1
IX.3 METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH.
Metoda elementów skończonych (MES) została zapoczątkowana przez Turnera w 1956 r., jakkolwiek wymienia się również nazwisko Couranta, którego matematyczna praca z 1942 r. stanowi podwaliny tej metody. Rozwój MES nastąpił w późnych latach sześćdziesiątych i siedemdziesiątych wraz z rozwojem techniki komputerowej, która umożliwiła rozwiązywanie bardziej złożonych zagadnień mechaniki, m.in. problemów nieliniowych. Lata osiemdziesiąte to dalszy rozwój metody w różnych dziedzinach mechaniki klasycznej, mechaniki płynów i termodynamiki, nieliniowych zagadnień geometrycznych i materiałowych, drgań itp. W Polsce popularność tej metody została zapoczątkowana podręcznikiem O.C. Zienkiewicza: Metoda Elementów Skończonych, przetłumaczonym przez prof. Igora Kisiela z Politechniki Wrocławskiej, podręcznika wydanego w 1972 r. Obecnie dzięki powszechności komputerów osobistych i ich stale rosnących mocy obliczeniowych, metoda elementów skończonych jest powszechnie dostępna i wykorzystywana w nauce przez pracowników i studentów oraz przez liczne biura projektowe.
IX.3.2 Podstawy MES.
Metoda elementów skończonych polega na dyskretyzacji kontinuum skończoną liczbą podobszarów (elementów) zwykle o prostej geometrii, które są ze sobą połączone w punktach nazywanych węzłami, najczęściej występującymi w narożach elementów. W węzłach elementów poszukiwane jest przybliżone rozwiązanie równania różniczkowego lub układu równań. Jest to więc zasadnicza różnica w stosunku do rozwiązania metodą różnic skończonych, w której dyskretyzacji podlegają równania różniczkowe, podczas gdy w MES dyskretyzuje się obszar rozwiązania. Metoda elementów skończonych dla wielu zagadnień wykazuje przewagę nad klasyczną metodą różnic skończonych, szczególnie w przypadku niejednorodności ośrodka i złożonych geometrycznie warunków brzegowych, które są w MES spełnione w sposób naturalny. Ponadto zaletą MES jest łatwość budowania algorytmów obliczeniowych i ich uniezależnienie od warunków brzegowych i początkowych.
Algorytm obliczeń MES można przedstawić w postaci następujących etapów:
1. dokonanie podziału obszaru rozwiązania na podobszary w postaci prostych geometrycznie elementów, zwykle trójkątów lub prostokątów (czworokątów) dla zagadnienia 2D, albo czworościanów, graniastosłupów lub prostopadłościanów w problemach trójwymiarowych;
2. wybór punktów węzłowych dla wybranego rodzaju elementu, w których określane będą niewiadome wartości wielkości fizycznych. Iloczyn liczby punktów węzłowych i liczby niewiadomych w węźle stanowi wymiar układu równań algebraicznych;
3. wybór funkcji rozkładu niewiadomych wielkości fizycznych w elemencie w zależności od wartości węzłowych;
4. przekształcenie równań różniczkowych do układu równań algebraicznych poprzez zastosowanie funkcji wagowych;
5. ułożenie układu równań algebraicznych dla całego obszaru na podstawie informacji o topologii elementów i węzłów;
6. uwzględnienie w macierzy warunków brzegowych i początkowych poprzez modyfikację współczynników lub eliminację części równań;
7. rozwiązanie układu równań i znalezienie wartości poszukiwanych wielkości fizycznych w węzłach obszaru;
8. dla zagadnień nieliniowych lub niestacjonarnych powtarzanie etapów 6 i 7 aż do uzyskania żądanej dokładności lub osiągnięcia wymaganej liczby kroków czasowych.
Istnieje kilka sformułowań MES. Najczęściej stosuje się podejście wariacyjne, polegające na minimalizacji funkcjonału lub sformułowanie Galerkina oparte na metodzie ważonych reziduów (reszt). Należy podkreślić, że obie metody prowadzą do jednakowego rozwiązania, tj. zbudowania takiego samego układu równań algebraicznych.
IX.3.3 Metoda ważonych reziduów
Metoda ważonych reziduów jest narzędziem rozwiązywania równań różniczkowych i ma kilka odmian. Jeśli dowolne równanie różniczkowe ważne jest w obszarze ciągłym i ograniczonym W, zapiszemy symbolicznie w postaci:
98)
z warunkiem brzegowym
, 99)
to wstawiając w równaniu w miejsce funkcji jej przybliżenie, otrzymujemy resztę różną od zera, bowiem funkcja aproksymująca nie spełni dokładnie równania różniczkowego:
. 100)
Załóżmy, że funkcja spełnia warunki brzegowe . Błąd aproksymacji może być minimalizowany (w średnim sensie) przez ortogonalizację wyrażenia ,tj.:
, 101)
Błąd! Nieznany argument przełącznika.
gdzie w jest funkcją wagową zależną tylko od współrzędnych.
Jeżeli liczba wartości poszukiwanej funkcji w węzłach jest n, to należy wybrać n-liczbowo niezależnych funkcji wagowych , z których każda musi spełnić równanie . Uzyskuje się w ten sposób odpowiednią liczbę równań algebraicznych:
. 102)
IX.3.3.1 Metoda kolokacji .
Jeśli przyjmiemy, że warunek zerowania reziduum będzie spełniony w skończonej liczbie punktów w , to wówczas możemy wyrazić funkcje wagowe jako dystrybucje Diraca - , gdzie wyrażają współrzędne punktów, w których spełniony będzie warunek .
Dystrybucja Diraca ma tę właściwość, że dla każdej funkcji ciągłej w :
. 103)
Przyjmując postać aproksymującej funkcji jako:
, 104)
gdzie funkcje spełniają jednorodne warunki brzegowe, równanie można zapisać następująco:
, 105)
gdzie: reprezentują funkcję Diraca w punktach kolokacji , jest wyrażeniem reziduum z równania .
W rezultacie całkowania otrzyma się układ równań pozwalający na obliczenie współczynników , a następnie określenie postaci poszukiwanej funkcji .
PRZYKŁAD
Rozważmy następujące równanie różniczkowe zwyczajne:
106)
określone na przedziale z warunkiem brzegowym .
Rozwiązaniem dokładnym tego równania jest funkcja , a wartość tej funkcji dla wynosi: .
Wybierzmy następnie funkcje:
107)
które zgodnie ze wzorem stanowić będą wyrażenie aproksymujące poszukiwaną funkcję:
108)
Podstawiając teraz tę funkcję do równania otrzymujemy postać reziduum:
109)
Wybierzmy następnie dwa punkty kolokacji i , dla których funkcje wagowe określone będą relacjami i . Podstawiając teraz kolejno otrzymane wartości do wzoru i uwzględniając otrzymujemy układ równań:
lub w postaci macierzowej
W wyniku rozwiązania tego układu otrzymujemy przybliżoną postać funkcji :
110)
Dla porównania z wartością dokładną obliczona wartość funkcji aproksymującej w punkcie wynosi .
Odmianą metody kolokacji jest metoda kolokacji w podobszarach, w której dokonuje się podziału obszaru rozwiązania na szereg podobszarów oraz zakłada się, że średni błąd w podobszarze zanika. Podobszary nie mają punktów wspólnych, ale razem pokrywają cały obszar rozwiązania.
W tym przypadku funkcje wagowe mogą być wyrażone przez funkcje Heaviside’a , które są zdefiniowane następująco:
111)
Przypadek kiedy , nie jest rozpatrywany. Przy odpowiednim doborze funkcji aproksymującej otrzymany układ równań jest tożsamy z rozwiązaniem metodą różnic skończonych dla funkcji aproksymującej w postaci wielomianu drugiego stopnia.
Rozważmy ten sam przykład równania różniczkowego co poprzednio, z tą samą funkcją aproksymującą.
Wybierzmy podział obszaru w punkcie , w wyniku czego otrzymamy dwa podobszary: i . Zgodnie ze wzorem funkcje wagowe będą teraz wyrażać się poprzez odpowiednie funkcje Heaviside’a odpowiadające tym podobszarom:
oraz . Dokonując podstawienia funkcji wagowych i funkcji reziduum danej wzorem do otrzymujemy dwa równania:
których postać macierzowa będzie następująca:
Po rozwiązaniu otrzymujemy funkcję :
Obliczona wartość funkcji aproksymującej w punkcie wynosi .
IX.3.3.2 Metoda momentów.
W metodzie momentów wybiera się jako funkcje wagowe zbiór funkcji liniowo niezależnych, t.j. spełniających warunek:
. 112)
Dla zagadnienia jednowymiarowego takimi funkcjami są:
. 113)
Poszukiwana funkcja jest aproksymowana za pomocą równania .
Wstawiając powyższe wyrażenia do warunku zerowania reziduum , otrzymuje się układ równań zależny od parametrów , którego rozwiązanie pozwala na określenie postaci funkcji .
Dla tego samego przykładu przyjmijmy jako funkcje wagowe dwie pierwsze z wyrażenia to znaczy
oraz , dla których po podstawieniu do równania otrzymamy układ równań:
Po obliczeniu całek otrzymujemy:
Funkcja po rozwiązaniu układu macierzowego:
Jej obliczona wartość w punkcie dla porównania z rozwiązaniem dokładnym wynosi .
IX.3.3.3 Metoda najmniejszych kwadratów.
Metoda najmniejszych kwadratów jest znana z jako jedna z metod oszacowania błędu pomiaru. Polega na minimalizacji kwadratu błędu poprzez obliczenie pochodnej i przyrównanie jej do zera. Jeśli postać funkcji aproksymacyjnej wyraża się wzorem to wówczas reziduum jest funkcją nieznanych współczynników , a minimalizacja błędu będzie dana układemrównań algebraicznych dla :
. 114)
Funkcje wagowe w tym przypadku będą dane wyrażeniem:
. 115)
Dla tego samego co poprzednio przykładu wyznaczymy postacie funkcji wagowych podstawiając wyrażenie do , w wyniku czego otrzymamy następujące równania ważonych reziduów:
...
madziaipawelek