Rama ze skratowaniem.pdf

(373 KB) Pobierz
Przykład 2
Przykład 3.5. Rama ze skratowaniem
Polecenie: Korzystając ze wzoru Maxwella-Mohra wyznaczyć składową poziomą
przemieszczenia w punkcie D oraz zmianę odległości między punktami B i C w poniższym
układzie. Przyjąć sztywność ściskania jednakową dla wszystkich prętów skratowania
. Pominąć wpływ sił normalnych w części „ramowej” układu.
=
const
D
2 l
q
2 EI
2 EI
EA
C
l
u
=
?
l
D
B
l
∆ BC
l
=
?
EI
ql
ql
ql
EI
3 l
2 l
2 l
2 l
2 l
W celu wyznaczenia przemieszczenia z wykorzystaniem wzoru Maxwella-Mohra
należy wykonać wykresy momentów gnących i wyznaczyć siły w skratowaniu od obciążenia
rzeczywistego i jednostkowego.
Obciążenie rzeczywiste
Przed przystąpieniem do sporządzenia wykresu momentów i wyznaczenia sił
podłużnych w skratowaniu, wyznaczymy reakcje podporowe. Oswobodzimy układ od
więzów, zastępując podpory reakcjami. Podpora z lewej strony jest podporą przegubową
nieprzesuwną. Oznaczmy ją literą F . Prawa podpora jest podporą przegubową przesuwną.
Oznaczmy ją literą G .
W
W y
D
W x
2 l
α
C
l
W
W y
l
K
L
α
l
W x
B
y
ql
ql
ql
3 l
x
F
H F
G
V F
R G
2 l
2 l
2 l
2 l
EA
374630709.024.png 374630709.025.png 374630709.026.png 374630709.027.png 374630709.001.png
W punkcie F działają dwie niezależne od siebie składowe reakcji: pionowa i pozioma,
natomiast w punkcie G działa reakcja pionowa (prostopadła do kierunku możliwego
przesuwu). W celu uproszczenia zapisu równań równowagi obciążenie ciągłe zastąpimy
wypadkową W , którą następnie rozłożymy na składowe: pionową W y i poziomą W x .
α
W
=
q
⋅
20
l
=
2
5
ql
W
y
=
W
⋅
cos
α
W
x
=
W
⋅
sin
Po uwzględnieniu wymiarów układu otrzymujemy
cos
α
=
4
=
2
sin
α
=
2
=
1
20
5
20
5
stąd
W
=
2
⋅
5
ql
⋅
2
=
4
ql
W
=
2
⋅
5
ql
⋅
1
=
2
ql
y
5
x
5
Z równania sumy momentów względem punktu F wyznaczymy reakcję R G .
∑ i
M
=
0
:
R
⋅
8
l
−
ql
⋅
2
l
−
ql
⋅
4
l
−
ql
⋅
6
l
−
W
⋅
2
l
−
W
⋅
7
l
=
0
⇒
R
=
17
ql
iF
G
y
x
G
4
Z równania sumy rzutów sił na oś pionową obliczymy składową V F .
∑ =
i
P
0 :
V
+
R
−
ql
−
ql
−
ql
−
4
ql
=
0
⇒
V
=
11
ql
iy
F
G
F
4
Z równania sumy rzutów sił na oś poziomą wyznaczymy składową H F .
∑
ix P 0 :
=
H
F
+
2
ql
=
0
⇒
H
F
=
−
2
ql
i
Wprowadzamy oznaczenia literami K i L dla połączeń skratowania z lewym i prawym
słupem. Przed sporządzeniem wykresu momentów należy wyznaczyć oddziaływania w tych
połączeniach oraz w przegubie D . W tym celu dzielimy układ na podukłady.
4
ql
D
H D
D
H D
2
ql
V D
V D
2 l
C
l
K
H K
H K
K
L
H L
H L
L
l
l
V K
V K
B
V L
V L
ql
ql
ql
3 l
F
2
ql
G
17
ql
11
4
ql
4
2 l
2 l
2 l
2 l
2 l
2 l
2 l
2 l
Skratowanie ma budowę symetryczną i jest obciążone obciążeniem o charakterze
symetrycznym, a więc oddziaływania pionowe V K i V L są sobie równe:
V =
Jednocześnie oddziaływania te muszą spełniać równanie sumy rzutów sił na oś
pionową dla skratowania.
K
V
L
2
374630709.002.png 374630709.003.png 374630709.004.png 374630709.005.png 374630709.006.png
∑ i
P
=
0
:
V
+
V
−
ql
−
ql
−
ql
=
0
⇒
V
=
V
=
3
ql
iy
K
L
K
L
2
W celu wyznaczenia oddziaływania poziomego w punkcie L zapiszemy równanie
sumy momentów względem punktu D dla prawego podukładu.
∑ i
M
p
iD
=
0
:
R
⋅
4
l
−
V
⋅
4
l
−
H
⋅
4
l
=
0
⇒
H
=
11
ql
G
L
L
L
4
Równanie sumy rzutów sił na oś poziomą zapisane dla skratowania ma postać:
∑ ix
P
=
0
:
H
−
H
=
0
⇒
H
=
11
ql
L
K
K
4
Oddziaływanie pionowe w punkcie D wyznaczymy z równania sumy rzutów sił na oś
pionową dla prawego podukładu.
∑ i
P
p
iy
=
0
:
R
−
V
−
V
=
0
⇒
V
=
11
ql
G
L
D
D
4
Z równania sumy rzutów sił na oś poziomą dla prawego podukładu obliczymy wartość
oddziaływania poziomego w punkcie D .
∑ i
P
p
ix
=
0
:
H
−
H
=
0
⇒
H
=
11
ql
D
L
D
4
D
11
ql
11
ql
D
q
4
4
11
ql
11
2 l
ql
4
4
J
W
l
11
11
11
11
C
ql
ql
ql
ql
4
4
K
L
4
4
L
l
K
l
3
B
3
ql
3
3
ql
2
ql
ql
ql
ql
ql
2
2
2
3 l
F
2
ql
G
17
ql
11
4
ql
2 l
2 l
2 l
2 l
4
2 l
2 l
2 l
2 l
Znając oddziaływania w przegubach K i L przystąpimy do wyznaczenia sił podłużnych
w prętach skratowania. Ponumerujemy te pręty i węzły zgodnie z poniższym rysunkiem.
W 2
4
W 4
8
W 6
1
12
l
5
9
W 1
3
7
11
W 8
l
2
13
6
10
W 3
W 5
W 7
2 l
2 l
2 l
2 l
3
374630709.007.png 374630709.008.png 374630709.009.png
 
W związku z symetryczną budową i obciążeniem możemy ograniczyć się do
wyznaczenia sił w połowie skratowania.
I
11
ql
11
ql
l
4
4
3
3
l
ql
ql
2
2
ql
ql
ql
2 l
2 l
2 l
2 l
Zapiszemy równania równowagi dla części I skratowania.
I
S 4
11
Z 6
ql
l
4
S 5
45˚
3
l
ql
Z 4
S 6
2
ql
2 l
2 l
Równanie sumy momentów względem punktu Z 4 dla części I ma postać:
∑ i
M
I
iZ
=
0
:
11
ql
⋅
l
−
3
ql
⋅
2
l
−
S
⋅
2
l
=
0
⇒
S
=
−
1
ql
4
4
2
4
4
8
Równanie sumy momentów względem punktu Z 6 dla części I ma postać:
∑ i
M
I
iZ
=
0
:
S
⋅
2
l
−
11
ql
⋅
l
−
3
ql
⋅
4
l
+
ql
⋅
2
l
=
0
⇒
S
=
27
ql
6
6
4
2
6
8
Równanie sumy rzutów sił na oś pionową dla części I ma postać:
∑ i
i P
I
=
0
:
S
⋅
2
+
3
ql
−
ql
=
0
⇒
S
=
−
2
ql
5
2
2
5
2
Pozostałe siły wyznaczymy korzystając z równań równowagi dla węzłów skratowania.
11
ql
W 2
11
ql
l
4
4
3
3
l
ql
ql
W 3
W 5
2
2
ql
ql
ql
2 l
2 l
2 l
2 l
4
374630709.010.png 374630709.011.png 374630709.012.png 374630709.013.png 374630709.014.png 374630709.015.png 374630709.016.png 374630709.017.png
Siłę S 1 obliczymy korzystając z równania sumy rzutów sił na oś poziomą dla węzła
W 2 .
W 2
cos =
β
2
l
β
S 4
5
S 1
S 3
sin =
β
1
5
2 l
∑ i
i P
W
2 =
0
:
S
−
S
⋅
2
=
0
⇒
S
=
−
5
ql
4
1
5
1
16
Podobnie siłę S 2 wyznaczymy korzystając z równania sumy rzutów sił na oś pionową
dla węzła W 2 .
∑ i
i P
W
2 =
0
:
−
S
−
S
⋅
1
=
0
⇒
S
=
1
ql
3
1
5
3
16
W 3 .
Siłę S 2 obliczymy korzystając z równania sumy rzutów sił na oś poziomą dla węzła
S 2
S 3
S 5
cos =
β
2
l
45˚
5
β
1
W 3
S 6
sin =
β
ql
5
2 l
∑ i
i P
W
3 =
0
:
S
+
S
⋅
1
−
S
⋅
2
=
0
⇒
S
=
23
⋅
5
ql
6
5
2
2
5
2
16
W celu wyznaczenia siły S 7 wykorzystamy równanie sumy rzutów sił na oś pionową,
zapisanego dla węzła W 5 skratowania.
S 7
S 6
W 5
S 10
ql
∑ i
P
W
iy
5
=
0
:
S
7
−
ql
=
0
⇒
S
7
=
ql
Wartości pozostałych sił podłużnych w prętach skratowania określimy wykorzystując
symetrię.
S
=
S
=
−
1
ql
,
S
=
S
=
−
2
ql
,
S
=
S
=
27
ql
,
8
4
8
9
5
2
10
6
8
S
=
S
=
1
ql
,
S
=
S
=
−
5
ql
,
S
=
S
=
27
⋅
5
ql
.
11
3
16
12
1
16
13
2
16
5
374630709.018.png 374630709.019.png 374630709.020.png 374630709.021.png 374630709.022.png 374630709.023.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin