchołki trójk Ģ ta równobocznego.
9) Wyka Ň , Ň e w trójk Ģ cie prostok Ģ tnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich
jego k Ģ tów wewn ħ trznych równa si ħ 2.
10) Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, podzielne przez 6 s Ģ kolejnymi
wyrazami pewnego ci Ģ gu arytmetycznego rosn Ģ cego.
a) Zapisz wzór ogólny na n-ty wyraz tego ci Ģ gu arytmetycznego.
b) Oblicz, ile wyrazów ma ten ci Ģ g.
c) Oblicz sum ħ pi ħ tnastu pocz Ģ tkowych kolejnych wyrazów tego ci Ģ gu.
Arkusz rozszerzony
11) Wyznacz najmniejsz Ģ i najwi ħ ksz Ģ warto Ļę funkcji
y
=
(
x
-
9
)
2
+
6
f
:
R
®
R
, okre Ļ lonej
wzorem:
f
(
x
)
=
(
x
-
1
)(
5
-
x
)
, w przedziale 7
0
,
.
, w którym niewiadom Ģ jest x. Zbadaj
liczb ħ rozwi Ģ za ı tego równania, w zale Ň no Ļ ci od parametru a.
13) Wyznacz te warto Ļ ci parametrów a oraz b, przy których funkcja
a 2
×
x
-
1
=
x
+
a
g
:
R
®
R
,
Ê
x
2
+
a
dla
x
¹
2
okre Ļ lona wzorem
g
(
x
)
=
jest ci Ģ gła w punkcie x=2.
Ë
x
-
2
b
dla
x
=
2
Ì
14) Suma n pocz Ģ tkowych, kolejnych wyrazów ci Ģ gu
(
n a , jest obliczana według
)
wzoru
S
=
n
2
+
3
,
(
n
Î
N
+
)
. Wyznacz a . Wyka Ň , Ň e ci Ģ g
n a jest ci Ģ giem
)
n
B . Wyznacz
współrz ħ dne punktu C le ŇĢ cego na osi OY, tak Ň e k Ģ t ACB jest k Ģ tem prostym.
18) Wybierz dwie dowolne przek Ģ tne sze Ļ cianu i oblicz cosinus k Ģ ta mi ħ dzy nimi.
Sporz Ģ d Ņ odpowiedni rysunek i zaznacz na nim k Ģ t, którego cosinus obliczasz.
19) Trapez równoramienny, o obwodzie równym 20cm, jest opisany na okr ħ gu.
Wiedz Ģ c, Ň e przek Ģ tna trapezu ma długo Ļę 41 cm, oblicz pole tego trapezu.
20) Funkcja h jest okre Ļ lona wzorem
A
(
-
9
-
2
)
oraz
4
2
)
h
(
x
)
=
log
(
x
2
-
4
)
-
log
(
-
5
)
. Wyznacz
2
2
wszystkie warto Ļ ci parametru k, dla których równanie
h
(
x
)
-
log
2
k
=
0
ma dwa
ró Ň ne pierwiastki.
21) Na kuli o promieniu R = 4 cm opisujemy sto Ň ki o promieniu r i wysoko Ļ ci H.
Spo Ļ ród wszystkich takich sto Ň ków wyznacz ten, który ma najmniejsz Ģ obj ħ to Ļę .
Oblicz t ħ obj ħ to Ļę . Oblicz promie ı i wysoko Ļę znalezionego sto Ň ka.
a) Rozwi ĢŇ nierówno Ļę
12) Dane jest równanie postaci
(
arytmetycznym.
15) Dziesi Ģ ty wyraz pewnego ci Ģ gu geometrycznego równa si ħ 10. Oblicz iloczyn
dziewi ħ tnastu pocz Ģ tkowych, kolejnych wyrazów tego ci Ģ gu.
16) Rzucamy pi ħę razy symetryczn Ģ kostk Ģ sze Ļ cienn Ģ . Oblicz prawdopodobie ı stwo
zdarzenia, polegaj Ģ cego na tym, Ň e „jedynka” wypadnie co najmniej cztery razy.
17) W układzie współrz ħ dnych s Ģ dane punkty:
x
22914181.001.png 22914181.002.png
 
2. Zestaw 2 (egzamin przeprowadzony w maju 2002 r.)
Arkusz1 - poziom podstawowy
1) Dana jest prosta l o równaniu
y
=
3
x
-
2
oraz punkt
A
(
-
3
-
2
)
. Wykres
2
funkcji liniowej f jest prostopadły do prostej l , punkt A nale Ň y do wykresu
funkcji f. Wyznacz:
a) wzór funkcji f,
b) miejsce zerowe funkcji f .
2) Dany jest wektor
AB
=
[
-
3
]
oraz punkt
A
(
-
2
)
. Oblicz:
3) W klasie licz Ģ cej 30 uczniów, dziewi ħ ciu obejrzało film pt. „Nasz XXI wiek”.
Wychowawca klasy otrzymał 4 bilety i zamierza wylosowa ę uczniów, których
zaprosi na projekcj ħ tego filmu. Oblicz prawdopodobie ı stwo zdarzenia, Ň e w Ļ ród
czterech wylosowanych z tej klasy uczniów nie ma ucznia, który ju Ň ten film
ogl Ģ dał.
4) W pewnej szkole Ļ redniej po pierwszym półroczu przeprowadzono test z
matematyki. Tabelka przedstawia zestawienie wyników testu:
v
=
-
2
×
AB
a) Sporz Ģ d Ņ diagram słupkowy przedstawiaj Ģ cy zestawienie wyników testu.
b) Oblicz Ļ redni Ģ arytmetyczn Ģ uzyskanych ocen.
c) Oblicz, ilu uczniów uzyskało ocen ħ wy Ň sz Ģ od Ļ redniej arytmetycznej
ocen.
5) Ania przeczytała ksi ĢŇ k ħ science-fiction w ci Ģ gu 13 dni, przy czym ka Ň dego dnia
czytała o tak Ģ sam Ģ liczb ħ stron wi ħ cej, ni Ň w dniu poprzednim. Ile stron miała ta
ksi ĢŇ ka, je Ň eli wiadomo, Ň e w trzecim dniu Ania przeczytała 28 stron a w
ostatnim 68?
6) Je Ň eli
x
1
=
2
,
x
2
=
3
,
x
3
=
-
1
s Ģ miejscami zerowymi wielomianu
= , to współczynnik a mo Ň na
wyznaczy ę post ħ puj Ģ c w nast ħ puj Ģ cy sposób: Wielomian W zapisujemy w postaci
iloczynowej:
(
x
)
=
ax
3
+
bx
2
+
cx
+
d
, gdzie
a
¹
0
oraz
W
(
4
)
2
W
(
x
)
=
a
x
-
2
)(
x
-
3
)(
x
+
1
i wykorzystuj Ģ c warunek
W
(
4
)
=
2
otrzymujemy równanie:
2
=
a
4
-
2
)(
4
-
3
)(
4
+
1
, st Ģ d
a
=
1
.
5
Post ħ puj Ģ c analogicznie, wyznacz współczynnik a wielomianu
d
W
(
x
)
=
ax
3
+
bx
2
+
cx
+
, wiedz Ģ c, Ň e jego miejsca zerowe to:
.
7) Planuj Ģ c czterotygodniowe wakacje, rodzina Kowalskich przeznaczyła pewn Ģ
kwot ħ na wy Ň ywienie. W pierwszym tygodniu wydano 30% zaplanowanej kwoty,
w drugim tygodniu o 60 złotych mniej ni Ň w pierwszym, w trzecim połow ħ reszty
pieni ħ dzy. Na czwarty tydzie ı zostało 270 złotych. Oblicz kwot ħ , któr Ģ rodzina
Kowalskich przeznaczyła na wy Ň ywienie.
8) Funkcja kwadratowa
1
=
-
2
,
x
2
=
1
,
x
3
=
2
oraz
W
(
-
1
=
3
f
(
x
)
=
ax
2
+
bx
-
3
, gdzie
b
>
0
posiada dwa ró Ň ne miejsca
zerowe, których iloczyn jest równy
(
-
3
)
. Wiedz Ģ c, Ň e funkcja ta przyjmuje
najmniejsz Ģ warto Ļę równ Ģ
(
-
4
)
, wyznacz:
a) współczynniki a i b ,
a) współrz ħ dne punktu B,
b) współrz ħ dne i długo Ļę wektora .
W
x
22914181.003.png 22914181.004.png 22914181.005.png
b) miejsca zerowe funkcji f.
9) Zaplanowano zalesi ę ugór w kształcie trójk Ģ ta równoramiennego, którego
długo Ļę najdłu Ň szego boku, na planie w skali 1:1500, jest równa 12 cm i jeden z
k Ģ tów ma miar ħ 120 0 . W szkółce le Ļ nej zamówiono sadzonki, w ilo Ļ ci
pozwalaj Ģ cej obsadzi ę obszar wielko Ļ ci 40 arów. Oblicz, czy zamówiona ilo Ļę
sadzonek jest wystarczaj Ģ ca do zalesienia ugoru.
10) Dane s Ģ dwie bryły: sto Ň ek, w którym długo Ļę promienia podstawy jest równa
4dm i wysoko Ļę ma długo Ļę
18 dm
p
oraz ostrosłup prawidłowy czworok Ģ tny, w
którym kraw ħ d Ņ podstawy ma długo Ļę 4 dm. Wiedz Ģ c, Ň e obj ħ to Ļ ci tych brył
s Ģ równe, wyznacz k Ģ t nachylenia Ļ ciany bocznej ostrosłupa do jego podstawy.
Arkusz 2 - poziom rozszerzony
11) Wyznacz wszystkie warto Ļ ci parametru m, dla których równanie
mx 2
-
3
m
+
1
x
+
m
=
0
nie ma rozwi Ģ zania w zbiorze liczb rzeczywistych.
12) A i B s Ģ zdarzeniami losowymi i
P
(
B
)
>
0
. Wyka Ň , Ň e
P
(
A
/
B
)
£
1
-
P
(
A
)
.
P
(
B
)
13) Sprawd Ņ , Ň e
przekształcenie
P
płaszczyzny
dane
wzorem
P
(
x
,
y
)
)
=
(
x
+
1
-
y
)
jest izometri Ģ . Wyznacz równanie obrazu okr ħ gu o
równaniu
x
2
+
y
2
-
2
x
=
0
w przekształceniu P.
14)
Zaznacz na płaszczy Ņ nie zbiór:
F
=
Ë
(
x
,
y
)
:
x
Î
R
Ù
y
Î
R
Ù
log
(
x
-
1
)
³
-
2
Ù
y
>
0
Û
.
1
Ì
Ü
2
. Przedstaw pole powierzchni całkowitej
tego walca jako funkcj ħ długo Ļ ci promienia jego podstawy i okre Ļ l dziedzin ħ tej
funkcji. Wyznacz długo Ļę promienia takiego walca, którego pole powierzchni
całkowitej jest najmniejsze.
16) Naszkicuj w jednym układzie współrz ħ dnych wykresy funkcji
250
p
cm
3
f
(
x
)
=
2
x
+
1
oraz
g
(
x
)
=
x
+
1
. Na podstawie wykonanego rysunku okre Ļ l liczb ħ ujemnych
x
rozwi Ģ za ı równania
f
(
x
)
=
g
(
x
)
.
17) Rozwi ĢŇ równanie:
x . Ze zbioru rozwi Ģ za ı
tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobie ı stwo
zdarzenia, Ň e co najmniej jedno z wylosowanych rozwi Ģ za ı jest wielokrotno Ļ ci Ģ
2
sin
2
x
+
ctgx
=
4
cos
x
dla
Î
0
2
p
p .
liczby
18) Rozwi ĢŇ nierówno Ļę
1
+
1
+
1
+
...
>
2
x
-
0
(
9
)
, gdzie lewa strona tej
2
x
4
x
8
x
nierówno Ļ ci jest sum Ģ niesko ı czonego ci Ģ gu geometrycznego.
19) W trójk Ģ cie jeden z k Ģ tów ma miar ħ 120 0 . Długo Ļ ci boków tego trójk Ģ ta s Ģ
kolejnymi wyrazami ci Ģ gu arytmetycznego, którego suma wynosi 30. Wyznacz
stosunek długo Ļ ci promienia okr ħ gu opisanego na tym trójk Ģ cie do długo Ļ ci
promienia okr ħ gu wpisanego w ten trójk Ģ t.
(
Ê
Ú
Napisz równania osi symetrii figury F.
15) Obj ħ to Ļę walca jest równa
22914181.006.png 22914181.007.png 22914181.008.png 22914181.009.png 22914181.010.png
3. Zestaw 3
Arkusz1 - poziom podstawowy
1) Na prostej o równaniu
y
=
2
x
+
2
znajd Ņ taki punkt, by suma kwadratów
3
odległo Ļ ci od obu osi układu była najmniejsza.
2) Dany jest trójk Ģ t o bokach długo Ļ ci: 4cm, 6cm, 8cm. Dwusieczna najwi ħ kszego
k Ģ ta wewn ħ trznego tego trójk Ģ ta dzieli przeciwległy bok na dwa odcinki. Oblicz
ich długo Ļ ci.
3) Rozwi ĢŇ nierówno Ļę
-
2
x
2
-
5
x
+
12
>
0
. Wska Ň liczby naturalne spełniaj Ģ ce t ħ
nierówno Ļę .
4) Kantor „Grosik” w dniu 1 lipca 2001 r. oferował swe usługi wg nast ħ puj Ģ cego
kursu walut:
Skup
Waluta
Sprzeda Ň
394 100 USD 402
169 100 DEM 174
547 100 GBP 557
51 100 FRF 52,50
217 100 CHF 223
Obja Ļ nienie: USD – dolar ameryka ı ski, DEM – marka niemiecka, GBP – funt
angielski, FRF – frank francuski, CHF – frank szwajcarski.
a) Jaka jest ró Ň nica cen sprzeda Ň y i skupu 100 jednostek poszczególnych walut?
b) Ile procent ceny skupu stanowi cena sprzeda Ň y poszczególnych walut?
5) Przed 10 laty ojciec był 4 razy starszy od syna. Za 10 lat obaj b ħ d Ģ mieli razem
100 lat. Ile lat ma obecnie ka Ň dy z nich?
6) Niech A oznacza zbiór wszystkich liczb całkowitych podzielnych przez 2, B –
zbiór wszystkich liczb całkowitych podzielnych przez 3. Opisz słownie lub
symbolicznie zbiory
A
Ç
B
oraz
A
È
B
, a nast ħ pnie wyznacz zbiory:
)
.
7) Niech A oznacza zbiór wszystkich liczb całkowitych podzielnych przez 2, B –
zbiór wszystkich liczb całkowitych podzielnych przez 3. Opisz słownie lub
symbolicznie zbiory
Ç
5
,
20
i
B
Ç
(
9
30
)
A
Ç
B
oraz
A
È
B
, a nast ħ pnie wyznacz zbiory:
A
Ç
5
,
20
)
i
B
Ç
(
9
30
)
.
Ê
x
2
+
2
x
dla
x
£
0
8) Sporz Ģ d Ņ wykres funkcji danej wzorem:
y
=
Ë
Ì
-
3
x
dla
x
>
0
9) Sprawd Ņ , czy podana równo Ļę jest to Ň samo Ļ ci Ģ :
Ä
1
+
1
Ô
sin
a
+
cos
a
)
=
1
+
2
Æ
sin
a
cos
a
Ö
sin
a
cos
a
10) Zbiór Z jest zbiorem sko ı czonym. Oblicz liczb ħ elementów tego zbioru wiedz Ģ c,
Ň e posiada on 67 podzbiorów co najwy Ň ej dwuelementowych.
11) Ile wa Ň y sto Ň ek wykonany z miedzi, którego przekrój osiowy jest trójk Ģ tem o
G
bokach długo Ļ ci 10cm, 10cm, 12cm? (Ci ħŇ ar wła Ļ ciwy miedzi wynosi
8
).
cm
3
Wynik podaj z dokładno Ļ ci Ģ do 0,1 kG.
Arkusz 2 - poziom rozszerzony
A
(
22914181.011.png 22914181.012.png 22914181.013.png 22914181.014.png 22914181.015.png 22914181.016.png 22914181.017.png 22914181.018.png 22914181.019.png 22914181.020.png 22914181.021.png 22914181.022.png 22914181.023.png 22914181.024.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin