15. Hipotezy_wytęż.pdf

(135 KB) Pobierz
HIPOTEZY WYTRZYMAàOSCIOWE
W budowie maszyn i konstrukcji wystĊpują najczĊĞciej záRĪone stany obciąĪHĔ,
odznaczających siĊ przestrzennym ukáadem naprĊĪHĔ gáównych. Chcąc okreĞliü, dla jakiej
wartoĞci wspóáczynnika bezpieczeĔstwa pracuje dany element, naleĪDáoby przeprowadziü
bardzo drogie badania laboratoryjne przy zachowaniu takiego samego stosunku
VV ,
jaki istnieje w najbardziej zagroĪonych punktach pracy danego elementu i ustaliü, przy jakich
wartoĞciach tych naprĊĪHĔ nastĊpuje zniszczenie materiaáu.
Powstaáy hipotezy wytrzymaáRĞciowe podające kryteria oceny wytĊĪenia materiaáu w
]áRĪonym stanie naprĊĪHĔ.
:
:
V
1
2
3
ma V ) – Rankine ’ a.
1. Hipoteza najwiĊkszych naprĊĪHĔ normalnych (
O wytĊĪeniu materiaáu decyduje najwiĊksze naprĊĪenie normalne, wystĊpujące w
najbardziej zagroĪonym punkcie ciaáa.
Celem wykazania róĪnic poszczególnych hipotez, rozpatrzono szeĞcienna kostkĊ
2
1
poddana dziaáaniu naprĊĪHĔ gáównych
V
!
V
!
V
o wartoĞciach
V
V
,
V
V
.
1
2
3
2
1
3
1
3
3
Rys. RównowaĪne stany naprĊĪenia
Poddając próbkĊ rozciąganiu, nastĊpuje odksztaácenie plastyczne przy naprĊĪeniach
p V , które uzna siĊ równoznacznie za zniszczeniem kostki (rys. a), to w kostce poddanej
2
1
równoczesnemu dziaáaniu trzech naprĊĪHĔ rozciągających
V
,
V
V
,
V
V
, wedáug
1
2
1
3
1
3
3
hipotezy
ma V równie niebezpieczny stan naprĊĪHĔ powstanie wówczas, gdy
V
1
V
(rys. b).
pl
Wg tej hipotezy naprĊĪenia
V
2 , V
nie maja Īadnego wpáywu na stan wytĊĪenia materiaáu,
3
jeĪeli są tylko mniejsze od
V . Stosowana do materiaáów kruchych (beton, kamieĔ).
2. Hipoteza najwiĊkszego wydáXĪenia wzglĊdnego (
ma H ) – Saint-Venanta.
Wg tej hipotezy w dwóch kostkach bĊdzie jednakowy stan naprĊĪHĔ, gdy najwiĊksze
odksztaácenia wzglĊdne kostek bĊGą jednakowe. W kostce poddanej rozciąganiu
naprĊĪeniami
p V max wydáXĪenie wzglĊdne wynosi (rys. a)
V
pl
H
(a)
E
831723758.015.png 831723758.016.png
Dla kostki poddanej rozciąganiu naprĊĪeniami
V
!
V
!
V
najwiĊksze wydáuzenie
1
2
3
wzglĊdne wynosi
V
Q
Q
H
1
2
3
(b)
1
E
E
E
V jest równowaĪne z
dziaáaniem naprĊĪHĔ p V (rys. a) wówczas gdy wydáXĪenia wzglĊdne w obu przypadkach są
sobie równe. Z porównania zaleĪnoĞci (a) i (b) wynika, Īe
)
Wg tej hipotezy równoczesne dziaáanie naprĊĪHĔ
,
V
,
V
1
2
3
V
V
Q
(
V
V
(c)
pl
1
2
3
2
1
Przyjmując dla rozpatrywanej kostki poddanej rozciąganiu
V
,
V
V
,
V
V
do
1
2
1
3
1
3
3
wzoru (c) uzyskano
2
1
V
V
Q
(
V
V
)
V
(
Q
)
pl
1
1
1
1
3
3
Dla stali
(
Q
0
.
3
,
V
1
1
43
V
. Z hipotezy tej wynika, Īe naprĊĪenie
V moĪe byü o
pl
43 % wiĊksze od granicy plastycznoĞci
p V i dopiero wówczas zacznie siĊ proces odksztaáceĔ
plastycznych kostki przedstawionej na rys b. Stosowana gáównie do materiaáów kruchych jak
kamieĔ, beton, Īeliwo.
3. Hipoteza najwiĊkszych naprĊĪHĔ tnących (
ma W ) – Coulomba.
Hipotezy (
ma V ) i (
ma H ) siĊ nie sprawdzają dla przypadku, gdy materiaá poddany jest ze
wszystkich stron dziaáaniu jednakowych naprĊĪHĔ rozciągających (Ğciskających). Badania
wykazaáy, Īe kostka moĪe byü poddana dziaáaniu ciĞnienia hydrostatycznego wielokrotnie
wiĊkszego od wytrzymaáRĞci na Ğciskanie i brak objawów odksztaáceĔ plastycznych oraz
rozkruszenia materiaáu. Dla takiego stanu naprĊĪHĔ
V
V
V
, naprĊĪenia styczne są
1
2
3
równe zero.
Wg tej hipotezy uplastycznienie próbki podczas rozciągania nie nastĊpuje dlatego, Īe Īe
naprĊĪenia rozciągające osiągnĊáy wartoĞü
p V , lecz dlatego, Īe najwiĊksze naprĊĪenia
styczne osiągnĊáy wartoĞü krytyczną, wynosząFą w przypadku rozciągania (rys. a) wartoĞü
1
W
max
V
(d)
pl
2
Dla trójkierunkowego stanu naprĊĪHĔ
V
!
V
!
V
, najwiĊksze naprĊĪenia styczne
1
2
3
powstają w przekroju nachylonym pod katem 45 0 do kierunków naprĊĪHĔ
V
1 , V
i wynoszą
3
1
W
(
V
V
)
(e)
max
1
3
2
831723758.017.png 831723758.018.png 831723758.001.png 831723758.002.png
 
Na podstawie zaleĪnoĞci (d) i (e) wynika, Īe w myĞl hipotezy
ma W , niebezpieczny stan
naprĊĪHĔ dla kostki poddanej dziaáaniu naprĊĪHĔ
V
!
V
!
V
jest wówczas gdy
1
2
3
V
V
V
(f)
pl
1
3
2
1
W myĞl zaleĪnoĞci (f) dla kostki 0 naprĊĪeniach
V
,
V
V
,
V
V
(rys. a)
1
2
1
3
1
3
3
otrzymujemy
V
1
1
5
V
. Oznacza to , Īe naprĊĪenie
V moĪe byü o 50 % wiĊksze od
pl
granicy plastycznoĞci, zanim w kostce zostanie zapoczątkowane páyniĊcie materiaáu. Hipoteza
ta daje duĪą zgodnoĞü z doĞwiadczeniami, szczególnie to dotyczy materiaáów plastycznych
(stal niskowĊglowa).
4. Hipoteza energetyczna Hubera-Misesa.
Kostka szeĞcienna poddana wszechstronnemu Ğciskaniu nie ulega zniszczeniu przy
wielokrotnym nawet przekroczeniu wytrzymaáRĞci na Ğciskanie, komentuje siĊ w ten sposób,
Īe caáa energia wáRĪona w kostkĊ idzie na odksztaácenie objĊtoĞciowe (kostka szeĞcienna
nadal pozostaje szeĞcianem). Stąd teza, Īe ciaáa mogą doznawaü nieograniczonych
odksztaáceĔ objĊtoĞci, jeĪeli postaü ich nie ulegnie zmianie, tzn. szeĞcian nadal pozostanie
szeĞcianem.
O zniszczeniu próbki decyduje nie ta czeĞü energii, która idzie na odksztaácenie
objĊtoĞciowe, lecz ta czĊĞü która idzie na odksztaácenie postaci .
Kostka poddana trójkierunkowemu Ğciskaniu (rozciąganiu) jednakowymi naprĊĪeniami
p doznaje tylko zmian objĊtoĞci, przeto energia odksztaácenia objĊtoĞciowego (dla
p
V
V
V
) wynosi
1
2
3
3
2
Q
)
L
p
2
(g)
X
2
E
W ogólnym przypadku, gdy kostka szeĞcienna obciąĪona jest naprĊĪeniami gáównymi
VV na odksztaácenie objĊtoĞciowe kostki idzie energia od wszechstronnego dziaáania
naprĊĪHĔ p równych Ğredniej algebraicznej przyáRĪonych naprĊĪHĔ gáównych
,
,
V
1
2
3
1
p
(
V
V
V
)
(h)
1
2
3
3
Podstawiając do zaleĪnoĞci (g)
1
2
Q
L
(
V
V
V
)
2
X
1
2
3
6
E
Odejmując od energii caákowitej kostki energiĊ odksztaácenia postaciowego uzyskuje
siĊ energiĊ czystego odksztaácenia postaciowego, wyraĪona za pomocą zaleĪnoĞci
1
Q
L p
[(
V
V
)
2
(
V
V
)
2
(
V
V
)
2
]
(i)
1
2
2
3
3
1
6
E
Graniczną wartoĞü energii odksztaácenia postaciowego, jaka powstaje w kostce
szeĞciennej poddanej rozciąganiu naprĊĪeniami równymi granicy plastycznoĞci
p V , uzyskuje
siĊ na podstawie zaleĪnoĞci (i), przyjmując
V
V
,
V
V
0
1
pl
2
3
831723758.003.png 831723758.004.png 831723758.005.png 831723758.006.png
 
1
Q
1
Q
2
2
2
L
(
V
V
)
(j)
p
pl
pl
pl
6
E
3
E
Porównując zaleĪnoĞci (i) oraz (j) uzyskano
1
2
2
2
V
[(
V
V
)
(
V
V
)
(
V
V
)
]
(k)
pl
1
2
2
3
3
1
2
2
1
Dla rozwaĪanego przypadku kostki obciąĪonej naprĊĪeniami
V
,
V
V
,
V
V
1
2
1
3
1
3
3
na podstawie zaleĪnoĞci
1 . Oznacza to , Īe naprĊĪenie V moĪe byü o 73 % wiĊksze
od granicy plastycznoĞci, zanim w kostce zostanie zapoczątkowane páyniĊcie materiaáu.
NaprĊĪenia zredukowane re V
NaprĊĪenia zredukowane nazywamy naprĊĪenia otrzymane po zastosowaniu przyjĊtej
V
3
V
pl
hipotezy wytrzymaáRĞciowej dla dane go trójkierunkowego stanu naprĊĪHĔ, które jest
równowaĪne z naprĊĪeniem przy zwykáym rozciapaniu. Obliczenia wytrzymaáRĞciowe dla
dowolnego przestrzennego stanu naprĊĪHĔ sprowadzają siĊ do sprawdzenia warunku:
V
d
k
red
r
Warunek ten dla danych hipotez przybiera postaü (dla
V
t
V
t
V
)
1
2
3
Wg hipotezy Saint-Venanta
ma H
V
V
Q
(
V
V
)
d
k
(l)
red
1
2
3
r
Wg hipotezy Coulomba
ma W
VV (m)
Gdy stan naprĊĪHĔ jest okreĞlony przez naprĊĪenia normalne i styczne
V
d
k
red
1
3
r
2
2
V
V
4W
d
k
(n)
red
r
Wg hipotezy Hubera
1
2
2
2
V
[(
V
V
)
(
V
V
)
(
V
V
)
]
d
k
(o)
red
1
2
2
3
3
1
r
2
Gdy stan naprĊĪHĔ jest okreĞlony przez naprĊĪenia normalne i styczne
2
2
V
V
3W
d
k
(p)
red
r
Dla czystego Ğcinania, czyli dla
V
V
W
,
V
0
V
V
W
, obliczenia
1
2
3
wytrzymaáRĞciowe poszczególnych hipotez sprowadzają siĊ do warunku
Wg hipotezy
ma H
V
W
Q
(
W
)
W
(
Q
)
d
k
(r)
red
r
Dla stali
Q
0
.
3
k
W
d
r
0
77
k
, lub
k
0
77
k
(s)
r
t
r
1
0
Wg hipotezy
ma W
831723758.007.png 831723758.008.png 831723758.009.png 831723758.010.png 831723758.011.png
V
W
(
W
)
2
W
d
k
o
k
0
k
(t)
red
r
t
r
Wg hipotezy Hubera
1
k
2
2
2
V
[
W
W
(
2
W
)
]
d
k
o
k
r
0
58
k
(u)
red
r
t
r
2
3
WartoĞü wynikająca z hipotezy Hubera najlepiej zgadza siĊ z wynikami
doĞwiadczalnymi dotyczącymi materiaáów plastycznych wykazujących takie same
ZáDĞciwoĞci na rozciąganie i Ğciskanie (stale, stopy miedzi, aluminium).
Hipoteza ma W stosowana na równi z hipotezą Hubera, jednakĪe naprĊĪenia
zredukowane oblicza siĊ za pomocą prostej zaleĪnoĞci.
Dla materiaáów wykazujących róĪne wáDĞciwoĞci na rozciąganie i Ğciskanie , stosuje siĊ
raczej zaleĪnoĞci wynikające z ma W , podane przez Mohra (tzw. hipoteza Mohra). Dla
naprĊĪHĔ gáównych uszeregowanych w kolejnoĞci
V
!
V
!
V
wg hipotezy Mohra muszą
1
2
3
byü speánione równoczeĞnie dwa warunki
R
V
V
V
m
d
k
red
1
3
r
R
c
(w)
R
V
V
V
c
d
k
red
3
1
c
R
m
HipotezĊ Mohra (w) moĪna stosowaü do wszystkich materiaáów, poniewaĪ dla
R
m
c
przechodzi ona w hipotezĊ
ma W .
Hipotezy wytĊĪenia materiaáów anizotropowych
Kryteria wytĊĪeniowe dla materiaáów anizotropowych w przestrzennych stanach
naprĊĪenia przedstawiają powierzchniĊ graniczną, która powinna byü wypukáa. Dla páaskich
stanów naprĊĪHĔ otrzymuje siĊ krzywe páaskie bĊGące przekrojami tej powierzchni.
Metoda opisująFą záRĪony stan obciąĪenia konstrukcji z materiaáów anizotropowych jest
hipoteza Tsai – Wu w postaci nieskoĔczonego szeregu tensorowego:
P
V
P
V
V
P
V
V
V
...d
1
ij
ij
ijkl
ij
kl
ijklmn
ij
kl
mn
gdzie
V
,
V
,
V
– Ğrednie wartoĞci skáadowych naprĊĪenia (skáadowe tensora naprĊĪHĔ),
ij
kl
mn
– wspóárzĊdne równania powierzchni.
P
;
P
;
P
ij
ijkl
ijklmn
Ze wzglĊdu na brak moĪliwoĞci doĞwiadczalnego okreĞlenia wyrazów wyĪszych
rzĊdów niĪ cztery, przyjmowane są dwa pierwsze wyrazy szeregu tensorowego. Dla páaskiego
stanu naprĊĪHĔ
P
V
P
V
V
d
1
ij
ij
ijkl
ij
kl
831723758.012.png 831723758.013.png 831723758.014.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin