AiRlista1rr2010.pdf

LISTA1

RÓWNANIARÓNICZKOWERZDUPIERWSZEGO

1. Sprawdzi¢, »e funkcje dane po prawej stronie spełniaj¡ podane równania ró»niczkowe:

y = e − t ;

a) y 0 + y = 0 ,

1 − t 2 ;

b) y 00 =

1 − t 2 ,

y = t arc sin t +

c) y 00 = y 0 ,

y = e t + 2;

(1 + t 2 ) y 0 = ty,

y =

1 + t 2 ;

e) t + yy 0 = 0 ,

16 − t 2 ;

f) t 2 y 00 + 2 ty 0 + y = ln t + 3 t + 1 , y = ln t + t.

y =

2. Uzasadni¢, »e równanie ty 2 − e − y − 1 = 0 deﬁniuje funkcje uwikłane na pewnych prze-

działach i »e s¡ one rozwi¡zaniami równania

( ty 2 + 2 ty − 1) y 0 + y 2 = 0 .

3. Wykre±li¢ po kilka krzywych z podanych rodzin i znale¹¢ równania ró»niczkowe, dla któ-

rych s¡ one krzywymi całkowymi:

a) rodzina okr¦gów o ±rodku (0 , 0) i dowolnym promieniu;

b) rodzina okr¦gow o ustalonym promieniu i ±rodku na osi Ot ;

c) rodzina parabol o wierzchołku w punkcie (0 , 0), których osi¡ symetrii jest o± Oy ;

d) rodzina parabol o ognisku w pocz¡tku układu i wierzchołku na osi Ot (Wsk. Je±li

y 2 = 2 p ( t − t 0 ), to parabola ma wierzchołek w punkcie t 0 na osi Ot , a ognisko w

punkcie t 0 + p 2 .)

4. Rozwi¡za¢ równania:

a) y 0 = y + 2;

b) (1 + e y ) yy 0 = e t ;

c) t sin ydy = cos ydt ;

d) y 0 = y

( y + 2) t ;

e) y 0 = y 2 − 1

( t + 2) y ;

f) 2 p ty 0 = p 1 − y 2 .

5. Znale¹¢ rozwi¡zania zagadnie« pocz¡tkowych:

a) y 0 + y = 0 , y (1) = 1;

b) t p 1 − y 2 dt + y p 1 − t 2 dy = 0 , y (0) = 1;

c) y 0 = e t − y , y (0) = 0;

d) y 0 sin t = y ln y, y ( / 2) = e ;

e) y 2 y 0 = t ( y − 1) , y (0) = 0.

6. Rozwi¡za¢ równania:

a) ty 0 + y = t 3 ;

b) y 0 − 2 ty

t 2 + 1

= 1;

c) y 0 + 2 ty = e − t 2 ;

d) y 0 + 2 y = sin t ;

e) ty 0 + y = t sin t ;

f) y 0 − 2 y

t + 1

2 t + 1

;

g) y 0 + 2 sin t

cos t y = sin t ;

1 + t 2 =

h) y 0 +

t 2 p

1 + t 2 .

7. Rozwi¡za¢ równania:

a) ty 0 + y = y 2 ln t ;

b) y 0 + y = ty 3 ;

c) ty 0 − 4 y = 2 t 4 e 2 t p y ;

d) ty 0 − y (2 y ln t + 1) = 0.

8. Znale¹¢ rozwi¡zania zagadnie« pocz¡tkowych:

a) y 0 − y = e t , y (0) = 0;

b) ty 0 − 2 y = te − 1 /t , y (1) = 0;

c) y 0 + 2

t y = ln t, y (1) = 2

9 ;

d) ( t − sin y ) dy + tg ydt = 0 , y (1) = 6 (Wsk. Szuka¢ rozwi¡zania w postaci t = t ( y ));

e) y 0 + 1

t y = y 2

t , y ( − 1) = 1;

f) 3 ty 0 − 2 y = t 3

y 2 , y (1) = 2;

g) ty 0 + y = t 2 y 2 ln t, y (1) = 1;

h) ty 0 + y = ty 2 ln t, y (1) = 0.

9. W obwodzie mamy poł¡czone szeregowo nienaładowany kondensator o pojemno±ci C ,

oporno±¢ R i ¹ródło siły elektromotorycznej E . W chwili t = 0 zamykamny obwód. Zba-

da¢ zale»no±¢ napi¦cia na kondensatorze oraz nat¦»enia pr¡du w obwodzie od czasu t .

Sporz¡dzi¢ wykresy tych zale»no±ci.

10. Zbiornik o pojemno±ci 100 litrów zawiera roztwór soli o st¦»eniu 15%. Po wł¡czeniu pomp

(w chwili t = 0) do zbiornika zaczyna wlewa¢ si¦ czysta woda z pr¦dko±ci¡ 3 l/min, a

powstały roztwór wylewa si¦ z t¡ sam¡ pr¦dko±ci¡. Ile b¦dzie soli w zbiorniku po 10

minutach? Po jakim czasie st¦»enie soli osi¡gnie 5%.

11. Zbiornik zawiera pocz¡tkowo 200 litrów czystej wody. Do zbiornika wlewany jest roztwór

soli o st¦»eniu 10% z pr¦dko±ci¡ 2 l/min, a powstały roztwór wylewa si¦ dwa razy wolniej.

Jakie b¦dzie st¦»enie soli w zbiorniku po 20 minutach? Kiedy st¦»enie soli w zbiorniku

osi¡gnie 5%?

12. Chłopiec o wadze 36 kilogramów dobiega do ±lizgawki z pr¦dko±ci¡ 3,6 m/s. Współczynnik

tarcia mi¦dzy jego butami a ±lizgawk¡ wynosi 1/20. Znale¹¢ odległo±¢, jak¡ przeb¦dzie

chłopiec, jako funkcj¦ pr¦dko±ci. Jako daleko chłopiec dojedzie?

13. To samo zadanie, gdy dodatkowo wieje z przeciwka wiatr z sił¡ równ¡ 12 v niutonów, gdzie

v jest pr¦dko±ci¡ chłopca (w m/s).

14. Najwy»szy budynek ±wiat (Burj Khalifa w Dubaju) ma 828 metrów wysoko±ci. Ile czasu

b¦dzie spada¢ na ziemi¦ kamie« upuszczony z jego wierzchołka i z jak¡ pr¦dko±ci¡ uderzy

w ziemi¦? Opór powietrza zaniedbujemy.

15. Waga spadochroniarza ze spadochronem wynosi 90 kilogramów. Opór powietrza jest pro-

porcjonalny do pr¦dko±ci. Znale¹¢ współczynnik k oporu powietrza dla lotu z zamkni¦tym

spadochronem, je±li pr¦dko±¢ graniczna wynosi wtedy 53 m/s. Znale¹¢ pr¦dko±¢ po 20 s.

Znale¹¢ odległo±¢, jak¡ przebył spadochroniarz do tego czasu.

16. Spadochroniarz z poprzedniego zadania otwiera spadochron po 20 s lotu. Graniczna pr¦d-

ko±¢ wynosi teraz 5 m/s. Znale¹¢ nowy współczynnik k oporu powietrza. Jaka b¦dzie

pr¦dko±¢ spadochroniarza po 1,2 oraz 5 sekundach lotu ze spadochronem? Jak¡ odległo±¢

przeb¦dzie w ci¡gu tych 5 s? Czy odpowied¹ na to pytanie sugeruje na jakiej wysoko±ci

powinien otworzy¢ spadochron, by bezpiecznie wyl¡dowa¢?

17. Rakieta o masie pocz¡tkowej M 0 (masa rakiety wraz z paliwem) porusza si¦ w przestrzeni

kosmicznej z pr¦dko±ci¡ v 0 . W chwili t = 0 zacz¦to spala¢ paliwo. Spala si¦ paliwo o masie

k na sekund¦, nadaj¡c mu pr¦dko±¢ u wzgl¦dem rakiety. Znale¹¢ pr¦dko±¢ rakiety jako

funkcj¦ czasu.

Wsk. P¦d układu zło»onego z rakiety i wyrzucanych gazów musi by¢ zachowany. Przy

układaniu równania mo»na wi¦c porówna¢ p¦dy w chwili t oraz t + t .

18. To samo zadanie, gdy rakieta startuje pionowo w gór¦ z powierzchni ziemi. Ponadto

znale¹¢ pr¦dko±¢ rakiety w chwili, gdy wyczerpie si¦ 90% pocz¡tkowej ilo±ci paliwa, przy

zało»eniu, »e jego pocz¡tkowa masa wynosiła m 0 .

19. Zbiornik w kształcie walca jest napełnionony ciecz¡. Ciecz wycieka przez otwór w dnie.

Pr¦dko±¢ opró»niania zbiornika jest proporcjonalna do powierzchni otworu i pierwiastka

kwadratowego z wysoko±ci cieczy nad otworem w dnie. Stwierdzono, »e je±li zbiornik jest

napełniony pocz¡tkowo do połowy, to opró»nia si¦ w ci¡gu 18 minut. Ile czasu potrzeba

na opró»nienie zbiornika, je±li na pocz¡tku jest on pełny?

ODPOWIEDZI

3. a) y 0 = − t/y ; b) y 2 ( y 0 ) 2 = r 2 − y 2 ; c) y 0 = 2 y/t ; d) y ( y 0 ) 2 + 2 ty 0 − y = 0.

4. a) y ( t ) = Ce t − 2; b) y 2 / 2 + ( y − 1) e y = e t + C ; c) y ( t ) = arc cos( C/t ); d) e y y 2 = Ct ;

e) y 2 = C ( t + 2) 2 + 1; f) y ( t ) = sin(

t + C ) ,y ( t ) 1 ,y ( t ) − 1.

1 − (1 − p 1 − t 2 ) 2 , y ( t ) 1; c) y ( t ) = t ; d) y ( t ) = e tg( t/ 2) ; e)

5. a) y ( t ) = e 1 − t ; b) y ( t ) =

y 2 ( t ) / 2 + y + ln | y − 1 | = t 2 / 2.

6. a) y ( t ) = t 3 / 4 + C/t ; b) y ( t ) = (arc tg t + C )( t 2 + 1); c) y ( t ) = ( t + C ) e − t 2 ; d) y ( t ) =

5 sin t − 1 5 cos t + Ce − 2 t ; e) y ( t ) = sin t − cos t + t ; f) y ( t ) = ( t + 1) 2 ln | t

t +1 |− ( t + 1) + C ( t + 1) 2 ;

g) y ( t ) = C cos 2 t + cos t ; h) y ( t ) = − 1

t p 1+ t 2 +

p 1+ t 2 .

7. a) y ( t ) = 1

ln t +1+ Ct , y ( t ) 0; b) y ( t ) = 1

t +1 / 2+ Ce 2 t , y ( t ) 0; c) y ( t ) = [( t 2 − 1 4 ) e 2 t +

C ] 2 t 4 , y ( t ) 0; d) y ( t ) = 1

C/t − 2ln t − 2 , y ( t ) 0.

8. a) y ( t ) = te t ; b) y ( t ) = ( e − 1 /t − e − 1 ) t 2 ; c) y ( t ) = 1 3 t ln t − 1 9 t + 1 3 t 2 ; d) 8 t sin y = 4 sin 2 y + 3;

e) y ( t ) 1; f) y ( t ) = 3 p

7 t 2 + t 3 ; g) y ( t ) = 1

t 2 (1 − ln t ) ; h) y ( t ) 0.

9. u C ( t ) = E (1 − e − t/ ( RC ) ) , i ( t ) = R e − t/ ( RC ) .

10. y (10) = 11 , 11 kg, t = 36 minut 37 sekund.

11. y (20) = 3 , 82 kg, st¦»enie wynosi 1,74 % , po 82 minutach 50 sekundach.

12. y ( v ) = 13 , 21 − 1 , 02 v 2 , 13,21 metra.

13. 5,33 metra, y ( v ) = − 3 v + 4 , 41 ln( v + 1 , 47) + 3 , 63.

14. 13 sekund, 127,5 m/s.

15. k = 16 , 66 kg/s, v (20) = 51 , 69 m/s, y (20) = 781 metrów.

16. k = 176 , 58 kg/s, v (1) = 11 , 56 m/s, v (2) = 5 , 92 m/s, v (5) = 5 , 002 m/s, y (5) = 48 , 77

metra.

17. v ( t ) = v 0 + u ln

M 0

M 0 − kt .

18. v ( t ) = − gt − u ln(1 − k M 0 ).

19. 18 p 2 minut, tj. 25 minut 27 sekund.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: