przestrzen_wektorowa.pdf

PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)

Def. 1

(X, K, ⊕ , ⊗ )

X ≠ ∅ , K - ciało

⊕ : X × X → X ( ⊕ to działanie wewnętrzne w zbiorze X)

⊗ : K × X → X ( ⊗ to działanie zewnętrzne w zbiorze X)

Strukturę (X, K, ⊕ , ⊗ ) nazywamy przestrzenią wektorową : ⇔

1) Struktura (X, ⊕ ) jest grupą abelową

2) x,y X α K: α (x y) (α x) (α y)

∀∈∀∈ ⊗⊕=⊗⊕⊗

α,

∈

∀

∈

α(:

⋅

β)

⊗

(β

⊗

∧

(α

β)

⊗

(α

⊗

⊕

(β

⊗

∀ 1

∈

⊗

Elementy zbioru X nazywamy wektorami, a elementy ciała K – skalarami.

Przyjmujemy umo w ę:

-x

wektor

-X

przestrzeń

wektorowa

Przykład 1

( R 3 , R , ⊕ , ⊗ )

Definiujemy działania:

R 3 ∋ (x 1 , y 1 , z 1 ) ⊕ (x 2 , y 2 , z 2 ) := (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )

R ∋ α ⊗ (x, y, z) := ( α x, α y, α z)

Sprawdzamy czy ( R 3 , , ⊕ , ⊗ ) jest przestrzenią wektorową.

Czy ( R 3 , ⊕ ) jest grupą abelową?

[(x 1 , y 1 , z 1 ) ⊕ (x 2 , y 2 , z 2 )] ⊕ (x 3 , y 3 , z 3 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) ⊕

(x 3 , y 3 , z 3 ) =(x 1 + (x 2 + x 3 ), y 1 + (y 2 +y 3 ), z 1 + (z 2 +z 3 )) = (x 1 , y 1 , z 1 ) ⊕

[(x 2 , y 2 , z 2 ) ⊕ (x 3 , y 3 , z 3 )]

wniosek: działanie ⊕ jest łączne

Z przemienności dodawania wynika prze m ienność działania ⊕ .

Elementem neutralnym działania ⊕ jest 0 =(0, 0, 0)

Każdy element (x, y, z) posiada element przeciwny równy (-x, -y, -z)

bo (x, y, z) ⊕ (-x, -y, -z) = (0, 0, 0) ∧ (-x, -y, -z) ⊕ (x, y, z) = (0, 0, 0)

Więc struktura ( R 3 , ⊕ ) jest grupą abelową. Pozostałe warunki łatwo

sprawdzić.

Wniosek : ( R 3 , , ⊕ , ⊗ ) – jest przestrzenią wektorową.

Przyjmujemy umowę:

Zamiast ⊕ piszemy +, a zamiast ⊗ piszemy „ ⋅ ” i przestrzeń wektorową

zapisujemy: (X, K, +, ⋅ )

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 1 z 10

Część 4 - Przestrzeń wektorowa

∀

Def. 2

Element ne u tralny działania + nazywamy wektorem zerowym i

oznaczamy: 0

Przykład 2

X ≠ ∅ F(X, ) = {f: f: X → R } -- zb. odwzorowań

(F(X, R ), R , +, ⋅ )

Definiujemy działania:

+ : F(X, ) × F(X, R ) → F(X, )

f + g = h : ⇔

∀

∈

g)(x)

f(x)

g(x)

h(x)

α ⋅ f = g : ⇔ ∀ x ∈ X ( α ⋅ f)(x) = α ⋅ f(x)

W tym pr zy padku w ektorami są odwzorowania.

F(X, ) ∋

R 0 :

∀

∈

(x)

(Wektorem zerowym jest odwzorowanie!)

Łatwo zauważyć, że spełnione są odpowiednie warunki i struktura

(F(X, R ), R , +, ⋅ ) jest przestrzenią wektorową.

Def. 3

Z: (X, K, +, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa

U ≠ ∅ , U ⊂ X

Strukturę (U, K, +, ⋅ ) nazywamy podprzestrzenią wektorową przestrzeni X

: ⇔

∀

∈

∀

∈

∀

∈

(α

⋅

∈

Przykład 3

(R 3 , R, +, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa (patrz: Przykład 1)

a). U := {(x, y, z) ∈ R 3 : x + y + z = 0}

Sprawdzamy, czy (U, , +, ⋅ ) jest podprzestrzenią przestrzeni

R 3 .

U ≠ ∅ ponieważ np. (1, 0, 1) ∈ U

U ∋ x = (x 1 , y 1 , z 1 ) ⇒ x 1 + y 1 + z 1 = 0

U ∋ y = (x 2 , y 2 , z 2 ) ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = 0

Pytamy, czy y

x +∈ U (pierwszy warunek podprzestrzeni)

x + = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )

x 1 + x 2 + y 1 + y 2 + z 1 +z 2 = (x 1 + y 1 + z 1 ) + (x 2 + y 2 + z 2 ) = 0 + 0

Te ra z pytamy, czy x

α⋅∈ U (drugi warunek podprzestrzeni)

α⋅ = α⋅ (x, y, z) = ( α x, α y, α z)

α x + α y + α z = α (x + y +z) = α⋅ 0 = 0

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 2 z 10

Część 4 - Przestrzeń wektorowa

f, g ∈ F(X, )

Wniosek : ponieważ spełnione są obydwa powyższe warunki to (U, R ,+, ⋅ )

jest podprzestrzenią przestrzeni R 3

b). V := {(x, y, z) ∈ R 3 : x + y + z = 1}

Sprawdzamy, czy struktura (V, R, +, ⋅ ) jest podprzestrzenią przestrzeni

R 3 .

V ≠ ∅ ponieważ np. (1, -1, 1) ∈ V

V ∋ x = (x 1 , y 1 , z 1 ) ⇒ x 1 + y 1 + z 1 = 1

V ∋ y = (x 2 , y 2 , z 2 ) ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = 1

Pytamy, czy y

x +∈ U (pierwszy warunek podprzestrzeni)

x + = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )

x 1 +x 2 + y 1 +y 2 + z 1 +z 2 = (x 1 + y 1 + z 1 ) + (x 2 + y 2 + z 2 ) = 1 + 1 = 2 ≠ 1

Wniosek : Ponieważ powyższy warunek nie jest spełniony to (V, R, +, ) nie

jest podprzestrzenią przestrzeni R 3 .

Twierdzenie 1

Każda podprzestrzeń przestrzeni wektorowej jest przestrzenią wektorową.

Z: (X, K, +, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa,

U ≠ ∅ ∧ U ⊂ X

(U, K, +, ⋅ ) – podprzestrzeń wektorowa przestrzeni X

T: (U, K, +, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa

Własności działań w przestrzeni wektorowej.

∀

∈

⋅

∀

α =

∈

α:

⋅

∀

∈

∀

∈

(α

⋅

(

−

α)

⋅

(

−

∀

∈

∀

∈

α:

⋅

⇔

∨

∀

≠

∀

∈

α:

⋅

⇒

∀

α,

∈

∀

≠

α:

⋅

⇒

Twierdzenie 2 (Warunek konieczny i wystarczający na podprzestrzeń).

Z: (X, K, +, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa

U ≠ ∅ ∧ U ⊂ X

T: (U, K, +, ⋅ ) jest podprzestrzenią przestrzeni X ⇔

α,

∈

∀

∈

(α

⋅

∈

Twierdzenie 3

Z: (X, K, +, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 3 z 10

Część 4 - Przestrzeń wektorowa

∀

U ≠ ∅ ∧ U ⊂ X

T: (U, K, +, ⋅ ) jest podprzestrzenią przestrzeni X

⇔

∀

,...,

∈

∀

,...,

∈

(α

⋅

...

⋅

)

∈

Def. 4

Z: (X, K, +, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa

,...,

∈

∧

,...,

∈

Mówimy, że wektor x jest kombinacją liniową wektorów

⋅

...

⋅

,...,

,α - nazywamy współczynnikami kombinacji liniowej.

21 α

,...,

Def. 5

(X, K, +, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa

,...,

∈ - wektory z przestrzeni X

Wektory

,...,

są liniowo zależne

⇔

∃

⋅

...

⋅

∧

Def. 6

(X, K, +, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa

,...,

∈

Wektory

,...,

są liniowo niezależne : ⇔ nie są liniowo zależne

(: ⇔

⋅

...

⋅

⇒

,...,

)

Przykład 4

( R 3 , , +, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa

a).

(0,1,1)

(1,0,0)

(1,1,1)

Sprawdzamy, czy wektory w

są liniowo zależne/niezależne

⋅

α (0,1,1) + β (1,0,0) + γ (1,1,1) = (0,0,0)

(0, α , α ) + ( β ,0,0) + ( γ , γ , γ ) = (0,0,0)

( β + γ , α + γ , α + γ ) = (0,0,0)

Otrzymujemy układ równań:

⋅





Po prostych przekształceniach otrzymujemy:



-t

t ∈ R



Czyli ∃α , β , γ : α≠ 0 v β≠ 0 v γ≠ 0 :

⋅

Np. dla t=2

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 4 z 10

Część 4 - Przestrzeń wektorowa

Pytamy kiedy





-2



Wniosek : Wektory w

są liniowo zależne.

b).

(3,2,-1)

(1,-2,1)

(1,1,1)

⋅

α (3,2,-1) + β (1,-2,1) + γ (1,1,1) = (0,0,0)

(3 α + β + γ , 2 α -2 β + γ , - α + β + γ ) = (0,0,0)

Otrzymujemy układ równań:

⋅



2α

2β



3α

Po prostych przekształceniach otrzymujemy:





Wniosek : Wektory w

są liniowo niezależne.

Twierdzenie 4

Z: (X, K, + , ⋅ ) – przestrzeń wektorowa

,...,

x to współczynniki tej

kombinacji liniowej są wyznaczone jednoznacznie (z dokładnością do

kolejności)

,...,

Czyli

Jeżeli:

⋅

...

⋅

∧

⋅

...

⋅

to:

α 1 = β 1 ∧α 2 = β 2 ∧ ... ∧α n = β n

Twierdzenie 5

Z: (X, K, +, ⋅ ) – przestrzeń wektorowa

,...,

x są liniowo zależne ⇔ przynajmniej jeden z nich jest

kombinacją liniową pozostałych ( ⇔

,...,

∃

...

Wnioski:

1) Jeżeli wektory są liniowo niezależne to żaden z nich nie jest

kombinacją liniową pozostałych,

2) Zespół wektorów:

,...,

jest liniowo zależny.

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 5 z 10

Część 4 - Przestrzeń wektorowa



Pytamy kiedy



1 ∈ - liniowo niezależne

T: Jeżeli wektor x jest kombinacją wektorów

1 ∈

T: Wektory

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: