Rozwinięcie Taylora1.doc

(37 KB) Pobierz

Rozwinięcie Taylora

Rozwinięcie Taylora funkcji f w danym punkcie a to przedstawienie jej w postaci:

, gdzie ξ jest liczbą z otoczenia punktu a,

(x < ξ < a lub a < ξ < x).

Rozwinięcie to może być skończone (jeśli funkcja nie ma pochodnych w danym punkcie powyżej pewnej pochodnej), nieskończone, bądź wszystkie składniki rozwinięcia od pewnego mogą być oszacowane (zobacz twierdzenia Taylora).

Przykłady

Rozwinięcie w x0 = 1

$f(x) = x^2 + x + 1 = f(1) + f^\prime(1)(x-1) + f^{(2)}(1)(x-1)^2 = 3 + 3(x-1) + \frac 1 2 2(x-1)^2$

Rozwinięcie w x0 = − 1

$f(x) = x^2 + x + 1 = f(-1) + f^\prime(-1)(x+1) + f^{(2)}(-1)(x+1)^2 = 1 - (x+1) + \frac 1 2 2(x+1)^2$

Rozwinięcie ex (przybliżenie)

Rozwinięcie funkcji wielu zmiennych

Analogicznie rozwija się funkcje wielu zmiennych. Np. rozwinięcie funkcji f(x,y) = x2 − y2 + xy + 2y to:

$f(x,y) = f(x_0,y_0) + \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} (x-x_0) + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} (y-y_0) + \frac 1 2 \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} (x-x_0)^2 + \frac 1 2 \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2} (y-y_0)^2 + \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y} (x-x_0)(y-y_0)$

Co w punkcie (1, − 1) wynosi:

f(x,y) = − 3 + (x − 1) + 5(y + 1) + (x − 1)2 − (y + 1)2 + (x − 1)(y + 1)

Rozwinięcie Taylora1.doc

Rozwinięcie Taylora

Przykłady

Rozwinięcie funkcji wielu zmiennych

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: