Rozdz_7C.pdf
(
109 KB
)
Pobierz
PrimoPDF, Job 34
r
+
V
r
+
r
V
=
0
,
(7.69)
t
x
x
V
+
V
V
+
1
p
=
0
,
(7.70)
t
x
r
x
p
Ä
r
Ô
k
=
Å
Æ
Õ
Ö
.
(7.71)
p
r
0
0
Z postaci rwnania (7.71) wynika, Ňe przepþywajĢcy gaz jest pþynem barotropo-
wym (ciĻnienie jest tylko funkcjĢ għstoĻci); moŇemy zatem napisaę
p
=
d
p
r
=
a
2
r
,
Ú
Í
Û
t
d
r
t
t
(7.72)
p
d
p
r
r
=
=
a
2
.
Í
Ü
x
d
r
x
x
Í
WykorzystujĢc te zaleŇnoĻci przeksztaþcamy rwnanie ciĢgþoĻci
1
p
+
V
p
+
a
V
=
0
(7.73)
r
a
t
r
a
x
x
i nastħpnie dodajemy oraz odejmujemy od niego stronami rwnanie (7.70)
1
p
V
+
( )
V
a
Æ
1
p
V
Ö
=
0
.
(7.74)
r
a
t
t
r
a
x
x
Wprowadzimy dwie nowe zmienne
r i
I
t
(
x
,
)
r oraz obliczymy ich po-
II
t
(
x
,
)
chodne substancjalne
d
r
I,
II
r
I,
II
Ä
d
x
Ô
r
I,
II
=
+
Å
Æ
Õ
Ö
.
(7.75)
d
t
t
d
t
x
I,
II
Pochodne te bħdĢ znikaę
d
r
I,
II
=
0
,
d
t
jeĻli po porwnaniu wyraŇeı (7.75) z rwnaniami (7.74) przyjmiemy:
r
I,
II
=
1
p
V
,
(7.76)
t
r
a
t
t
185
Ä
Ô
r
I,
II
=
1
p
V
(7.76cd.)
x
r
a
x
x
oraz odpowiednio
Å
Æ
d
x
Õ
Ö
=
V
a
.
(7.77)
d
t
I,
II
pozostajĢ staþe na kaŇdej linii (7.77), okreĻlajĢcej chara-
kterystyki ukþadu rwnaı (7.69) (7.71); staþe wzdþuŇ charakterystyk wartoĻci fun-
kcji
r
i
r
noszĢ nazwħ n i e z m i e n n i k w
( p a r a m e t r w )
R i e m a n n a
.
Rys. 7.10
x
prostĢ interpretacjħ fizycznĢ; sĢ
to bowiem linie rozchodzenia siħ sþabych zaburzeı ciĻnieniowych wzglħdem nieru-
chomego ukþadu wspþrzħdnych. Zostaþo to przedstawione na rys. 7.10 dla zaburze-
nia wytworzonego w przekroju A - A przewodu wypeþnionego gazem poruszajĢcym
siħ z prħdkoĻciĢ
V a
(
t
,
< .
Po czasie D dþugoĻę odcinka przewodu objħta zaburze-
D +
Niezbħdne sĢ jeszcze zwiĢzki miħdzy parametrami gazu na charakterystykach.
W celu ich uzyskania piszemy rwnania na rŇniczki zupeþne funkcji
x
I
x
D
II
.
r
I,
t
(
x
,
)
d
r
=
r
I,
II
d
t
+
r
I,
II
d
x
I,
II
t
x
186
Ä
Ô
Oznacza to, Ňe sumy
V a
I
II
Charakterystyki sĢ liniami moŇliwych nieciĢgþoĻci pochodnych (przykþ. 7.13)
parametrw gazu i majĢ one w pþaszczyŅnie )
niem wynosi
II
i podstawiamy wzory (7.76)
d
r
=
1
Æ
p
d
t
+
p
d
x
Ö
Æ
V
d
t
+
V
d
x
Ö
=
d
p
d
V
.
I,
II
r
a
t
x
t
x
r
a
Na charakterystykach znikajĢ rŇniczki zupeþne funkcji
r
mamy zatem
I,
t
II
(
x
,
)
,
0
=
d
p
d
V
r
a
i nastħpnie
2
II
r
I,
Ð
=
d
p
V
.
r
a
WystħpujĢcĢ w powyŇszym wzorze caþkħ obliczamy przy wykorzystaniu rwnaı
(7.20) i (7.71)
d
p
d
p
p
1
0
k
-
k
+
1
Ð
=
Ð
=
Ð
p
2
k
d
p
=
r
a
k
r
k
p
r
0
=
2
k
p
=
2
a
k
-
1
r
k
-
1
i ostatecznie otrzymujemy dwie rodziny charakterystyk w pþaszczyŅnie stanu gazu
( , )
r
=
a
V
.
(7.78)
I,
II
k
-
1
2
Charakterystyki te utworzone sĢ przez dwie rodziny prostych rwnolegþych, nachy-
lonych pod kĢtami
b
=
@
arc
tg
k
-
1
, w lewo dla pierwszej rodziny i w prawo dla
2
drugiej, gdyŇ
Æ
d
a
Ö
=
@
k
-
1
=
@
t
g
b
.
(7.79)
d
V
2
I,
II
Ze wzoru (7.78) wynikajĢ zaleŇnoĻci:
a
=
k
-
1
( )
r
+
r
,
V
=
r
-
r
;
(7.80)
2
I
II
I
II
187
Ä
Ô
Ä
Ô
a V
Ä
Ô
rwnania charakterystyk (7.77) moŇemy wiħc rwnieŇ zapisaę nastħpujĢco
Æ
d
x
Ö
=
( ) ( )
.
2
r
-
r
k
-
1
r
+
r
(7.81)
d
t
I
II
I
II
I,
II
*
PrzedstawionĢ metodħ charakterystyk moŇna stosowaę do badania rŇnego ro-
dzaju przepþyww w walcowych rurach wypeþnionych gazem. JeŇeli gaz znajduje siħ
w spoczynku na odcinku przewodu AC w chwili t = 0, to w obszarze ABC (rys.
7.11a) charakterystyki sĢ liniami rwnolegþymi i reprezentujĢ linie ruchu zaburzeı
akustycznych. Jednorodny stan gazu w obszarze ABC jest okreĻlony w pþaszczyŅnie
stanu punktem o wspþrzħdnych
( )
0
Rys. 7.11
ZaþŇmy obecnie, Ňe w punktach A i C przewodu generowane sĢ staþe zaburzenia
ciĻnieniowe ze wzrastajĢcĢ prħdkoĻciĢ V, w przedziaþach czasu rwnych odpowied-
nio AD i CH (rys. 7.12a).
Warunki poczĢtkowe przepþywu
(
0
a
=
a
dla
V
=
0
zezwalajĢ na wyznaczenie
parametrw Riemanna (7.78)
r (7.82)
=
a
0
;
I,
-
II
k
1
zwiĢzki miħdzy prħdkoĻciĢ dŅwiħku a prħdkoĻciĢ przepþywu w fali ciĻnieniowej sĢ
wiħc nastħpujĢce
Å
Æ
a
Õ
Ö
=
1
@
k
-
1
Å
Æ
V
Õ
Ö
.
(7.83)
a
2
a
0
I,
II
0
188
Ä
Ô
0 a
(rys. 7.11b); przypadek taki nazywamy
p o d w j n i e z d e g e n e r o w a n y m
.
Ä
Ô
Ä
Ô
Rys. 7.12
UwzglħdniajĢc wzory (7.20) i (7.71) moŇemy rwnieŇ wyrazię pozostaþe parametry
gazu jako funkcje prħdkoĻci dŅwiħku:
2
k
2
2
p
Ä
a
Ô
k
-
1
r
Ä
a
Ô
k
-
T
Ä
a
Ô
=
Å
Æ
Õ
Ö
,
=
Å
Æ
Õ
Ö
,
=
Å
Æ
Õ
Ö
.
(7.84)
p
a
r
a
T
a
0
0
0
0
0
0
II
r zachowujĢ staþe wartoĻci, a niezmiennik
I
r jest staþy w caþym
obszarze ABED i rwnieŇ niezmiennik r jest staþy w caþym obszarze CBGH.
Tego rodzaju przepþywy, posiadajĢce tħ wþaĻciwoĻę, Ňe jedna rodzina charakte-
rystyk jest rodzinĢ prostych, nazywane sĢ
f a l Ģ p r o s t Ģ . W oparciu o poprzednie
rozwaŇania moŇemy stwierdzię, Ňe falĢ prostĢ jest kaŇdy przepþyw sĢsiadujĢcy
z przepþywem jednostajnym.
WychodzĢce z punktu A charakterystyki pierwszej rodziny tworzĢ falħ zgħszcze-
niowĢ. Jak widaę bowiem ze wzoru (7.83), wzrost prħdkoĻci powoduje wzrost prħd-
koĻci dŅwiħku, a zatem ciĻnienia, għstoĻci i temperatury (7.82). Gdy V i a rosnĢ, to
kĢty nachylenia tych charakterystyk malejĢ:
d = majĢ one zatem
tendencje do doganiania siħ i tworzenia coraz to silniejszego zaburzenia. W fali
ABED wszystkie charakterystyki drugiej rodziny sĢ liniami ruchu zaburzeı aku-
stycznych i stan gazu jest na nich okreĻlony tylko jednĢ charakterystykĢ BE w pþasz-
czyŅnie stanu (rys. 7.12b); przypadek taki nazywamy
p o j e d y n c z o z d e g e n e -
r o w a n y m
.
WychodzĢce natomiast z punktu C charakterystyki drugiej rodziny tworzĢ falħ
rozrzedzeniowĢ, gdyŇ ze wzrostem prħdkoĻci wartoĻci wszystkich pozostaþych pa-
rametry gazu malejĢ (7.81) (7.82) i powoduje to wzrost kĢta nachylenia charakte-
(
t
d
x
)
I
1
( )
;
V
a
189
1
Zarwno charakterystyki pierwszej rodziny wychodzĢce z punktu A, jak i cha-
rakterystyki drugiej rodziny wychodzĢce z punktu C sĢ liniami prostymi. Wynika to
natychmiast ze wzoru (7.81), gdyŇ na kaŇdej z tych charakterystyk niezmienniki,
odpowiednio
r i ,
Plik z chomika:
darius037
Inne pliki z tego folderu:
Rozdz_12B.pdf
(133 KB)
Rozdz_12A.pdf
(128 KB)
Rozdz_11C.pdf
(121 KB)
Rozdz_11B.pdf
(301 KB)
Rozdz_11A.pdf
(205 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin