5.lekcija_2.sem.pdf

(224 KB) Pobierz
Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Lekciju
konspekts.
5. nodarbība
Nodarbības saturs: Noteiktā integrāļa lietojumi plaknes figūras laukuma
aprēķināšanai Dekarta koordinātās. Noteiktā integrāļa lietojumi līnijas loka
garuma aprēķināšanai. Noteiktā integrāļa lietojumi rotācijas ķermeņa
tilpuma aprēķināšanai.
5.1. Noteiktā integrāļa lietojumi plaknes figūras laukuma
aprēķināšanai Dekarta koordinātās
1) Definējot noteikto integrāli, par pamatu ņēmām uzdevumu par līklīniju trapeces
laukuma aprēķināšanu. Rezultātā ieguvām,
ka laukums plaknes figūrai, kuru ierobežo
taisnes
y
y
=
0
,
x = ,
a
x = un līnija
b
y = f ( x )
( )
y = pirmajā kvadrantā (1. zīm.), ir
vienāds ar
f
x
b
S
()
∫
S
=
f
x
dx
.
a
Oa
b
x
2) Pieņemsim, ka plaknes figūru ierobežo
taisnes
y
=
0
,
x = ,
a
x = un līnija
b
( )
1. zīm.
y = ceturtajā kvadrantā (2. zīm.). Tādā
gadījumā visa plaknes figūra atrodas
ceturtajā kvadrantā. Ņemot šai figūrai
simetrisku figūru attiecībā pret Ox asi,
iegūsim iepriekšējo gadījumu, kurš attēlots
1. zīmējumā. Tad figūru pirmajā kvadrantā
ierobežo taisnes
f
x
y
a
b
O
x
y
=
0
,
x = ,
a
x = un
b
S
( )
līnija
y −
=
f
x
un tās laukums ir
y = f ( x )
b
(
()
)
∫ −
S
=
f
x
dx
. Minētās figūras laukums
a
sakrīt ar 2. zīmējumā attēlotās figūras
laukumu, tātad
2. zīm.
b
()
∫
S
=
−
f
x
dx
.
a
5. nodarbība. 1. lpp. Augstākā matemātika.
I. Volodko
811670035.047.png 811670035.058.png 811670035.069.png 811670035.079.png 811670035.001.png 811670035.002.png 811670035.003.png
 
Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Lekciju
konspekts.
3) Aplūkosim figūru, kuru no augšas ierobežo
līnija
y
( )
y
=
f
x
, no apakšas – līnija
y = f 1 ( x )
1
( )
y 2 = (3. zīm.). Pieņemsim, ka šo līniju
krustpunktu abscisas ir
f
x
x = . Tad
iegūtās figūras laukumu iegūsim kā laukumu
x = un
a
b
S
b
()
∫
y = f 2 ( x )
S 1 un S 2 starpību, kur
S
=
f
x
dx
-
1
1
a
y
=
0
laukums figūrai, ko ierobežo taisnes
,
Oa
b
x
()
x = ,
a
x =
b
un
līnija
y
=
f
x
;
1
b
3. zīm.
()
∫
S
=
f
x
dx
- laukums figūrai, ko ierobežo
2
2
a
( )
taisnes
y
=
0
,
x = ,
x = un līnija
y
=
f
x
. Tātad
a
b
2
b
b
b
()
()
(
() ()
)
∫
∫
∫
S
=
S
−
S
=
f
x
dx
−
f
x
dx
=
f
x
−
f
x
dx
.
1
2
1
2
1
2
a
a
a
4) Apskatīsim figūru, kuru no apakšas ierobežo taisne
y
=
0
(jeb Ox ass), no kreisās
( )
puses – līnija
y =
f
x
, no labās puses –
y
( )
y = (4. zīm.). Pieņemsim, ka šo
līniju krustpunkta abscisa ir
g
x
līnija
x = , līnija
b
y = f ( x )
( )
y =
f
x
krusto Ox asi punktā
x = ,
a
( )
līnija
x = . Šādas
figūras laukumu var aprēķināt, saskaitot
divu
y =
f
x
- punktā
c
līklīniju
trapeču
laukumus:
y = g ( x )
S 1
S 2
b
()
∫
S 1
=
f
x
dx
- laukums figūrai, ko
a
Oa
b
c
x
ierobežo taisnes
y
=
0
,
x = un līnija
b
c
( )
()
4. zīm.
∫
y =
f
x
;
S 2
=
g
x
dx
- laukums
b
( )
figūrai, ko ierobežo taisnes
y
=
0
,
x = un līnija
b
y =
g
x
. Tātad
b
c
()
()
∫
∫
S
=
S
+
S
=
f
x
dx
+
g
x
dx
.
1
2
a
b
Jāpiebilst, ka bez aplūkotajiem 4 gadījumiem, var būt arī citi gadījumi. Lai pareizi
sastādītu noteikto integrāli plaknes figūras laukuma aprēķināšanai, figūra ir jāuzzīmē
5. nodarbība. 2. lpp. Augstākā matemātika.
I. Volodko
811670035.004.png 811670035.005.png 811670035.006.png 811670035.007.png 811670035.008.png 811670035.009.png 811670035.010.png 811670035.011.png
 
Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Lekciju
konspekts.
koordinātu sistēmā un pēc zīmējuma jānosaka, vai līklīniju trapeču laukumi ir jāatņem
vai jāsaskaita.
2 =
2 =
Piemērs. Aprēķināt laukumu figūrai, ko ierobežo līnijas
y
4
x
,
x
4
y
.
Risinājums. Lai pareizi sastādītu noteikto integrāli, dotā figūra ir jāuzzīmē (5. zīm.). Kā
redzam no zīmējuma, no augšas figūru
ierobežo līnija
2 =
y
4
x
jeb
y
=
2
x
, no
y
2
x
2 =
4
apakšas – līnija
x
4
y
jeb
y =
. Tas
4
atbilst 3. gadījumam, kad laukumu aprēķina
kā divu laukumu starpību. Noteiksim abu
līniju krustpunktu abscisas (šīs vērtības ir arī
noteiktā integrāļa robežas). Šim nolūkam
pielīdzināsim abas y izteiksmes:
O
4
x
2
x
4 =
2 =
=
2
x
,
x
8
x
,
x
64
x
,
4
, (
) 0
4
3
x
− x
64
=
0
x
x
−
64
=
,
5. zīm.
x
=
0
,
x
=
4
.
Sastādīsim noteikto integrāli un aprēķināsim to:
4
3
4
4
1
4
4
4
4
2
3
3
⎛
⎞
2
x
1
x
1
x
4
x
⎜
⎝
⎟
⎠
2
3
∫
∫
∫
S
=
2
x
−
dx
=
2
x
2
dx
−
x
dx
=
2
⋅
−
⋅
=
x
−
=
3
4
4
4
3
3
12
0
0
0
0
0
0
2
0
3
4
4
32
16
16
3
=
4
−
=
−
=
.
3
12
3
3
3
Piemērs. Aprēķināt laukumu figūrai, ko ierobežo līnijas
y
=
2
x
−
1
x
+
y
=
2
y
=
0
.
Risinājums. Uzzīmēsim doto figūru (6. zīm.). Dotais uzdevums atbilst 4. gadījumam,
kad laukumu jārēķina kā divu figūru laukumu summu:
1
1
⎛
x
⎞
2
2
1
1
(
)
= ∫
x
S
2
−
1
dx
=
⎜
⎝
−
x
⎟
⎠
=
−
1
−
=
−
1
.
1
ln
2
ln
2
ln
2
ln
2
0
0
5. nodarbība. 3. lpp. Augstākā matemātika.
I. Volodko
811670035.012.png 811670035.013.png 811670035.014.png 811670035.015.png 811670035.016.png 811670035.017.png 811670035.018.png 811670035.019.png 811670035.020.png 811670035.021.png 811670035.022.png 811670035.023.png
 
Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Lekciju
konspekts.
y
Otrā figūra ir taisnleņķa trijstūris, tās
laukums
1
⋅
1
1
S
=
=
.
2
2
2
1
1
1
1
S 1
S 2
O
Tad
S
=
S
+
S
=
−
1
+
=
−
.
1
2
ln
2
2
ln
2
2
1
2
x
6. zīm.
5.2. Noteiktā integrāļa lietojumi līnijas loka garuma aprēķināšanai
( )
Pieņemsim, ka dota nepārtraukta līnija
y =
f
x
un jāaprēķina tās garums no
( )
)
(
punkta
A
a
,
f
a
līdz
punktam
( )
)
y
(
B
b
,
f
b
(7. zīm.). Ar punktiem
B
P n = visu līniju
sadalīsim n daļās. Šo punktu abscisas
A = ,
P
P ,
P , …,
B
P i- 1
P i
a =
x
,
x ,
x
, …,
x n = apmierina
b
0
2
nevienādības
A
x
<
x
<
x
<
K
<
x
.
0
1
2
n
Punktus A , P , P , …, B savienosim ar
lauztu līniju. Dotās līnijas garums L ir
aptuveni vienāds ar šīs lauztās līnijas
garumu L lauztai līnijai . Savukārt lauztās
līnijas garumu varam aprēķināt kā atsevišķu posmu (t.i. nogriežņu garumu summu):
Oa
x i- 1
x i
b
x
7. zīm.
n
= ∆
P i- 1
L
=
l
.
lauztai
linijai
i
i
1
∆ l
Aplūkosim atsevišķi vienu lauztās līnijas posmu (8. zīm.).
Caur punktiem P i -1 , P i novilksim koordinātu asīm paralēlas
taisnes, kā tas parādīts zīmējumā. Izveidojas taisnleņķa
trijstūris, kura katešu malu garumi ir ∆ un ∆ . Lauztās
līnijas posms ir šī trijstūra hipotenūza, kuras garumu varam
∆ y
P i
∆ x
8. zīm.
5. nodarbība. 4. lpp. Augstākā matemātika.
I. Volodko
811670035.024.png 811670035.025.png 811670035.026.png 811670035.027.png 811670035.028.png 811670035.029.png 811670035.030.png 811670035.031.png 811670035.032.png 811670035.033.png 811670035.034.png
 
Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Lekciju
konspekts.
aprēķināt pēc Pitagora teorēmas:
()
()
2
⎛
2
⎞
∆
y
∆
y
⎛
⎞
() () ()
2
2
2
⎜
⎝
⎟
⎠
∆
l
=
∆
x
+
∆
y
=
∆
x
1
+
=
1
+
∆
x
.
⎝
⎠
2
∆
x
∆
x
Tad lauztās līnijas garums ir
2
n
n
⎛
∆
y
⎞
∑
∑
i
⎜
⎝
⎟
⎠
L
=
∆
l
=
1
+
∆
x
,
lauztai
linijai
i
i
∆
x
i
i
=
1
i
=
1
kur
xx .
Precīzu dotās līnijas garumu dabūsim, ja ņemsim tik sīku līnijas sadalījumu daļās, ka
blakus esošie punkti praktiski sakrīt, t.i., ja
∆
=
−
x
i
i
i
−
λ
=
max
∆
tiecas uz nulli. Tātad
i
1
i
≤
n
2
n
n
⎛
∆
y
⎞
∑
∑
i
⎜
⎝
⎟
⎠
L
=
lim
∆
l
=
lim
1
+
∆
x
.
i
i
∆
x
λ
→
0
λ
→
0
i
i
=
1
i
=
1
∆
y
′
Ņemot vērā atvasinājuma definīciju
lim
=
y
un noteiktā integrāļa definīciju,
∆
x
∆
x
→
0
iegūsim līnijas loka aprēķināšanas formulu:
b
()
2
∫
L
=
1
+
y
′
dx
.
a
x
x
−
2
2
Piemērs. Aprēķināt līnijas
y
=
e
+
e
garumu starp punktiem ar abscisām
x
=
0
un
x
=
4
.
y
Risinājums. Vispirms uzzīmēsim doto līniju (9. zīm.).
Noteiksim dotās funkcijas atvasinājumu:
8
x
x
⎛
x
x
⎞
1
−
1
1
−
⎛ −
⎞
⎜
⎟
6
′
2
2
2
2
y
=
e
⋅
+
e
⋅
=
e
−
e
.
⎝
⎠
⎜
⎟
2
2
2
⎝
⎠
Sastādīsim noteikto integrāli un aprēķināsim to:
4
2
⎛
x
x
⎞
⎛
⎞
4
4
(
) =
1
−
1
⎜
⎟
⎜
⎟
x
−
x
∫
∫
L
=
1
+
e
2
−
e
2
dx
=
1
+
e
−
2
+
e
dx
⎜
⎟
⎜
⎟
2
2
4
⎝
⎠
0
⎝
⎠
0
4
4
(
)
1
1
x
x
−
x
x
−
x
∫
∫
=
4
+
e
−
2
+
e
dx
=
e
+
2
+
e
dx
=
1
2
3
4
4
2
0
0
9. zīm.
5. nodarbība. 5. lpp. Augstākā matemātika.
I. Volodko
811670035.035.png 811670035.036.png 811670035.037.png 811670035.038.png 811670035.039.png 811670035.040.png 811670035.041.png 811670035.042.png 811670035.043.png 811670035.044.png 811670035.045.png 811670035.046.png 811670035.048.png 811670035.049.png 811670035.050.png 811670035.051.png 811670035.052.png 811670035.053.png 811670035.054.png 811670035.055.png 811670035.056.png 811670035.057.png 811670035.059.png 811670035.060.png 811670035.061.png 811670035.062.png 811670035.063.png 811670035.064.png 811670035.065.png 811670035.066.png 811670035.067.png 811670035.068.png 811670035.070.png 811670035.071.png 811670035.072.png 811670035.073.png 811670035.074.png 811670035.075.png 811670035.076.png 811670035.077.png 811670035.078.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin