Ruch drgający i falowy
Ruch drgający prosty
Ruch drgający prosty jest ruchem najczęściej spotykanym w przyrodzie. Przykładami takiego ruchu są: ruch struny instrumentu, ruch ciężarka zawieszonego na sprężynie, ruch wahadła czy ruch tłoka w silniku. Przyczyną tego ruchu jest siła sprężystości. Wielkości związane z tym ruchem: x - wychylenie w danej chwili, odległość ciała od położenia równowagi A - amplituda drgań, największe wychylenie z położenia równowagi T - okres drgań f - częstotliwość drgań, ilość drgań w jednostce czasu - częstość kołowa - faza drgań = Ruch drgający można rozpatrywać jako rzut ruchu po okręgu. Z rysunku odczytujemy, że: Przekształcając równania otrzymujemy równanie ruchu drgającego.
Ruch drgający, odbywający się pod działaniem siły sprężystości, w którym przyspieszenie w każdym punkcie ruchu jest wprost proporcjonalne do wychylenia, nosi nazwę ruchu drgającego prostego albo harmonicznego.Ciało drgające to oscylator harmoniczny.
Jak widać w równaniu ruchu drgającego wychylenie w ruchu harmonicznym zmienia się w czasie sinusoidalnie. Tą zależność przedstawia wykres:
Prędkość, przyspieszenie i siła
Rozważmy ponownie ruch harmoniczny jako rzut ruchu jednostajnego po okręgu. Wykorzystując zależności pokazane na rysunku wyprowadźmy wzór na prędkość w ruchu harmonicznym. prędkość ciała poruszającego się po okręgu składowa prędkości promień okręgu Korzystamy z wzoru na prędkość w ruchu po okręgu: Jak wynika z rysunku za r możemy podstawić A (największe wychylenie) i otrzymuje wzór na prędkość w ruchu harmonicznym. Prędkość maksymalną ciała osiąga w położeniu równowagi. Zależność prędkości od czasu w ruchu harmonicznym przedstawia wykres: Wzór na prędkość w ruchu harmonicznym można także wyprowadzić obliczając pochodną V=dx/dt. Wykonajmy podobny rysunek i wyprowadźmy wzór na przyspieszenie w ruchu harmonicznym. Korzystając z rysunku odczytujemy zależności: Za podstawiamy wzór na przyspieszenie w ruchu po okręgu: Otrzymujemy wzór na przyspieszenie w ruchu harmonicznym: Znak minus oznacza, że kierunek przyspieszenia jest przeciwny względem kierunku wychylenia. Przyspieszenie maksymalne ciało osiąga w punkcie największego wychylenia: Zależność przyspieszenia od czasu w ruchu harmonicznym przedstawia wykres: Wzór na przyspieszenie w ruchu harmonicznym można wyprowadzić także obliczając pochodną a=dV/dt. Ruch drgający prosty jest ruchem niejednostajnie zmiennym. Siła w ruchu harmonicznym jest wprost proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie zwrócona. Możemy wyprowadzić jej wzór, korzystając z II zasady dynamiki: Po podstawieniu wartości przyspieszenia w ruchu harmonicznym otrzymujemy: Aby zapisać powyższą równość w prostszy sposób wprowadza się współczynnik proporcjonalności k: A więc wzór na siłę w ruchu harmonicznym jest następujący:
Przemiany energii
Ciało drgające posiada energię kinetyczną i potencjalną sprężystości. Wyprowadźmy wzory na obie energie. Energia potencjalna sprężystości wyraża się ogólnym wzorem: Po podstawieniu do tego wzoru równanie ruchu drgającego otrzymujemy wzór na energię potencjalną sprężystości w ruchu drgającym: Energia kinetyczna wyraża się ogólnym wzorem: Wstawiamy do niego wzór na prędkość prędkość ruchu harmonicznym i otrzymujemy wzór na energię kinetyczną w ruchu drgającym: A więc energia całkowita ciała drgającego wynosi: Energia całkowita jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy.
Wahadło matematyczne
Wahadło matematyczne to punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici.
Dla niewielkich kątów wahadło matematyczne wykonuje ruch harmoniczny ( ) Na rysunku przedstawione są działające siły, gdzie siły F i F' to siły składowe. Siłę F' równoważy siła naciągu nitki N, więc o ruchu wahadła decyduje tylko siła F. Z rysunku odczytujemy wartość funkcji sinus: Porównujemy obie wartości: Otrzymany wzór skłania ku wnioskowi, że siła jest wprost proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie zwrócona, więc potwierdza to wcześniejsze stwierdzenie, że jest to ruch harmoniczny. Wyprowadźmy wzór na okres drgań wahadła matematycznego. Porównujemy wzory na stałą k: Okres wahadła matematycznego jest wprost proporcjonalny do pierwiastka z długości wahadła. Gdyby wahadło matematyczne znajdowało się nie tylko w polu grawitacyjnym, to okres drgań wahadło wynosiłby: wypadkowe przyspieszenie
Drgania tłumione (gasnące)
Z doświadczenia wiemy, że wahadło pobudzone jednorazowo do drgań przez wychylenie go z położenia równowagi waha się w miarę upływu czasu coraz słabiej, aż wreszcie zatrzymuje się. Świadczy to o rozpraszaniu energii. Drgania takie nazywamy drganiami tłumionymi lub gasnącymi. Ciało drgające musi wykonywać pracę przeciwko sile oporu, zużywając na to swoją energię. Jeśli maleje energia ciała, to maleje również amplituda drgań ( ) - czas relaksacji relaksacji jest to czas, po którym amplituda drgań zmniejsza się e razy. (e=2,71872; e - podstawa logarytmu naturalnego). - współczynnik tłumienia logarytmiczny dekrement tłumienia
Drgania wymuszone. Rezonans mechaniczny
Drgania, które wykonuje ciało wychylone ze stanu równowagi i pozostawione samemu sobie, tj. nie poddane działaniu dodatkowych sił zewnętrznych określamy mianem drgań własnych ciała. Drgania własne ciała mają zawsze tę samą charakterystyczną dla niego częstotliwość, niezależnie od sposobu wzbudzenia. Wiemy, że zanikaniu wahań wahadła można zapobiec przez okresowe pobudzanie go do ruchu. Jeżeli energia dostarczana w każdym impulsie pobudzającym zrównoważy energię rozpraszaną, to drgania wahadła staną się niegasnące. Takie drgania wzbudzone za pomocą zmieniających się okresowo sił zewnętrznych albo też przenoszone z innego ciała drgającego nazywamy drganiami wymuszonymi. Przeprowadźmy doświadczenie: Pobudzamy do drgań wahadło A, obserwujemy, że jego drgania stopniowo zanikają, coraz bardziej zaczyna się wahać wahadło C. Wahadło B pozostaje cały czas w spoczynku. Zaobserwowaliśmy zjawisko rezonansu mechanicznego, czyli zjawisko przekazywania drgań (energii drgań) ciał o takiej samej częstotliwości drgań własnych. Ruch drgań wymuszonych wyrażana równanie: gdzie to siła zewnętrzna, która powoduje drgania wymuszone. Wyprowadźmy wzór na amplitudę drgań w tym ruchu poprzez podstawienie do równania ruchu drgań wymuszonych wzorów na a, x i w ruchu drgającym: - maksymalna wartość siły Zamiast k podstawiamy wzór: - częstość drgań własnych Gdy dąży do , to amplituda drgań dąży do nieskończoności. Mamy do czynienia z rezonansem mechanicznym. Nieskończony wzrost amplitudy nie ma sensu fizycznego i w praktyce nie pozwalają na to siły oporu lub układ ulega wcześniej zniszczeniu. Wykres przedstawia dwa ujęcia tego zjawiska: teoretyczne (niebieskim kolorem) i praktyczne (czerwonym kolorem). Zjawisko rezonansu jest wykorzystywane w różnorodnych urządzeniach akustycznych, w obwodach prądu zmiennego i w fizyce atomowej. Niekiedy jednak należy unikać jego skutków. Drgania maszyn lub urządzeń, albo też powtarzające się okresowo podmuchy wiatru, mogą się bowiem znaleźć w rezonansie z drganiami własnymi budynków, mostów i spowodować ich zniszczenie w wyniku ogromnego wzrostu amplitudy drgań wymuszonych.
Wahadło fizyczne
Wahadło fizyczne jest ciało sztywne dowolnego kształtu zawieszone na osi poziomej ponad środkiem ciężkości i wahające się wokół niej.
Z rysunku odczytujemy wartości dla funkcji sinus, a następnie je porównujemy: Siła jest wprost proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie zwrócona, a więc dla niewielkich wychyleń bryła sztywna wykonuje ruch harmoniczny. Wyprowadźmy wzór na przyspieszenie i na okres drgań wahadła fizycznego: Porównujemy wzory na moment M dla ruchu obrotowego (gdzie r to odległość między środkiem ciężkości a punktem zaczepienia bryły sztywnej): Otrzymujemy wzór na przyspieszenie wahadła fizycznego. Jest ono wprost proporcjonalne do wychylenia i odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności I. Porównujemy wzory na przyspieszenie (dla wahadła fizycznego i w ruchu harmonicznym): Otrzymujemy wzór na okres drgań wahadła fizycznego. Długość zredukowana wahadła fizycznego równa jest długości wahadła matematycznego, który ma taki sam okres drgań.
Ruch falowy. Rodzaje fal
Falą mechaniczną nazywamy zjawisko rozchodzenia się zaburzeń ośrodka. Źródłem fali jest ciało drgające.
Ośrodek sprężysty ma tę właściwość, ze siłom, które usiłują spowodować jego odkształcenie, przeciwstawia siły sprężyste, które po usunięciu sił odkształcających usuwają odkształcenie. Wytrącenie zespołu cząsteczek takiego ośrodka z położenia równowagi powoduje ich drganie wokół tego położenia, przy czym wskutek jego właściwości sprężystych zaburzenie przenosi się z jednej warstwy ośrodka na następną, wprawiając ją w ruch drgający o takim samym okresie drgań. Takie właśnie przenoszenie drgań nazywamy ruchem falowym lub krótko falą. Przykładem ruchu falowego są fale rozchodzące się kołowo na powierzchni wody po wrzuceniu kamienia. Obserwując zachowanie się trocin lub słomek pływających na powierzchni wody, można łatwo stwierdzić, że rzeczywisty ruch cząsteczek wody polega na ich podnoszeniu się i opadania w jednym miejscu, natomiast sama fala, przenosząca te drgania, rozchodzi się po powierzchni wody. Ośrodek nie porusza się więc wraz z rozchodzącą się falą, lecz jedynie jego cząsteczki drgają wokół położeń równowagi, zaś istotę ruchu falowego stanowi przenoszenie się tych drgań na coraz to dalsze warstwy ośrodka. Fale mechaniczne nie mogą rozchodzić się w próżni. Rozchodzą się w ośrodkach sprężystych.
Promień fali to kierunek rozchodzenia się fali.
Czoło fali jest to zbiór punktów, do których dotarła fala.
Powierzchnia falowa to zbiór punktów mających tą samą fazę drgań.
Fale mechaniczne (ze względu na wymiar) dzielimy na:
· fale liniowe (jednowymiarowe) - np. na gumowym wężu,
· fale powierzchniowe (dwuwymiarowe) - np. na wodzie,
· fale przestrzenne (trójwymiarowe) - np. dźwięk w powietrzu.
W zależności od kierunku drgań cząsteczek ośrodka w stosunku do kierunku rozchodzenia się fali rozróżnia się fale poprzeczne i fale podłużne.
Fala poprzeczna to taka fala, której cząsteczki ośrodka drgają w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali.
Można ją otrzymać na przykład przez szybkie poruszanie się w górę i w dół jednego końca gumowego sznura, przymocowanego drugim końcem do ściany. Powstanie fali poprzecznej wiąże się ze zmianą kształtu ciała, a więc może się ona rozchodzić jedynie w ośrodkach mających sprężystość postaci (głównie w ciałach stałych). Cząsteczki ośrodków doskonale sprężystych wykonują drgania harmoniczne, zatem fala poprzeczna rozchodząca się w takim ośrodku ma postać sinusoidy. Prędkość fali poprzecznej w płynach lub cienkich, długich prętach wynosi: - współczynnik ściśliwości płynu; moduł sztywności ciała stałego - gęstość ośrodka
Fala podłużna jest to fala, której cząsteczki ośrodka drgają w kierunku zgodnym z kierunkiem rozchodzenia się fali.
Można ją otrzymać uderzając z jednej strony młotkiem w koniec długiej sprężyny z cienkiego drutu zawieszonej na niteczkach. Obserwujemy wówczas zagęszczanie się zwojów sprężyny w pobliżu miejsca uderzenia i przesuwanie się tego zagęszczenia wzdłuż jej osi, przy czym kierunek drgań zwojów sprężyny, jest zgodny z kierunkiem rozchodzenia się fali. Podobne zjawisko rozchodzenia się drgań cząsteczek można zaobserwować w rurze wypełnionej powietrzem, jeżeli w jednym z jej końców wywołane zostanie zagęszczenie. Rozchodząca się w rurze fala podłużna polega na zagęszczaniu i rozrzedzaniu drgających warstw powietrza. Ponieważ rozchodzenie się fal podłużnych jest związane z okresowymi zmianami gęstości ośrodka, fale te mogą się rozchodzić we wszystkich ośrodkach wykazujących sprężystość objętości, a więc zarówno w ciałach stałych, cieczach jak i w gazach. Prędkość fali podłużnej w płynach lub cienkich, długich prętach wynosi: - moduł Younga - gęstość ośrodka Ze względu na czoło fali fale dzielą się na płaskie i kuliste. Jeżeli drgania rozchodzą się w jednym kierunku, to powierzchnie fali są płaszczyznami i mówimy o fali płaskiej. Jeżeli zaś fala wywołana przez punktowe źródło drgań rozchodzi się w ośrodku jednorodnym, to prędkość jej jest jednakowa we wszystkich kierunkach i powierzchnia fali ma postać kuli. Mówimy wtedy o fali kulistej. Wielkości charakteryzujące falę to: - amplituda fali - okres fali - częstotliwość fali - prędkość fali (prędkość fali w danym ośrodku jest stała) - długość fali (odległość między najbliższymi cząsteczkami drgającymi w zgodnych fazach) Fala przebywa drogę równą swojej długości w czasie okresu.
Zasada Huygensa
Opis ruchu falowego komplikuje się z chwilą, gdy czoło fali dociera do granicy obszaru swobodnego rozprzestrzeniania się fali, lub do granicy dwu ośrodków, w których prędkości rozchodzenia się fal są różne. Metody opisu ruchu falowego w tym przypadku dostarcza zasada Huygensa. U źródła zasady Huygensa leżą trzy obserwacje doświadczalne:
· Drgające źródła punktowe wysyłają w ośrodku jednorodnym i izotropowym fale koliste.
· Fale wysyłane przez różne źródła rozchodzą się w ośrodku niezależnie od siebie (zasada superpozycji).
· Fale nie rozchodzą się w ośrodku natychmiastowo, lecz ze skończoną prędkością - coraz to nowe punkty ośrodka są pobudzane do drgań.
Na podstawie tych obserwacji Huygens wysunął hipotezę, że:
Każdy punkt ośrodka, do którego dochodzi fala, można traktować jako elementarne źródło wtórnej fali kolistej.
Jest to tzw. zasada Huygensa.
Równanie fali
Aby wyprowadzić równanie fali posłużymy się wykresem zależności wychylenia od odległości od źródła. - wychylenie - odległość od źródła Wykorzystujemy równanie ruchu drgającego na opisanie położenia punktów A i B. Punkt A - Punkt B - - czas, w którym fala przebywa drogę Podstawiamy za powyższy wzór i przekształcamy, aby otrzymać równanie fali w prostszej postaci: Równanie fali można także wyrazić przy pomocy liczby falowej k, której wartość wstawiona do otrzymanego wzoru da inną postać równania fali:
Interferencja fal mechanicznych
Podobnie, jak w ruchach punktu materialnego materialnego ciała sztywnego, w ruchu falowym obowiązuje zasada niezależności ruchów. Jeżeli w ośrodku rozchodzi się kilka fal, wysyłanych jednocześnie przez różne źródła, to wypadkowy ruch każdej cząstki ośrodka jest złożeniem ruchów, jakie wykonywałaby ta cząstka przy rozchodzeniu się każdej fali z osobna. Zasada niezależności ruchów w zastosowaniu do ruchu falowego nosi nazwę zasady superpozycji fal.
Zjawisko nakładania się dwu lub więcej fal harmonicznych harmonicznych tej samej długości, prowadzące do powstania ustalonego w czasie rozkładu przestrzennego obszarów wzmocnienia i osłabienia fali, nazywamy interferencją fal.
Interferencja to zjawisko typowe dla fal. WZMOCNIENIE Jeżeli obie fale będą miały takie same amplitudy to nastąpi maksymalne wzmocnienie. Wzmocnienie następuje w takich przypadkach: Maksymalne wzmocnienie fali następuje we wszystkich punktach, dla których różnica odległości od źródeł równa się całkowitej wielokrotności długości fali. WYGASZENIE Wygaszenie następuje we wszystkich punktach, dla których różnica odległości od źródeł jest równa nieparzystej wielokrotności połowy długości fali. Wyprowadźmy warunki na wygaszenie i wzmocnienie fal mechanicznych (korzystając z równania fali): Korzystamy ze wzoru na sumę funkcji trygonometrycznych: I. Wygaszenie nastąpi, gdy amplituda będzie równa zero: Zamiast k podstawiamy i otrzymujemy: II. Wzmocnienie nastąpi, gdy: Zamiast k podstawiamy i otrzymujemy:
Dyfrakcja fal mechanicznych
Dyfrakcją fali nazywamy ugięcie fali, czyli zmianę kierunku rozchodzenia się fali na szczelinach, krawędziach, przeszkodach, itp.
Zjawisko dyfrakcji jest typowym dla fal. Tłumaczy je zasada Huygensa. Łatwo jest zaobserwować dyfrakcję fal, ustawiając w zbiorniku z wodą przegrodę z wąską szczeliną i wytwarzając po jednej stronie falę płaską. W chwili, gdy fala ta dojdzie do przegrody - szczelina staje się źródłem fali kołowej, rozchodzącej się z niej we wszystkich kierunkach po drugiej stronie przegrody. Tą sytuację ilustruje rysunek: Umieszczając w zbiorniku z wodą przegrodę z dwiema szczelinami, równoległą do powierzchni wytwarzanej fali płaskiej, możemy obserwować zarówno dyfrakcję jak i interferencję fal ugiętych. Ponieważ powierzchnia fali płaskiej dochodzi do obydwu szczelin w tej samej chwili, stają się one, zgodnie z zasadą Huygensa, źródłami elementarnych fal kołowych o jednakowych fazach i amplitudach. amplitudach wyniku nakładania się fal w tych punktach powierzchni wody, do których dojdą fale o jednakowych fazach, następuje wzmocnienie drgań i powierzchnia wody staje się silniej pofałdowana, w innych zaś, do których dojdą fale o fazach przeciwnych , następuje wygaszenie drgań i powierzchnia wody staje się gładka, tworząc charakterystyczne "linie węzłów".
Zasada Fermata
Fala biegnąca z jednego punktu do drugiego przebywa drogę, na której przebycie trzeba w porównaniu z innymi sąsiednimi drogami minimum lub maksimum czasu.
...
edukac1