Technologie sieciowe

TRANSFORMATA FOURIERA

Transformata przekształca funkcję czasu na widmo, np. sygnał f(t) w przebieg amplituda-częstotliwość. Znajomość transformaty jest ważna, ponieważ media transmisji charakteryzowane są pasmem częstotliwości, a sygnały – funkcjami czasu. Obie te wielkości zderzają się w procesie transmisyjnym. Aby go dobrze zaprojektować, trzeba móc przedstawić obie wielkości w jednej skali. Transformata prosta ma postać

gdzie t- czas; ;f(t) – funkcja czasu ;w - częstotliwość (kątowa); F(w) – widmo.

Przykład

Wyznaczyć widmo impulsu prostokątnego, symetrycznego względem osi rzędnych o standardowej amplitudzie 1 i czasie trwania t. Po podstawieniu danych otrzymujemy

Przebieg F(w) przedstawiono na rys.1 – linia czerwona. Widzimy, że:

-          widmo skończonego przebiegu f(t) wyraża się funkcją ciągłą (tu –tzw. sinus całkowy)

-          jest nieskończone, -¥<w<¥

-          periodyczne  (sinwt/2) 

-          maleje liniowo z częstotliwością (1/|w|)

-          punkty zerowe są dyktowane przez czas impulsu i występują dla w = ±2/t, ±4/t,...

Rys.1. Widmo pojedynczego impulsu prostokątnego

Inne własności

- Zawsze, kiedy funkcja f(t) jest skończona, otrzymujemy widmo nieskończone i na odwrót.

- Energia widma oraz przebiegu w czasie są jednakowe (prawo Parsevala)

- Funkcja f(t) może być określona w dowolnym miejscu na osi czasu (±¥), natomiast widmo

  zawsze będzie występować na całej skali w, choć położenie na osi t zaznaczy się fazą

- Widmo f(t) w postaci impulsu Diraca d(t) dla t=0 jest stałe, sięgające od -¥ do +¥.

- Można wykazać, że widmo dla nieskończonej okresowej serii impulsów prostokątnych o parametrach, jak wyżej wyraża się identyczną funkcją, jak dla pojedynczego impulsu, tyle że dyskretną, rys.2 – linie zielone; odstęp między liniami dyktuje okres T Rys.2. Widmo nieskończonego ciągu impulsów prostokątnych

Widmo dyskretne wyznacza się za pomocą szeregu Fouriera. Przy stosowaniu techniki komputerowej korzystamy z tzw. szybkiej transformaty Fouriera, FFT. Rezygnuje się wówczas z niewygodnej ujemnej osi częstotliwości i wprowadza w to miejsce składową rzeczywistą i urojoną –real oraz imag

gdzie f(n) –próbka sygnału w chwili n; m - numer harmonicznej, m=0,1,2,...,2N; j=Ö-1.

Przykład

Wyznaczyć widmo FFT dla funkcji f(t)=sin(2pi x1000t)+0,5sin(2pi x2000t+3pi/4), rys.3.

Jak widać, funkcja jest sumą dwu sinusoid o częstotliwościach 1000 i 2000 Hz, przesuniętych w fazie o 3pi/4 i poróżnionych w amplitudzie o 50%.

Niech N=8 i częstotliwość próbkowania fs=8000 c/s. Wobec tego widmo FFT zostanie określone dla M=2N=16 harmonicznych częstotliwości podstawowej fs/N=1000 Hz.

Program w języku Matlab przyjmie postać:

for n=1:8,

f(n)=sin(2*pi*(1000/8000)*(n-1))+0.5*sin(2*pi*(2000/8000)*(n-1)+3*pi/4);

end;ff=fft(f);figure;bar(abs(ff));…

Składnik (–1) w argumencie funkcji sinus pochodzi stąd, że Matlab „nie umie” realizować pętli, ani układać tablic począwszy od wskaźnika 0.

Rys.3. Funkcja transformowana f(t)             

absangleimag

real

Rys.4. Widmo funkcji f(t): absolutne, kątowe, składowa rzeczywista i urojona

Komentarz

Ponieważ funkcja transformowana jest rzeczywista, jej widmo jest określone już przez pierwsze cztery współrzędne, n=1,2,3,4. Druga połowa widma jest lustrzanym odbiciem pierwszej - symetrycznym dla składowej rzeczywistej i asymetrycznym dla urojonej.

Widzimy, że widmo urojone, wyrażane składnikami sinusoidalnymi, ma dwie składowe, podstawową dla n+1=2 o częstotliwości 1000 Hz i amplitudzie –4  oraz jej harmoniczną o częstotliwości 2000 Hz i amplitudzie 1,41.

Natomiast widmo rzeczywiste, wyrażone składnikami kosinusoidalnymi, ma tylko jedną składową o częstotliwości 2000 Hz i amplitudzie 1,41. Zatem obie składowe tworzą w rzeczywistości harmoniczną 2000 Hz o amplitudzie 2 i przesunięciu fazy 3pi/4. Wzrost amplitudy FFT w miarę zwiększania N jest naturalnym procesem. Należy o tym pamiętać, zwłaszcza przy naprzemiennym stosowaniu FFT oraz IFFT (inverse).

Jak widzimy, uzyskane widmo składa się z dwu harmonicznych, 1000 Hz i 2000 Hz. Pierwsza ma amplitudę 4 jednostki, druga 2 jednostki. Obie są przesunięte fazowo. Wynik odpowiada zatem produktowi wejściowemu z dokładnością do współczynnika stałego N/2.

Zadanie

Wyznaczyć sygnał f(t), który ma widmo skończone prostokątne 1 w przedziale ±w1

Wskazówka – należy zastosować transformatę odwrotną IFFT.

Literatura

R. Lyons, Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, WKŁ, W-wa 1999