08.pdf
(
539 KB
)
Pobierz
PRZEDMOWA
8.
ELEMENTY PŁYTOWE I POWŁOKOWE
1
ELEMENTY PŁYTOWE I POWŁOKOWE
8.
Ze względu na szerokie zastosowanie konstrukcji płytowych i powłokowych w budownictwie prace
nad formułowaniem coraz to efektywniejszych elementów skończonych płytowo-powłokowych są ciągle
kontynuowane. Poniżej przedstawimy tylko niektóre elementy skończone, wykorzystywane do analizy płyt i
powłok. Skoncentrujemy naszą uwagę na podstawowych krokach przy formułowaniu takich elementów. Na
wstępie przypomnimy równania teorii płyt, by ułatwić Czytelnikowi studiowanie tego rozdziału. Na koniec
zaproponujemy pewien sposób analizy powłok za pomocą płaskich elementów tarczowo-płytowych.
8.1 Naprężenia i odkształcenia płyt cienkich (Kirchhoffa)
Płyta cienka jest obiektem dwuwymiarowym, takim że jej wymiary w kierunku osi
x
i
y
są wielokrot-
nie większe niż jej grubość. Rysunek 8.1 przedstawia nieskończenie mały element płyty zginanej, dla której
płaszczyzna xoy jest równocześnie płaszczyzną obojętną (neutralną). Wysokość przekroju pokrywa się z
pełną grubością płyty t, podczas gdy inne wymiary wynoszą
dx
i
dy
. Płyta cienka znajduje się w stanie
zginania, gdy obciążenia działają w kierunku normalnym do jej płaszczyzny.
z,w
y,v
x,u
M
xy
M
xx
Q
x
Rys. 8.1. Elementarny wycinek płyty
Odkształcenia w płaszczyźnie warstwy płyty są zdefiniowane, jak w płaskim stanie naprężenia, za
pomocą równań:
ε
=
∂
u
,
ε
=
∂
u
,
ε
=
∂
u
,
(8.1)
x
∂
x
y
∂
y
z
∂
z
Z podstawowego założenia zginania płyt cienkich, według którego normalne do powierzchni obojętnej
pozostają proste i normalne w procesie deformacji wynika, że
u
=
−
z
⋅
∂
w
,
v
=
−
z
⋅
∂
w
,
(8.2)
∂
x
∂
y
skąd po podstawieniu do (8.1) otrzymujemy zależności: odkształcenie – przemieszczenie w postaci
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol –
Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
8.
ELEMENTY PŁYTOWE I POWŁOKOWE
2
∂
2
w
∂
2
w
∂
2
w
ε
=
−
z
⋅
,
ε
=
−
z
⋅
,
γ
=
−
2
z
⋅
,
(8.3)
x
∂
x
2
y
∂
y
2
xy
∂
x
∂
y
Zależność naprężenie - odkształcenia dla warstwy płyty jest identyczna, jak dla płaskiego stanu naprę-
żenia. Dla materiału izotropowego mamy więc:
σ ⋅
=
D
ε
(8.4)
gdzie przyjęto następujące oznaczenia:
E
1
ν
0
−
=
1
ν
D
=
⋅
ν
1
0
,
λ
,
1
−
ν
2
2
0
1
λ
Dla materiału ortotropowego operator D ma postać:
E
11
E
12
0
D
=
E
E
0
,
(8.5)
21
22
0
0
E
33
Wprowadźmy wektor naprężeń uogólnionych, odpowiadających wartościom momentów zginających,
przypadających na jednostkę długości płyty:
M
=
[
M
,
M
,
M
]
T
(8.6)
xx
yy
xy
Jeżeli
σ
=
E
(
ε
+
ν
⋅
ε
),
(8.7)
x
1
−
ν
2
x
y
to uogólnione naprężenie M
xx
wynika z całkowania wyrażenia
+
t
/
2
E
∂
2
w
∂
2
w
+
t
/
2
M
=
−
∫
σ
⋅
z
⋅
dz
=
+
ν
⋅
⋅
∫
z
2
dz
(8.8)
xx
x
1
−
ν
2
∂
x
2
∂
y
2
−
t
/
2
−
t
/
2
Podobnie otrzymamy pozostałe składowe wektora uogólnionych naprężeń:
E
t
3
∂
2
w
∂
2
w
M
=
+
ν
⋅
(8.9)
yy
1
−
ν
2
12
∂
y
2
∂
x
2
Et
2
∂
2
w
M
=
( )
y
⋅
(8.10)
xy
12
1
−
ν
2
∂
x
∂
Przyjmijmy wektor uogólnionych odkształceń Ф w postaci:
φ
=
[
φ
,
φ
,
φ
]
T
=
[
w
,
w
,
w
]
T
,
(8.11)
xx
yy
xy
xx
yy
xy
wówczas uogólniony operator dla naprężeń i odkształceń, oznaczony przez D, wynosi:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol –
Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
8.
ELEMENTY PŁYTOWE I POWŁOKOWE
3
D
3
=
D
t
(8.12)
12
Otrzymujemy więc relację macierzową:
M
=
D
(8.13)
Relacje wynikające z transformacji osi współrzędnych dla wielkości uogólnionych są identyczne z
występującymi w płaskim stanie naprężenia. Może to być zademonstrowane przez całkowanie po grubości
płyty w postaci następującej sekwencji przekształceń:
+
t
/
2
+
t
/
2
+
t
/
2
M
'
=
∫
−
σ
'
z
⋅
dz
=
∫
−
T
σ
z
⋅
dz
=
∫
−
T
σ
⋅
D
⋅
ε
⋅
z
⋅
dz
(8.14)
−
t
/
2
−
t
/
2
−
t
/
2
ale ponieważ
ε = -zФ
, więc dalej:
+
t
/
2
t
3
M
'
=
T
⋅
D
⋅
φ
∫
z
2
⋅
dz
=
T
⋅
D
⋅
φ
⋅
=
T
⋅
M
(8.15)
σ
σ
12
σ
−
t
/
2
Widać więc, że relacja między M' i M jest taka sama, jak między σ' a σ
.
By ustalić podobne zależności
między Ф' a Ф
,
możemy porównać podcałkowe wyrażenia określające wirtualny stan energii odkształcenia.
Otrzymamy ciąg przekształceń:
(
δ
M
'
)
T
φ
'
=
δ
M
T
φ
,
(
δ
M
'
)
T
φ
'
=
δ
M
T
φ
,
δ
M
T
T
φ
'
=
δ
M
T
φ
,
gdzie
δ
M
T
T
φ
'
=
δ
M
T
φ
,
(8.16)
σ
σ
φ
'
=
T
ε
φ
,
φ
'
=
T
ε
φ
,
Można także wykazać, że
D
=
T
⋅
D
⋅
T
T
,
(8.17)
σ
σ
z
Q
y
+
Q
y
y
dy
M
yx
M
yx
+
dy
y
y
M
yy
+
M
yy
x
dy
Q
x
M
xx
M
xx
+
M
xx
x
dx
M
xy
+
M
xy
x
dx
M
xy
Q
y
b
z
Q
x
+
Q
x
dx
x
M
yy
M
yx
Rys. 8.2. Definicja sił
wewnętrznych
Jeśli rozpatrzymy równowagę wyciętego nieskończenie małego fragmentu płyty (rys. 8.2) z uwzględ-
nieniem sił poprzecznych Q
x
i Q
y
oraz obciążenia b
z
, to otrzymamy:
• z równania równowagi
∑P
z
=0
:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol –
Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
x
8.
ELEMENTY PŁYTOWE I POWŁOKOWE
4
b
=
dxdy
−
Q
dy
+
(
Q
+
∂
Q
x
dx
)
dy
−
Q
dx
+
(
Q
+
Q
y
dy
)
dx
=
0
z
x
x
∂
x
y
y
∂
y
(8.18)
∂
Q
Q
x
+
y
+
b
=
0
∂
x
∂
y
z
• z równania równowagi ∑M
y
=0 względem osi y przy pominięciu efektów drugiego rzędu:
∂
M
xx
+
∂
M
yx
+
Q
=
0
(8.19)
∂
x
∂
y
x
• i podobnie z równania równowagi ∑M
x
=0:
∂
M
yy
+
∂
M
xy
+
Q
=
0
(8.20)
∂
y
∂
x
y
Ostatnie dwa równania pozwalają obliczyć siły poprzeczne z pochodnych momentów zginających.
8.2 Wybrane elementy płytowe
Naszkicujemy poniżej podstawowe założenia przyjęte podczas definiowania elementów płytowych w
lokalnym układzie współrzędnych. Pamiętajmy, że przy formułowaniu zadania brzegowego zawsze staniemy
przed problemem transformacji współrzędnych macierzy sztywności czy wektora obciążeń z układu lokal-
nego do globalnego.
8.2.1 Niedostosowany element prostokątny
Przedstawimy teraz jeden z najprostszych elementów płytowych, jakim jest niedostosowany element
prostokątny. Element ten, często zwany MZC od nazwisk jego twórców (Melosh, Zienkiewicz, Cheung), nie
spełnia warunków zgodności pochodnych na brzegach elementu. Jest więc elementem niedostosowanym.
Rysunek 8.3 pokazuje przyjętą geometrię elementu oraz definicję stopni swobody węzłów.
W elemencie tym wektor przemieszczeń dowolnego punktu ma tylko jedną składową
u = [w].
(8.21)
a)
3
b)
d
i1
d
i3
4
z
y
d
i2
x
2b
w
1
y
w
2
2a
1
w
1
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol –
Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
∂
∂
8.
ELEMENTY PŁYTOWE I POWŁOKOWE
5
Rys. 8.3. Element płytowy i definicja stopni swobody
Przyjmijmy trzy stopnie swobody w każdym z czterech węzłów:
d
=
[
d
d
d
]
T
=
[
w
∂
w
i
−
∂
w
i
]
T
(8.22)
i
1
i
2
i
3
i
∂
y
∂
x
odpowiednie zaś obciążenie węzłowe wynosi:
p
=
[
p
p
p
]
T
=
[
p
M
M
]
T
dla
i=1,2,3,4
(8.23)
i
1
i
2
i
3
zi
zi
yi
Funkcję aproksymującą przemieszczenia w przyjęto w postaci
w
=
c
⋅
1
+
c
⋅
ξ
+
c
⋅
η
+
c
⋅
ξ
2
+
c
⋅
ξη
+
c
⋅
η
2
+
c
⋅
ξ
+
1
2
3
4
5
6
7
(8.24)
+
c
⋅
ξη
+
c
⋅
ξη
2
+
c
⋅
η
3
+
c
⋅
ξ
3
η
+
c
⋅
ξη
3
8
9
10
11
12
Przypisane funkcje kształtu mają więc postać:
N
i
=
[
N
i
1
N
2
N
i
3
]
(8.25)
gdzie :
N
=
1
(
1
+
ξ
)(
1
+
η
)(
2
+
ξ
+
η
−
ξ
2
−
η
2
),
i
1
8
0
0
0
0
N
=
1
⋅
b
η
⋅
(
1
+
ξ
)(
1
−
η
)(
1
−
η
)
2
,
(8.26)
i
2
8
i
0
0
0
N
=
1
⋅
b
ξ
⋅
(
1
−
ξ
)(
1
+
η
)(
1
−
ξ
)
2
.
i
3
8
i
0
0
0
gdzie:
ξ ⋅
0
=
ξ
i
ξ
,
η ⋅
0
=
dla
i=1,2,3,4
η
i
η
,
Operator L, wynikający z (8.3), w którym opuszczono człon -z, ma postać:
∂
2
∂
2
∂
2
L
=
(8.27)
∂
x
2
∂
y
2
∂
x
∂
y
i definiuje macierz
B
w postaci
N
i
1
,
xx
N
i
2
,
xx
N
i
3
,
xx
B
=
L
N
=
N
N
N
(8.28)
i
i
i
1
,
yy
i
2
,
yy
i
3
,
yy
N
i
1
,
xy
N
i
2
,
xy
N
i
3
,
xy
W szczególności dla węzła pierwszego macierz H wynosi
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol –
Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
i
i
3
i
Plik z chomika:
sylwciac27
Inne pliki z tego folderu:
00_Przedmowa.pdf
(80 KB)
01.pdf
(139 KB)
02.pdf
(199 KB)
03.pdf
(467 KB)
04.pdf
(630 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin