12.pdf

(590 KB) Pobierz
60626896 UNPDF
Część 1
12. METODA SIŁ - ŁUKI
1
12. 
12. METODA SIŁ - ŁUKI
12.1. Definicja i podział łuków
Łuk to pręt zakrzywiony w pewnej płaszczyźnie, pracujący zarówno na zginanie, ścinanie jak i
ściskanie. Jego poszczególne części składowe, nazwane są następująco:
l – rozpiętość – najkrótsza odległość między podporami zewnętrznymi
f – strzałka łuku – odległość od cięciwy łączącej podpory do najwyższego punktu łuku
f
l
Łuki klasyfikujemy najczęściej według poniższych kryteriów.
1. W zależności od krzywizny:
• paraboliczne,
• sinusoidalne,
• kołowe.
2. W zależności od rodzaju podparcia (konstrukcji podpór):
• jednoprzegubowe,
• dwuprzegubowe,
• bezprzegubowe (utwierdzone).
3. W zależności od przekroju:
• o stałym przekroju,
• o zmiennym przekroju (np. konstrukcja optymalna gdzie wymiar przekroju zmienia się według rozkładu sił
wewnętrznych).
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
60626896.011.png 60626896.012.png 60626896.013.png
Część 1
12. METODA SIŁ - ŁUKI
2
4. W zależności od materiału z jakiego są zbudowane:
• stalowe,
• żelbetowe,
• drewniane.
5. W zależności od budowy:
• ze ściągiem,
• z zakratowaniem.
12.2. Praca sił wewnętrznych w łukach
W pracy łuku decydującą rolę najczęściej odgrywają siły normalne. Z tego też powodu w wielu
przypadkach nie wolno pominąć ich wpływu na przemieszczenia układu. Wpływ sił normalnych na układ jest
tym większy im mniejszą łuk ma wysokość, czyli wpływ ten jest znaczny w łukach płaskich (analogia do
kratownicy Misesa). Dla łuków płaskich, o wysokim przekroju, nie wolno pominąć wpływu siły tnącej
(analogia do belki Timoshenki). Poniższa tabela przedstawia ogólne warunki, na podstawie których pomijamy
bądź uwzględniamy wpływ odpowiednich sił wewnętrznych na przemieszczenia.
Tabela 12.1. Wpływ odpowiednich sił wewnętrznych na przemieszczenia w zależności od wymiarów łuku (h-wysokość
przekroju, l - rozpiętość łuku, f - strzałka łuku)
jeżeli
l 1
to uwzględniamy w obliczeniach wpływ M, N, T
10
Łuki płaskie
f
l 1
jeżeli
30 h
l 1
to uwzględniamy w obliczeniach wpływ M i N
10
5
jeżeli
l 1
to uwzględniamy w obliczeniach wpływ M i N
(wpływ N jest znacznie mniejszy)
30
jeżeli
l 1
to uwzględniamy w obliczeniach tylko wpływ M
Łuki wyniosłe
f
10
l 1
l 1
5
jeżeli
to uwzględniamy w obliczeniach M i T
10
Warto zauważyć, że pominięcie sił normalnych podczas obliczania przemieszczeń w łukach płaskich ma dużo
większy wpływ na ostateczny wynik niż w innych układach prętowych (błąd może nawet przekroczyć 10 %).
12.3. Opis matematyczny łuków
1. Łuk paraboliczny:
Równanie łuku parabolicznego ma następującą postać:
y = 4 f
l 2
x l − x
(12.1)
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
h
1
h
h
h
60626896.014.png
Część 1
12. METODA SIŁ - ŁUKI
3
y
φ
f
x
l
Zatem kąt nachylenia stycznej do krzywej w danym punkcie jest równy:
tg = y ' = dy
dx = 4 f
l 2 l − 2 x
[ 4 f
]
= arctg
l 2 1 − 2 x
(12.2)
2. Łuk kołowy:
Równanie łuku kołowego ma następującą postać:
y = f − R
R 2 − x − 2 2
(12.3)
Zatem kąt nachylenia stycznej do krzywej w danym punkcie jest równy:
tg = y' =
R 2 − x − 2 2
l − 2 x
2
[
l − 2 x
]
(12.4)
= arctg
R 2 − x − 2 2
2
y
φ
f
R
x
α 0
α 0
R
l
2
l
2
R - f
Rys. 12.1. Zależności geometryczne w łuku kołowym
Promień łuku znajdujemy korzystając z twierdzenia Pitagorasa (rys. 12.1):
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
60626896.001.png 60626896.002.png 60626896.003.png 60626896.004.png 60626896.005.png
Część 1
12. METODA SIŁ - ŁUKI
4
2
2
R 2 = R − f 2
R = f
2 l 2
8 f
(12.5)
12.4. Sposoby całkowania funkcji sił wewnętrznych
Całkując wykresy w celu wyliczenia przemieszczeń w łukach, nie możemy skorzystać z twierdzenia
Mohra-Wereszczagina. Żaden z wykresów nie jest prostoliniowy (obydwa są krzywoliniowe). Należy więc
dokonać całkowania w sposób tradycyjny lub skorzystać ze sposobów ułatwiających całkowanie. Poniżej
podajemy różne sposoby radzenia sobie z tym problemem.
12.4.1. Metoda matematyczna
W ogólnym przypadku, w prostokątnym układzie współrzędnych można dokonać zamiany całki
krzywoliniowej na liniową, stosując następujące matematyczną zależność:
ds =
dx
1 y ' 2
(12.6)
12.4.2. Metoda numeryczna
Metody numeryczne są szczególnie przydatne tam gdzie mamy do czynienia z dość skomplikowanymi
krzywymi (warunkiem jest stały wymiar przekroju w obszarze całkowania). W takim przypadku musimy
najpierw dokonać następującego przekształcenia:
ds = cos   ds = dx
(12.7)
cos
φ
dx
A po podstawieniu tej zależności do wzoru na współczynniki równania kanonicznego (we wszystkich
występuje całka z wyrażenia będącego iloczynem funkcji momentów) otrzymujemy:
M 0 M i
EJ
l
M 0 M i
EJ
cos = 1
l
q j x dx = 1
iP = j = 1 ∫ s
ds = j = 1 ∫ 0
EJ j = 1 ∫ 0
EJ i = 1 j
(12.8)
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
dx
dx
60626896.006.png 60626896.007.png
 
Część 1
12. METODA SIŁ - ŁUKI
5
y
q(x)
Ω
0
l x
gdzie Ω j oznacza pole wykresu pod krzywą q j (x) w granicach od 0 do l .
– metoda prostokątów - pole pod krzywą dzielimy na prostokąty, a następnie dokonujemy zsumowania ich
pól (jedna z mniej dokładnych metod),
y
q 1
q 0
q 2
q(x)
q n
0
l x
Ω n
a
2
a
2
Ω 1 Ω 2 Ω 3
a
2
a
2
a a a a a
a a a
a
a a a a a
a a a
a a
n
2 q 0 q 1 q 2 ... q n − 1 2 q n
= k = 1
k = a
(12.9)
– metoda trapezów - pole pod krzywą dzielimy na trapezy, a następnie dokonujemy zsumowania ich pól
(jedna z dokładniejszych metod),
n − 1
n
q k q k 1
2
= k = 0
k = a k = 0
(12.10)
– metoda parabol (Simpsona) - pole pod krzywą dzielimy na prostokąty i parabole, a następnie dokonujemy
zsumowania ich pól (najdokładniejsza metoda). Warto zaznaczyć, że parabole budujemy na trzech
kolejnych punktach dlatego podział odcinka musi być parzysty ( l=an, n=2k, k=1,2,... ).
n
k = a
= k = 1
3 q 0 4 q 1 2 q 2 4 q 3 ... 2q n − 2 4 q n − 1 q n
(12.11)
Warto zaznaczyć, że we wszystkich powyższych metodach całkowania numerycznego, czym gęstszy
jest podział obszaru całkowania tym uzyskane wyniki są dokładniejsze (szczególnie gęsty podział zalecany jest
gdy mamy do czynienia z łukami wyniosłymi).
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. AlmaMater
60626896.008.png 60626896.009.png 60626896.010.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin