Belka wieloprzęsłowa II.pdf

(149 KB) Pobierz
1
Przykład 2.2 Belka wieloprzęsłowa II.
Dla statycznie wyznaczalnej belki wieloprzęsłowej, której sztywność zmienia się
odcinkowo, wyznaczyć zmianę kąta ugięcia (kąta obrotu przekroju poprzecznego) w
przegubie C i ugięcie w punkcie F.
Rys. 1. Schemat statyczny belki
I. Wyznaczenie zmiany kąta ugięcia w przegubie C.
Zmianę kąta ugięcia wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra, korzystając ze
wzoru
5
l
M
M
1
ds
1
5
l
M
M
1
∆
=
∑ ∫
zi
zi
i
=
∑ ∫
zi
zi
dx
(1)
C
E
J
E
J
i
=
1 0
i
zi
i
=
1 0
zi
gdzie:
∆
θ −
C
=
θ
p
C
θ
l
C
- zmiana kąta ugięcia w przegubie C,
zi
M - moment gnący w i-tym przedziale belki od obciążenia zewnętrznego,
M - moment gnący w i-tym przedziale belki od momentów jednostkowych, odpo-
wiadających poszukiwanemu przemieszczeniu, przyłożonych do prętów prze-
działów 2 i 3 nieskończenie blisko przegubu C,
i
1
zi
l - długość i-tego przedziału belki o stałym module E .
1. Obliczenie reakcji i sporządzenie wykresu momentów gnących od obciążenia
zewnętrznego.
Z warunków równowagi dla belki wyznaczamy reakcje podpór
∑
M
FG
F
=
0
→
R
G
⋅
2
l
−
q
⋅
2
l
⋅
l
=
0
→
R
G
=
ql
∑
M
CG
C
=
0
→
R
⋅
2
l
+
R
⋅
5
l
−
q
⋅
3
l
⋅
7
l
=
0
→
R
=
11
ql
D
G
2
D
4
∑
P
=
0
→
H
A
=
0
∑
M
=
0
→
−
M
+
R
⋅
2
l
−
P
⋅
3
l
+
R
⋅
5
l
−
3
q
⋅
l
⋅
13
l
+
R
⋅
8
l
=
0
→
R
=
7
ql
A
B
D
2
G
B
8
5
∑
P
=
0
→
V
−
R
+
P
−
R
+
3
q
⋅
l
−
R
=
0
→
V
=
ql
iy
A
B
D
G
A
8
Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od
obciążenia zewnętrznego.
1
ix
374628538.009.png 374628538.010.png
Rys. 3. Wykres momentów gnących od obciążenia zewnętrznego.
2. Obliczenie reakcji i sporządzenie wykresu momentów gnących od momentów jednostko-
wych, odpowiadających poszukiwanej zmianie kąta ugięcia, przyłożonych do prętów
przedziałów 2 i 3 nieskończenie blisko przegubu C.
Rys. 4. Schemat statyczny
Wyznaczamy reakcje podpór
∑
M
1
FG
=
0
→
R
1
⋅
l
=
0
→
R
1
=
0
F
G
G
1
∑
M
CG
C
=
0
→
−
R
1
⋅
2
l
+
R
1
⋅
5
l
+
1
=
0
→
R
1
=
D
G
D
2
l
∑
P
1
=
0
→
H
1
=
0
ix
A
5
∑
M
1
=
0
→
R
1
⋅
2
l
−
1
+
1
−
R
1
⋅
5
l
+
R
1
⋅
l
=
0
→
R
1
=
A
B
D
G
B
4
l
3
∑
P
1
=
0
→
V
1
−
R
1
+
R
1
−
R
1
=
0
→
V
1
=
iy
A
B
D
G
A
4
l
Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od
obciążenia jednostkowego.
Rys. 5. Wykres momentów gnących od momentów jednostkowych, odpowiadających
poszukiwanej zmianie kąta, przyłożonych do prętów przedziałów 2 i 3 nieskończenie blisko
przegubu C.
2
1
374628538.011.png 374628538.012.png 374628538.001.png 374628538.002.png
3. Obliczenie zmiany kąta ugięcia w przegubie C.
Całkę w przedziale 1 obliczymy mnożąc pole figury wykresu
M w przedziale 1 przez
1
g
M w tym
przedziale. Pola powierzchni i odpowiadające im rzędne drugiego wykresu dla odciętej
odpowiadającej środkowi ciężkości figury pierwszego wykresu przedstawiono poniżej (patrz
rysunek 6).
M odpowiadające środkowi ciężkości figury wykresu
g
1
g
A
=
1
⋅
3
⋅
2
l
=
3
l
η
=
1
ql
2
η
=
1
⋅
5
ql
2
=
5
ql
2
1
2
2
2
1
4
2
3
4
12
Rys. 6. Wykresy momentów gnących w przedziale 1
Podobnie w przedziale 2 i 3.
Ostatecznie wykorzystując wzór (1) i pamiętając o różnych sztywnościach belki w
poszczególnych przedziałach otrzymujemy
1
1
1
3
1
1
5
1
1
2
1
1
1
3
1
11
ql
3
∆θ
=
⋅
⋅
2
l
⋅
ql
2
−
⋅
ql
2
+
⋅
ql
2
⋅
l
⋅
1
+
⋅
+
⋅
⋅
ql
2
⋅
2
l
⋅
⋅
1
=
C
E
2
J
2
2
4
3
4
2
4
3
2
J
2
2
3
24
EJ
Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zmiana kąta ugięcia w
przegubie C jest zgodna z założoną (Rys. 4).
II. Wyznaczenie przemieszczenia pionowego v punktu F.
Przemieszczenie pionowe wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra, ze wzoru
5
l
i
M
M
1
ds
1
5
l
i
M
M
1
∑ ∫
∑ ∫
v F
=
zi
zi
i
=
zi
zi
dx
(3)
E
J
E
J
=
1 0
i
zi
i
=
1 0
zi
gdzie: v F - pionowe przemieszczenie punktu F,
zi
M - moment gnący w i-tym przedziale belki od obciążenia zewnętrznego,
M - moment gnący w i-tym przedziale belki od pionowej siły jednostkowej, odpo-
wiadającej poszukiwanemu przemieszczeniu, przyłożonej w punkcie F,
1
zi
3
rzędne w wykresach
i
374628538.003.png 374628538.004.png
i
l - długość i-tego przedziału belki o stałym module E .
1. Obliczenie reakcji i sporządzenie wykresu momentów gnących od pionowej siły jednost-
kowej, przyłożonego w punkcie F.
Rys. 7. Schemat statyczny
Wyznaczamy reakcje podpór
∑
M
1
FG
=
0
→
R
1
⋅
l
=
0
→
R
1
=
0
F
G
G
3
∑
M
CG
C
=
0
→
R
1
⋅
2
l
+
R
1
⋅
5
l
−
1
⋅
3
l
=
0
→
R
1
=
D
G
D
2
∑
P
1
=
0
→
H
1
=
0
ix
A
3
∑
M
1
=
0
→
−
1
⋅
6
l
−
R
1
⋅
2
l
+
R
1
⋅
5
l
+
R
1
⋅
8
l
=
0
→
R
1
=
A
B
D
G
B
4
1
∑
P
1
=
0
→
−
V
1
+
R
1
+
1
−
R
1
−
R
1
=
0
→
V
1
=
iy
A
B
D
G
A
4
Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od
obciążenia jednostkowego.
Rys. 8. Wykres momentów gnących od pionowej siły jednostkowej, przyłożonej w punkcie F.
2. Obliczenie przemieszczenia pionowego v F punktu F.
Wartości całek w przedziale 4 (z uwagi na nieskończoną sztywność) i 5 (zerowe wykresy
momentów) są równe zeru. Ostatecznie wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia
otrzymujemy
1
1
1
l
1
1
5
1
l
2
1
1
1
2
3
49
ql
4
v F
=
⋅
⋅
2
l
−
ql
2
+
⋅
ql
2
−
⋅
⋅
l
⋅
⋅
ql
2
+
⋅
⋅
l
⋅
2
⋅
⋅
ql
2
=
E
2
J
2
2
4
3
4
2
2
3
4
J
2
3
2
48
EJ
Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zwrot wektora przemieszczenia jest
zgodny z założonym zwrotem siły jednostkowej (Rys. 7).
4
1
l
374628538.005.png 374628538.006.png 374628538.007.png 374628538.008.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin