Algebra - pojęcia.doc

Algebra

Iloczyn kartezjański zbiorów. Pojecie o zbiorach. Pojecie metryki. Działania na zbiorach.

{x,y} = {y,x} - zbiór dwuelementowy                 *x              *y

{x,y} = {y,x} – para uporządkowana  x,y Є X    y             * (x,y)

                 x

Pojecie iloczynu kartezjańskiego zbioru AЄX, BЄY

  AxB = { (x,y); x Є A ^ y Є B }

Np1. AxB, BxA gdzie A ={1,2} B={3,4}

      AxB= {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

         BxA= {(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}

Np2.  <-1,2>x<0,3> = {(x,y); x Є <-1,2>, y Є <0,3>}

RxR= R^2  - płaszczyzna kartezjańska  R2={(x,y); x Є R, y Є R}

Trójka uporządkowana:  (a,b,c):= ((a,b),c)

            AxBxC= {(x,y,z); x Є A, y Є B, z Є C}

Entka uporządkowana:   (x1,x2,x3,......xn-1, xn)= ((x1,x2,x3,......xn-1), xn) n≥3

X1 x X2 x X3 x....x Xn-1 x Xn  ={( x1,x2,x3,......xn-1, xn); xi ЄX i (i=1….n) }

RxRxR…. xR = Rn , n≥1 <= enta potęga kartezjańska zbioru liczb rzeczywistych

R3={(x,y,z); x, y, z Є R} np.: <0,1>x<02>x<2,3>

Pojecie odwzorowania:

Niech x Є Ø i y Є Ø to odwzorowaniem f zbioru X w Y (f:X->Y) nazywamy takie przyporządkowanie, w którym dla każdego x Є X (x:= argument) odpowiada dokładnie (i tylko) jeden y Є Y (y:= wartość odwzorowania f dla argumentu x; (y=f(x)))

Każdemu elementowi ze zbioru X musi być przyporządkowany jeden element ze zbioru Y w przeciwnym razie nie jest to odwzorowanie. (np. Każdemu studentowi jest przyporządkowane jedno krzesło. – jest odwzorowaniem, Każdemu studentowi przyporządkowany jest zegarek. -  nie jest odwzorowaniem, bo nie każdy ma zegarek)

f(x,y) =     4- x2 - y2     + ly2 (x2 + y2 -1 )

f: R2 ->R, jakie  (x,y) -> z= f(x,y)

(x,y) Є Df <-> { 4- x2 - y2 ≥0

                        { x2 + y2 -1>0

(x,y) Є k(0,2)- k(0,1)<-> { x2 + y2 ≤4

                                            { x2 + y2 >1

Dziedziną naturalną odwzorowania określonego przepisem nazywamy zbiór X elementów, dla, których ten zbiór ma sens.

Odwzorowane w płaszczyznę przedziału f<0,2π>->o(0,R) <- R2

t -> ( Rcos(t), R sin(t) ) <=> { x= R cos(t)

                                              { y= R sin(t)

f: R3 -> R2 , gdzie { x’= 2x-3y+z y: (x,y,z) ->(x’,y’)

                             { y’= x+ y + z

A= {0,1}, to f: AxA ->A, gdzie   f(x,y)= max {x,y} Є {0,1}

                                                h(x,y)= min {x,y} Є {0,1}

Pojecie przestrzeni metrycznej:

Niech  X Є Ø to (X,ς) jest przestrzenią metryczną o metryce (odległości na zb. X) wtedy i tylko wtedy, gdy ς: XxY-><0, +oo) jest odwzorowaniem kwadratu kartezjańskiego zb X w <0, +oo) spełniające warunki:

M1: ς(x,y)=0 <=>x=y

M2 :Dla każdego x,y Є X   ς(x,y)= ς(y,x)

M3: Dla każdego x,y,z Є X    ς(x,z) ≤ ς(x,y) + ς(y,z)

Odwzorowanie spełniające te warunki nazywamy metryką. Odwzorowaniem zbioru X.

ς(x,y)= │x-y│, x,y ЄR  (ς :RxR -<0, +oo))

M1: ς(x,ς)=0 <=> │x-y│=0  <=> x=y

M2: ς(x,y)= │x-y│=│y-x│= ς(y-x)   bo (│-a│=│a│)

M3: ς(x,z)≤ ς(x,y)+ ς(y,z), tj.  │x-z│≤│x-y│+│y-z│ (Tak bo : │x-z│=│(x-y)+(y-z)│  lub │a+b│≤│a│+│b│)

Przestrzeń Euklidesowa:              

X=R2

X1=(x1,y1)

X2=(x2,y2)              ς (X1, X2)=   (x1- x2)2+(y1- y2)2

(R2, ς)

X=R2 x ς : R2 xR2 -> <0, +oo)

X1,X2:    X1 =(x1,y1)

               X2 =( x2,y2)

              ς (X1, X2)= │ x1- x2│+│ y1- y2│

Okręgiem o środku S ЄX, promieniu r>0 w przestrzeni metrycznej  (x, ς) nazywamy zbiór postaci: o(S,r) = {x ЄX ; ς (x,ς)=r }

Niech: (R2, ςE) => o(0,r) = {(x,y): x2+y2=r2}

(R2, ς1) => o(0,r) = {(x,y): │x-0│+│y-0│=r}= {(x1)=R2; │x│+│y│=r } r Є R+

o(S1,2), S1=(2,3) to

(x,y) Є (S,2) <=> │x-2│+│y-3│=2   przesunięcie o wektor [2,3]

Intuicje podstawowych działań na zbiorach: