jkf_interpolacja_aproks.pdf

(186 KB) Pobierz
Microsoft Word - jkf_interpolacja_aproks.doc
Metody obliczania przybli Ň onych warto Ļ ci funkcji
I. Obliczanie warto Ļ ci znanych funkcji (tablicowanie)
1. Algorytm (schemat) Hornera
Algorytm Hornera stosowany jest do obliczania warto Ļ ci wielomianów
Warto Ļę wielomianu w(x)
Gdzie
w
(
x
)
=
x
n
+
a
x
n
−
1
+
2
+
a
x
+
a
1
n
−
1
n
obliczamy nast ħ puj Ģ co
w
1
=
x
+
a
1
w
2
=
xw
1
+
a
2
3
w
n
=
xw
n
−
1
+
a
n
w
(
x
)
=
w
n
Odpowiada to obliczaniu wyra Ň enia:
x
{
[
x
2
(
x
+
a
1
)
+
a
2
]
+
2
+
a
n
−1
} n
+
a
Algorytm ten wymaga
M
= n
−
1
mno Ň e ı i
D = dodawa ı . Obliczaj Ģ c t ħ warto Ļę jako
n
xxxxx
+
a
& 2
x
+
2
+
a
x
+
a
nale Ň y wykona ę
M
=
(
n
−
1
)(
n
+
2
)
mno Ň e ı i
D = dodawa ı
1
n
−
1
n
2
n
n
−
1
Algorytm Hornera wymaga znacznie mniej mno Ň e ı
x
x
n
&
2. Obliczanie pierwiastka kwadratowego
Obliczanie pierwiastka kwadratowego wykonuje si ħ korzystaj Ģ c z przekształcenia
równania
x =
c
zapisanego w postaci
x =
F
( x
)
, gdzie
F
(
x
)
=
1
Æ
x
+
c
Ö
,
c
>
0
2
x
Przyjmuje si ħ wi ħ c
x
=
1
Å
Æ
x
+
c
Õ
Ö
n
+
1
2
n
x
n
Na przykład dla obliczenia 2 mamy c = 2, przyjmijmy warto Ļę pierwszego przybli Ň enia
x 0 = 1.5, otrzymujemy
x
=
1
(
+
2
)
=
1
4167
,
x
=
1
(
4167
+
2
)
=
1
414216
,
1
2
1
.
2
2
1
4167
warto Ļę ta wynosi 1.414214
2
Ä
Ô
Ä
Ô
658490239.008.png 658490239.009.png 658490239.010.png
3. Obliczanie warto Ļ ci funkcji korzystaj Ģ c z rozwini ħ cia ich w szereg
Warto Ļ ci wielu funkcji mo Ň na obliczy ę korzystaj Ģ c z kilku wyrazów ich rozwini ħ cia w
szereg pot ħ gowy
Przykładowe rozwini ħ cia popularnych funkcji:
= ¥
=
x
n
x
2
x
3
x
4
e
x
=
1
+
x
+
+
+
+
3
xÎR
n
!
2
3
4
n
0
= ¥
=
(
−
1
n
x
2
n
+
1
x
3
x
5
x
7
sin(
x
)
=
x
−
+
−
3
xÎR
(
2
n
+
1
)!
3
5
7
n
0
= ¥
=
(
−
1
n
x
2
n
x
2
x
4
x
6
cos(
x
)
=
1
−
+
−
3
xÎR
(
2
n
)!
2
4
6
n
0
658490239.011.png 658490239.001.png
II. Obliczanie warto Ļ ci nieznanych funkcji na podstawie znanych ich
warto Ļ ci w sko ı czonej liczbie punktów
1. Wst ħ p
Wiele zjawisk fizycznych jest opisywane przez funkcje, których dokładnie nie znamy.
Cz ħ sto jednak potrafimy oblicza ę (mierzy ę ) warto Ļ ci tych funkcji lub ich pochodnych dla
okre Ļ lonych warto Ļ ci argumentu. Przykładowo, w okre Ļ lonych chwilach czasu mo Ň emy
mierzy ę pr ħ dko Ļę , poło Ň enie i przyspieszenie punktu. Innym przykładem jest zmierzenie
parametrów pracy silnika dla ró Ň nych warto Ļ ci temperatur, obci ĢŇ enia i ci Ļ nienia.
Informacja Â(f) o danej funkcji składa si ħ zatem cz ħ sto z warto Ļ ci funkcji lub jej
pochodnych w oddzielnych wybranych punktach. Tak Ģ informacj ħ nazywamy dyskretn Ģ
[]. Punkty, w których znane s Ģ warto Ļ ci funkcji przybli Ň anej nazywane s Ģ w ħ złami.
y
f (x)
F (x)
x 0 x 1 x 2
x i
x n
x
Rys. 1 Funkcja poszukiwana
658490239.002.png 658490239.003.png 658490239.004.png
W praktyce najcz ħĻ ciej wymaganymi zadaniami s Ģ :
a) wyznaczenie wzoru nieznanej funkcji f (x ) (x Î < x 0 , x n >) na podstawie znanych jej
warto Ļ ci w sko ı czonej liczbie w ħ złów
b) wyznaczenie warto Ļ ci nieznanej funkcji f (x ) (x Î < x 0 , x n >) mi ħ dzy w ħ złami.
c) wyznaczenie warto Ļ ci lub wzoru nieznanej lub nieznanej funkcji f (x ) (x Î < x 0 , x n >)
w punktach le ŇĢ cych poza przedziałem znanych jej warto Ļ ci tzn. dla x Ï < x 0 , x n >.
Zadanie w przypadkach a i b mo Ň na wykona ę dwoma metodami. Mo Ň na ŇĢ da ę , aby
funkcja przybli Ň aj Ģ ca F (x) przechodziła przez punkty, w których znane s Ģ warto Ļ ci funkcji
przybli Ň anej f (x) (w ħ zły) , lub tego wymagani funkcja przybli Ň aj Ģ ca F (x) nie musi spełnia ę .
Pierwsz Ģ metod ħ nazywamy interpolacj Ģ , natomiast druga metod ħ nazywamy
aproksymacj Ģ . Taki podział stosowany jest w wielu podr ħ cznikach, chocia Ň niektórzy
autorzy uznaj Ģ interpolacj ħ , jako szczególny przypadek aproksymacji.
Zadanie okre Ļ lone w punkcie c nazywamy ekstrapolacj Ģ .
y
f (x)
F (x)
x 0 x 1 x 2
x i
x n
x
Rys. 2 Interpolacja funkcji f (x ) funkcj Ģ F (x)
658490239.005.png 658490239.006.png 658490239.007.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin