algebra-1-08-rzut-ortogonalny.pdf

Wykład8

Rzutemortogonalnym wektora u nawektor v nazywamywektor u v 2

Lin( v )taki,»e u − u v ? v .

Twierdzenie1 Wka»dejprzestrzenieuklidesowejdladowolnychwektorów

u,vistniejedokładniejedenrzutwektoraunawektorv.

Dowód Je±li u =0lub v =0totwierdzeniejestoczywiste.Niech u i v b¦d¡

wektoraminiezerowymi.Wektor u v maposta¢ kv .Poniewa»( u − u v | v )=0

to0=( u − kv | v )=( u | v ) − k ( v | v )imamy k = ( u | v )

( v | v ) .Todowodziistnieniai

jednoznaczno±ci.

Twierdzenie2 Niechv 1 ,v 2 ,...,v n b¦dziebaz¡ortonormaln¡przestrzenieu-

klidesowejV.Wtedyka»dywektorv 2 Vmo»eby¢przedstawionywpostaci

v =( v | v 1 ) v 1 +( v | v 2 ) v 2 + ... +( v | v n ) v n .

Dowód Poniewa» v 1 ,v 2 ,...,v n jestbaz¡przestrzeni V todladowolnego

wektora v istniej¡skalary k 1 ,k 2 ,...,k n ,takie»e:

v = k 1 v 1 + k 2 v 2 + ... + k n v n

Obliczmy( v | v 1 )=( k 1 v 1 + k 2 v 2 + ... + k n v n | v 1 )= k 1 ( v 1 | v 1 )+ k 2 ( v 2 | v 1 )+ ... +

k n ( v n | v 1 ),poniewa»bazajestortonormalnatoostatniewyra»eniejestrówne

k 1 ,awi¦c:

( v | v 1 )= k 1

Podobnieudowadniasi¦,»e k i =( v | v i ).

Rzutemortogonalnym wektora v napodprzestrze« U<V nazywamy

wektor v U ,taki»e v U 2 Ui v − v U 2 U ? .

Twierdzenie3 NiechUb¦dziepodprzestrzeni¡sko«czeniewymiarowej,unor-

mowanejprzestrzenieuklidesowejV.Wtedydladowolnegowektorav 2 V

istniejewyznaczonyjednoznacznierzutwektoravnapodprzestrze«U.

Dowód Niech v 1 ,...,v n b¦dziebaz¡ortonormaln¡przestrzeni U .Wtedy

poszukiwanywektor v U dasi¦zapisa¢wpostaci v U = k 1 v 1 + k 2 v 2 + ... + k n v n .

Napodstawiepoprzedniegotwierdzeniamamy: k i =( v U | v i ).Poniewa» v −

v U 2 U ? tomamy( v − v U | v i )=0dla i 2{ 1 ,...,n } ,zatem( v U | v i )=( v | v i ).

Zatemposzukiwanymrzutemwektora v napodprzestrze« U jestwektor:

k 1 v 1 + k 2 v 2 + ... + k n v n

taki,»e k i =( v | v i ).

Dowodypowy»szychTwierdze«daj¡równie»algorytmyszukaniarzutów.

Nierówno±¢Bessela

Twierdzenie4 Niechv 1 ,v 2 ,...,v n b¦dziebaz¡ortonormaln¡podprzestrzeni

UprzestrzenieuklidesowejV.Wtedydlaka»degowektorav 2 Vzachodzi

nierówno±¢Bessela:

( v | v 1 ) 2 +( v | v 2 ) 2 + ... +( v | v n ) n ¬k v k 2

przyczymrówno±¢zachodziwtedyitylkowtedygdyv 2 U.

Dowód Wiemy,»e( v − v U | v − v U ) 0.Zpoprzedniegotwierdzeniamamy:

( v − v U | v − v U )=( v −

n X

( v | v i ) v i | v −

n X

( v | v i ) v i )=( v | v ) −

n X

( v | v i ) 0

i =1

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2

.........

a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = b m

Zało»ymy,»e m>n ,arz¡dmacierzywspółczynnikówjestrówny n .Mo-

»esi¦zdarzy¢,»ewwynikupewnychpomiarówﬁzycznychpojawisi¦taki

układrówna«.Zpowoduniedokładno±cipomiarówtakiukładmo»eniemie¢

rozwi¡za«.Trzebawi¦cznale¹¢rozwi¡zanieprzybli»one.Jedn¡zmetodroz-

wi¡zniaprzybli»onegojesttakzwanametodanajmniejszychkwadratówto

znaczyznalezienietakichelementów y 1 ,y 2 ,...,y n ,»ebysumakwadratów:

> > > :

m X

n X

a ij y j − b i

i =1

j =1

m .Wtedypowy»szasumaprzyj-

mujenajmniejsz¡warto±¢je±li( y 1 ,y 2 ,...,y n )jestrzutemwektora f napod-

przestrze«rozpi¦t¡nawektorach h 1 ,h 2 ,...,h n .Zatemelementy y 1 ,y 2 ,...,y n

ast¡dmamyrz¡dan¡nierówno±¢.

Nierówno±¢Besselamówi,»enormarzutuortogonalnegojestmniejsza

b¡d¹równaodnormywektora.

Metodanajmniejszychkwadratów

Rozwa»myukład m równa«liniowychz n niewiadomymiowspółczynni-

kachrzeczywistych:

> > > <

byłanajmniejsza.Niech f =( b 1 ,b 2 ,...,b m ), h i =( a 1 i ,a 2 i ,...,a mi ), i =

1 , 2 ,...,n b¦d¡wektoramizprzestrzeni R

spełniaj¡układ:

> > > <

( h 1 | h 1 ) y 1 +( h 1 | h 2 ) y 2 + ... +( h 1 | h n ) y n =( h 1 | f )

( h 2 | h 1 ) y 1 +( h 2 | h 2 ) y 2 + ... +( h 2 | h n ) y n =( h 2 | f )

.........

( h n | h 1 ) y 1 +( h n | h 2 ) y 2 + ... +( h n | h n ) y n =( h n | f )

> > > :

n (jestto

równie»sposóbwyznaczaniarzutuwektoranapodprzestrze«).Wyznacznik

macierzywspółczynnikówtegoukładunazywamywyznacznikiemGrama.

Zadanie Rozwi¡za¢metod¡najmniejszychkwadratówukład:

> <

x + y =3

2 x + y =5

x − y =2

> :

Rozwi¡zanie Układtenjestsprzeczny.Poszukamywi¦ctakiegorozwi¡zania

przybli»onego x 1 ,y 1 abywyra»enie:

( x 1 + y 1 − 3) 2 +(2 x 1 + y 1 − 5) 2 +( x 1 − y 1 − 2) 2

przyjmowałonajmniejsz¡warto±¢.Dotegowykorzystamymetod¦najmniej-

szychkwadratów.Przyjmijmy f =(3 , 5 , 2) ,h 1 =(1 , 2 , 1) ,h 2 =(1 , 1 , − 1).

Obliczmy:

( h 1 | h 1 )=6 , ( h 1 | h 2 )=2 , ( h 1 | f )=15 ,

( h 2 | h 1 )=2 , ( h 2 | h 2 )=3 , ( h 2 | f )=6

Zatemprzybli»onerozwi¡zanie(wsensienajmniejszychkwadratów)spełnia

układ: ( 6 x 1 +2 y 1 =15

2 x 1 +3 y 1 =6

Formydwuliniowe

Niech V b¦dzieprzestrzeni¡liniow¡nadciałem K (= R lub C ).Funkcj¦:

f : V × V ! K

nazywamyform¡dwuliniow¡je±li 8 u,v,w 2 V, 8 k 2 K mamy:

(i) f ( u + v,w )= f ( u,w )+ f ( v,w ),

(ii) f ( ku,v )= kf ( u,v ),

(iii) f ( u,v + w )= f ( u,v )+ f ( u,w ),

(iv) f ( u,kv )= ¯ kf ( u,v ).

gdzie( | )oznaczastandardowyiloczynskalarnywprzestrzeni R

Przykłademformydwuliniowejmo»eby¢iloczynskalarnywprzestrzenieu-

klidesowej.

Przyjmijmyteraz V = R

n X

f ( u,v )=

g ij x i y j

i =1

j =1

dlaka»dych u,v .Wtedydlamacierzy G =[ g ij ]mamy:

y 1

y 2

. . .

y n

f ( u,v )=( x 1 ,x 2 ,...,x n ) G

6 6 6 6 4

7 7 7 7 5

Mo»nazauwa»y¢,»eje±li e 1 ,e 2 ,...,e n oznaczabaz¦kanoniczn¡to g ij =

f ( e i ,e j ).

Form¦ f nazywamy form¡symetryczn¡ je±li 8 u,v 2 V mamy f ( u,v )=

f ( v,u ).

Stwierdzenie1 Formafjestsymetrycznawtedyitylkowtedygdymacierz

Gtejformyjestsymetryczna(toznaczyG = G T ).

Ni ech A = [ a ij ]b¦dziemacierz¡nadciałemliczbzespolonych.Wtedy

A = A T =[ a ij ] T .Macierz A nazywamy macierz¡hermitowsk¡ je±li A =

A .

Form¦ f nazywamyform¡hermitowsk¡je±lijejmacierzwspółczynników G

jestherm itowska .Zatemformahermitowskaspełniato»samo±¢: 8 u,v 2 V :

f ( u,v )= f ( v,u ).

Macierz A nazywamymacierz¡ortogonaln¡(unitarn¡)je±li A T A = I ( AA =

I ).

Macierz A nazywamymacierz¡normaln¡je±li AA T = A T A ( AA = A A ).

Formakwadratowa

Funkcj¦:

g : V ! R

nazywamy form¡kwadratow¡ je±liistniejeformadwuliniowa f : V × V !

R ,taka»e 8 v 2 V,g ( v )= f ( v,v ).

n to

istniejedokładniejednasymetrycznaformadwuliniowaf,»edlaka»dego

v 2 Vmamyg ( v )= f ( v,v ) .

n , u =( x 1 ,x 2 ,...,x n ), v =( y 1 ,y 2 ,...,y n )wtedy

je±li f jestform¡dwuliniow¡toistniej¡współczynniki g ij , i,j 2{ 1 ,...,n } ,

»e:

Twierdzenie5 Je±ligjestform¡kwadratow¡wprzestrzeniV = R

Symetryczn¡form¦dwuliniow¡ f nazywamy form¡biegunow¡ formykwa-

dratowej g .

Dowód Wystarczyprzyj¡¢:

f ( u,v )= 1

2 ( g ( u + v ) − g ( u ) − g ( v ))

Zadanie Niech

x 1

x 2

. . .

x n

123

1 − 12

210

6 6 6 6 4

7 7 7 7 5

g ( x 1 ,x 2 ,x 3 )=( x 1 ,x 2 ,x 3 )

6 4

7 5

Znale¹¢biegunow¡form¦dwuliniow¡tejformykwadratowej.

Mo»nazauwa»y¢,»eje±li g jestform¡kwadratow¡wprzestrzeni R

n to:

g ( x 1 ,x 2 ,...,x n )=

n X

g ii x 2 i +2

n X

g ij x i x j =( x 1 ,x 2 ,...,x n ) G

6 6 6 6 4

x 1

x 2

. . .

x n

7 7 7 7 5

i =1

i =1 ,j =1 ,i<j

gdzie G jestmacierz¡symetryczn¡,owspółczynnikach g ij .Wtedybiegunowa

formadwuliniowamaposta¢:

y 1

y 2

. . .

y n

f ( u,v )=( x 1 ,x 2 ,...,x n ) G

6 6 6 6 4

7 7 7 7 5

Ka»d¡form¦kwadratow¡mo»emyskojarzy¢zpewn¡macierz¡symetryczn¡

G .

Oznaczmyprzez G i macierzwymiaru i × i ,którapowstajezmacierzy G przez

wykre±leniewierszyikolumnonumerach i +1 ,i +2 ,...,n .Wtedydet G i

nazywamyminoremgłównymmacierzy G .

Form¦kwadratow¡ g : R

n ! R nazywamy dodatniookre±lon¡ je±li 8 v 2

n \{ (0 , 0 ,..., 0) } mamy g ( v ) > 0.

Twierdzenie6 Formagwyznaczonaprzezmacierzsymetryczn¡Gjestdo-

datniookre±lonawtedyitylkowtedygdywszystkieminorygłówne det G i s¡

dodatnie.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: