Łuk swobodnie podparty obciążony prostopadle do swojej płaszczyzny.pdf

Przykład 10.5. Łuk swobodnie podparty obciążony prostopadle do swojej

płaszczyzny.

Rysunek 10.5.1. przedstawia belkę łukową, ciągłą, podpartą i obciążoną przestrzennie.

Kierunek obciążenia jest prostopadły do płaszczyzny łuku. Obciążenie jest równomiernie

rozłożone na połowie łuku. Ma stałą gęstość q przypadającą na jednostkę długości łuku.

Narysować wykresy momentów gnących, sił normalnych i sił tnących w każdym punkcie osi

łuku.

Rysunek 10.5.1. Rysunek aksonometryczny: belka łukowa, ciągła, podparta i obciążona

przestrzennie. Obciążenie przedstawione jako ścianka wybudowana na części łuku,

schematycznie uniesiona nad jego poziom dla lepszej widoczności. Podpory wyobrażone są

jako pręty dwuprzegubowe, nieskończenie sztywne, przenoszące jedynie siłę osiową, w tym

wypadku - składową reakcji. Trzy pręty połączone w punkcie A są więc odpowiednikiem

podpory nieprzesuwnej, dwa pręty w punkcie B definiują podporę przesuwną w kierunku x ,

zaś pręt w punkcie C określa podparcie przesuwne w płaszczyźnie xy zaś nieprzesuwne w

kierunku z .

τ b

H AX

H AY

V A

V C

H BY

V B

Rysunek 10.5.2. Łuk uwolniony myślowo od więzów. Układy współrzędnych, przyjęte

zwroty reakcji oraz oznaczenia punktów używane w obliczeniach.

Rozwiązanie.

Analiza obciążenia

Obciążenie przedstawione na rysunku to obciążenie równomierne „na jednostkę długości

łuku”. Wypadkowa elementarna qdl jest wektorem równoległym do osi z. Jak w poprzednich

zadaniach, wypadkowa elementarna jest przyłożona do łuku w punkcie P określonym kątem

α w cylindrycznym układzie współrzędnych α,r,z, jednak wypadkowa obciążenia

przypadającego na pewien odcinek łukowy – przyłożona jest w środku ciężkości tego

odcinka. Obliczmy wypadkową obciążenia na ćwiartce CB łuku (jej znajomość jest przydatna

do kontroli wyników lub do obliczania reakcji, w dalszym ciągu rozwiązania nie będziemy

jednak wykorzystywali bezpośrednio wyników zapisanych równaniami (1-3), pozostawiając

czytelnikowi użycie ich do skontrolowania wartości sił wewnętrznych w punktach

charakterystycznych)

(1)

= qRd

≡

∫

qRd

Współrzędne punktu przyłożenia wypadkowej x Q i y Q obliczymy posługując się wzorem

wyprowadzonym na wykładzie z Mechaniki dotyczącym układu sił równoległych:

∫

qdl

cos

∫

cos

(2)

x Q

y Q

Obliczenie reakcji

Kierunki i zwroty wektorów sił założone są wstępnie jak na rysunku 10.5.2, w równaniach

poniżej występują tylko ich długości. Reakcje obliczymy pisząc takie równania równowagi,

że w każdym z nich wystąpi tylko jedna niewiadoma reakcja. Pozwoli to na obliczenie tej

reakcji z zapisanego równania.

Aby obliczyć V C zapisano sumę momentów względem osi x:

(3)

−

V C

∫

qRd

sin

−

V C

∫

sin

C =qR

Aby obliczyć V B zapisano sumę momentów względem osi równoległej do y i poprowadzonej

przez punkt A:

(4)

(

) 0

( ) 0

−

∫

qRd

cos

−

∫

cos

−

( ) 0

7854

(5)

Suma rzutów na oś pionową pozwala obliczyć V A (wykorzystano tu (1),(3) i (5)):

−



−



−

2146

(6)

Należy zauważyć, że reakcja w punkcie A jest skierowana przeciwnie niż założono (wskazuje

na to jej ujemna wartość). Mimo to, w dalszych wzorach będzie ona zawsze występowała z

takim znakiem jaki nakazuje założenie o jej kierunku z Rys. 10.5.2.

Pozostałe reakcje są oczywiście zerowe, co łatwo samodzielnie wykazać.

Zapisanie równań sił wewnętrznych

Wprowadźmy oś normalną n , styczną τ i binormalną b (normalna do płaszczyzny łuku) w

dowolnym przekroju π wyznaczonym punktem P na osi łuku. Osie te zaznaczono na

Rysunku 10.5.2. Oś n tworzy z osią x kąt α, który został wybrany jako zmienna niezależna.

Wektor siły przekrojowej rozłożymy na trzy składowe na osiach lokalnego układu

współrzędnych n ,τ, b . Jej składowa na osi τ to siła normalna N , na osi n to tnąca T n , na osi b –

tnąca T b (poprzeczna).

Siłę normalną i siły tnące będziemy obliczali jako rzuty na oś styczną τ (tnące - odpowiednio

na oś normalną n i b ) wypadkowej wszystkich sił po prawej stronie przekroju π,

zredukowanej do punktu P (P jest biegunem redukcji).

Moment przekrojowy M rozłożymy na trzy składowe: Moment skręcający M s – rzut M na oś

τ, moment gnący M b – rzut M na oś b oraz moment gnący poprzeczny M n – rzut M na oś n .

Zauważmy, że we wszystkich zadaniach płaskich 10.1. do 10.4. występował jedynie moment

M b , mimo, że oś b nie została tam wyraźnie zdefiniowana.

Moment skręcający wyznaczymy jako moment wszystkich sił po prawej stronie przekroju P,

otrzymany przy ich redukcji do punktu P (moment jest obliczony względem osi τ

przechodzącej przez P).

Momenty gnące wyznaczymy jako momenty wszystkich sił po prawej stronie przekroju P,

otrzymane przy ich redukcji do punktu P (momenty te są obliczane następujące: M b – wokół

osi b poprowadzonej przez P, M n – wokół osi n poprowadzonej w punkcie P).





Zapis równań dla sił normalnych i tnących

Ponieważ wszystkie siły na prawo od P (na lewo także...) są prostopadłe do n oraz do τ więc

Siły normalne i tnące T n są równe zeru na całym łuku. Pozostaje do określenia zmienność

tnącej poprzecznej T b w funkcji kąta α.

Równanie (7) jest zapisem rzutu reakcji V B i sumy rzutów (całki) wszystkich elementarnych

wypadkowych dQ=qRd ϕ pomiędzy zerem (punkt B) a wartością bieżącą zmiennej

niezależnej α - na oś binormalną b (siły tnącej poprzecznej T b ). Jest ono ważne tylko dla

α mniejszego niż π/2. Dla siły tnącej poprzecznej przyjęto znak „+” gdy jej rzut jest

skierowany z lewej strony przekroju od dołu do góry lub z prawej od góry do dołu. Znak „–„

w sytuacji odwrotnej.

()

() 

 π



(7)

−

∫

qRd



−

dla α< π/2

Dla α większego niż π/2 pojawia się dodatkowo reakcja w punkcie C, który teraz jest na

prawo od przekroju P:

() 





(8)

()

−

∫

qRd



−

dla α>π/2

Podsumowując, zapiszemy tnące poprzeczne w dwu przedziałach:

()



()

dla

≤

(9)

dla

≤

Wykresy tnącej poprzecznej T b jako funkcji kąta α odmierzanego na osi poziomej

przedstawia rysunek 10.5.5:

Rysunek 10.5.3. Wykres tnącej poprzecznej T b jako funkcji kąta α 1 odkładanego na osi

poziomej. Przyjęto q=1, R=1. Uwaga! Kąt α 1 jest odmierzany od podpory A do podpory B

(wystarczy zastąpić we wszystkich wzorach wynikowych kąt α kątem -α+π). Dzięki temu

wartości na wykresie dotyczą punktu na łuku, którego rzut na oś poziomą wypada w punkcie

α 1 . Podpora A wypada w zerze, B - dla α 1 =π.

Zapis równania dla momentu skręcającego

Wszystkie oznaczenia potrzebne do obliczenia momentu elementarnej wypadkowej pionowej

względem lokalnych osi stycznej i normalnej podane są na Rys.10.5.4. Zaznaczono też na

nim odpowiednie kąty i odległości pojawiające się we wzorach poniżej.

d ϕ α

α−ϕ

qRd ϕ

Rysunek 10.5.4. Rzut łuku. Układy współrzędnych, przyjęte zwroty momentów oraz

oznaczenia wielkości używane w obliczeniach.

Moment wszystkich sił na prawo od P obliczony wokół osi τ poprowadzonej przez punkt P

zapisuje się następująco (znaki dodatnie gdy wektor momentu skierowany jest od przekroju):

(10)

() ( )

(

( )

)

−

cos

∫

−

cos

−

qRd

po prostych przekształceniach otrzymuje się:

Ms BC

() (

1 2

cos

−

sin

)

(11)

Kiedy punkt P znajdzie się na lewo od punktu C, moment wszystkich sił po prawej stronie

punktu P będzie zawierał dodatkowo reakcje w punkcie C. Aby uniknąć tej dodatkowej siły w

równaniu określmy kąt γ liczony od punktu A zgodnie z ruchem wskazówek zegara i

obliczmy moment wszystkich sił na lewo od P obliczony względem osi τ poprowadzonej

przez punkt P w funkcji kąta γ. Tak jest łatwiej gdyż po lewej stronie uwzględniamy tylko

reakcję V A :

() ( )

−

cos



−



(

−

cos

)

(12)

Zestawienie wzorów dla dwu odcinków łuku podano poniżej:

()



()

( )

dla

≤

(13)

−

≤





Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: