Rozdz_9C.pdf
(
140 KB
)
Pobierz
PrimoPDF, Job 43
Z badaı doĻwiadczalnych wynika, Ňe dla wiħkszoĻci gazw Pr = 0.7 0.9. Czħ-
sto przyjmuje siħ wiħc Pr 1 i wtedy rwnanie energii (9.57) przyjmuje analogicznĢ
postaę jak rwnanie ruchu (9.54a), w ktrym
d
p
d
x
=
0
r
V
T
0
+
r
V
T
0
=
Å
Æ
m
T
Õ
Ö
.
(9.60)
x
x
y
y
y
y
Zatem, w przypadku gdy temperatura Ļcianki jest staþa gruboĻę warstwy przyĻciennej
prħdkoĻci d
V
jest rwna gruboĻci warstwy przyĻciennej temperatury d
T
(jest bo-
wiem
=
0
y
=
0
T
0
= const , (9.61)
co oznacza, Ňe zamiast zþoŇonego rwnania energii (9.54c) moŇna wykorzystaę
rwnanie (9.56), z ktrego wynika warunek brzegowy (9.55) dla temperatury na
Ļciance. Peþny ukþad rwnaı opisujĢcy przepþyw w ĻciĻliwej warstwie przyĻciennej
bħdzie wiħc w tym przypadku nastħpujĢcy:
r
Å
Æ
V
V
x
+
V
V
x
Õ
Ö
=
-
d
p
+
Å
Æ
m
V
x
Õ
Ö
,
Ú
Í
x
x
y
y
d
x
y
y
Í
( )
( )
r
V
+
r
V
=
0
,
x
x
y
y
Í
(9.62)
Û
V
2
Í
x
+
c
T
=
c
T
,
2
p
p
0
Í
p
=
R
T
.
Í
r
Ü
OczywiĻcie, taka forma rwnania energii nie odpowiada w peþni rzeczywistemu
przepþywowi gazu lepkiego w warstwie przyĻciennej i daje przybliŇone wartoĻci
parametrw wyznaczajĢcych ten przepþyw. JednakŇe otrzymane wyniki okazujĢ siħ
byę przydatne w wielu praktycznych obliczeniach oporw tarcia.
*
v
Rwnanie energii dla pþaskiego przepþywu cieczy lepkiej zapiszemy w postaci
(8.30) (8.31) uwzglħdniajĢc, Ňe
c
c
p
c
C
div
V
=
e
+
e
=
0
x
y
271
Ä
0
Ô
V ).
Jednym z moŇliwych rozwiĢzaı rwnania (9.60) jest
Ä
Ô
Ä
Ô
Wyprowadzimy jeszcze rwnanie termicznej warstwy przyĻciennej dla pþaskiego
przepþywu cieczy lepkiej przyjmujĢc:
d
T
Ç
Ä
V
Ô
2
Ä
V
Ô
2
×
Ä
V
V
Ô
2
r
c
=
l
D
T
+
2
m
È
É
Å
Æ
x
Õ
Ö
+
Å
Æ
y
Õ
Ö
Ø
Ù
+
m
Å
Æ
y
+
x
Õ
Ö
.
v
d
t
È
x
y
Ø
x
y
Po dokonaniu takich samych uproszczeı, jakie przyjħto w rwnaniu energii dla
ĻciĻliwej warstwy przyĻciennej (9.54), otrzymamy
Ä
T
T
Ô
2
T
Ä
V
Ô
2
r
c
Æ
V
+
V
Ö
=
l
+
m
Å
Æ
x
Õ
Ö
.
x
x
y
y
y
2
y
Dla cieczy lepkiej rwnanie termicznej warstwy przyĻciennej jest niezaleŇne od
rwnania Naviera-Stokesa; dla jednego pola prħdkoĻci moŇna wiħc obliczaę rozkþa-
dy temperatur w warstwie przyĻciennej, odpowiadajĢce rŇnym warunkom brzego-
wym. ZauwaŇmy jeszcze, Ňe rwnanie to jest liniowe, co zezwala na analizowanie
jego rozwiĢzaı dla rŇnych funkcji dyssypacji, po jednorazowym odwrceniu ope-
ratora dziaþajĢcego na temperaturħ T.
ĘWICZENIA
Przykþad 9.1. Z maþej szczeliny w pþaszczyŅnie (rys. 9.5) wypþywa ciecz lepka
w pþprzestrzeı ograniczonĢ tĢ pþaszczyznĢ i miesza siħ z otaczajĢcĢ cieczĢ. Wyzna-
czyę rozkþad prħdkoĻci czĢstek cieczy przy zaþoŇeniu symetrii ruchu, jeŇeli dany jest
strumieı pħdu cieczy w szczelinie.
WystħpujĢce w rozwaŇanym przepþywie zjawiska tarcia na granicy mieszania siħ
wypþywajĢcej i otaczajĢcej cieczy pozwalajĢ na uŇycie rwnaı warstwy przyĻcien-
nej. W rwnaniach tych pomijamy gradient ciĻnienia jako wielkoĻę bardzo maþĢ; dla
,
=
V
v bħdzie wiħc:
u
u
2
u
Ú
u
+
v
=
n
,
Í
Û
x
y
y
2
(9.63)
u
v
Í
Ü
+
=
0
.
x
y
Í
RozwiĢzanie tego ukþadu rwnaı powinno speþniaę warunki brzegowe:
v
=
0 =
,
u
0
dla y= 0,
y
u= 0
dla
y
=
.
272
u
,
y
x
V
=
Rys. 9.5
PomnŇmy drugie rwnanie z ukþadu (9.63) przez u i dodajmy do pierwszego,
otrzymamy
2
u
(
u
2
)
+
(
u
v
)
=
n
.
x
y
y
2
Caþkujemy to rwnanie wzglħdem y do 0 do (takie granice caþkowania moŇna
przyjĢę zgodnie z teoriĢ warstwy przyĻciennej)
Ð
v
u
u
2
d
y
+
u
=
v
.
x
0
y
0
0
PoniewaŇ zachodzi proporcjonalnoĻę wyrazu po prawej stronie do naprħŇeı stycz-
nych, a te w nieskoıczonoĻci muszĢ byę rwne zeru, na mocy warunkw brzego-
wych mamy
Ð
u
2
d
y
=
0
,
x
0
wiħc
1
Ð
u
2
d
y
=
P
=
const
;
(9.64)
2
0
tutaj P
jest strumieniem pħdu cieczy w kierunku osi x.
273
ZakþadajĢc samopodobny charakter przepþywu moŇemy przyjĢę, Ňe prħdkoĻę u
jest funkcjĢ
y b,
gdzie b
jest szerokoĻciĢ strugi, proporcjonalnĢ do
x
q
. Mamy wiħc
dla funkcji prĢdu (tj. funkcji speþniajĢcej rwnanie ciĢgþoĻci i okreĻlonej zaleŇno-
Ļciami
y
y
,
v
=
-
y
x
)
wyraŇenie
y
=
x
p
f
Æ
y
Ö
=
x
p
f
Æ
y
Ö
.
b
x
q
Wykþadniki p i q dobieramy w taki sposb, aby wszystkie wyrazy pierwszego rw-
nania (9.63) byþy tego samego stopnia wzglħdem x oraz aby byþa speþniona zaleŇnoĻę
(9.64). Po obliczeniach znajdziemy:
p
= q
1 =
3
,
2
3
WprowadzajĢc nowĢ zmiennĢ
h
=
1
y
3
n
x
2
3
wyrazimy funkcjħ prĢdu w postaci
y f
=
3
x
n
(
h
)
.
Skþadowe prħdkoĻci bħdĢ rwne:
u
=
1
f
,
Ú
3
x
1
3
Í
Û
Í
(9.65)
n
Í
Ü
v
=
-
(
f
-
2
h
f
)
;
3
x
2
3
Í
tutaj áprimemÑ oznaczono pochodnĢ wzglħdem h.
PodstawiajĢc wzr (9.65) do (9.63) mamy
f
+
f
f
+
f
2
=
0
.
(9.66)
Dla nowych zmiennych warunki brzegowe przyjmĢ postaę:
f
=
0
,
f
=
0
dla
h
=
0
,
f
=
0
dla
h
=
.
CaþkujĢc rwnanie (9.66) z uwzglħdnieniem powyŇszych warunkw brzegowych
otrzymamy
f
+
f
f
=
0
.
274
u
=
Ä
Ô
Ä
Ô
Po wprowadzeniu nowych zmiennych:
x
=
a
h
,
f 2
=
a
F
( )
x
gdzie a jest dowolnĢ staþĢ, bħdziemy mieli
F
+
2 =
F
F
0
;
warunki brzegowe sĢ okreĻlone zaleŇnoĻciami:
F
=
0
dla
x
=
0
,
F
=
0
dla
x
=
.
CaþkujĢc powyŇsze rwnanie otrzymamy
F
+
F
2
=
1
0 1
MoŇna
przyjĢę takie zaþoŇenie, poniewaŇ juŇ wczeĻniej wprowadziliĻmy staþĢ dowolnĢ a.
Wynikiem nastħpnego caþkowania z uwzglħdnieniem warunkw brzegowych jest
funkcja
F ( ) .
=
F = tgh ,
x
ktrĢ podstawiamy do pierwszego rwnania (9.68)
u
=
2
a
2
x
-
1
3
( )
.
1
-
tgh
2
x
3
StaþĢ caþkowania a moŇemy wyznaczyę z warunku (9.64); mianowicie
Ä
Ô
1
3
a
=
0
8255
Å
Æ
P
Õ
Ö
.
Å
Õ
n
Skþadowe prħdkoĻci czĢstek cieczy sĢ wiħc okreĻlone zaleŇnoĻciami:
Ä
P
2
Ô
1
3
( )
u
=
0
4543
Å
Æ
Õ
Ö
1
-
tgh
2
x
,
x
n
Ä n
P
Ô
1
3
[
( )
]
,
v
=
0
5503
Å
Æ
Õ
Ö
2
x
1
-
tgh
2
x
-
tgh
x
x
2
P y x
Badany przepþyw nosi nazwħ pþaskiej strugi zatopionej.
= 0 2752
n
2
1 3
2 3
.
275
ZaþoŇyliĻmy tutaj bez zmniejszania oglnoĻci rozwaŇaı, Ňe
gdzie
( ) ( )
x
,
Plik z chomika:
darius037
Inne pliki z tego folderu:
Rozdz_12B.pdf
(133 KB)
Rozdz_12A.pdf
(128 KB)
Rozdz_11C.pdf
(121 KB)
Rozdz_11B.pdf
(301 KB)
Rozdz_11A.pdf
(205 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin