Przedsiębiorstwo działa w warunkach konkurencji doskonałej.
Założenia:
1. przedsiębiorstwo wytwarza jeden produkt, zużywając k czynników;
2. proces produkcji opisuje skalarna funkcja produkcji f C2 (R+k → R+1 ) rosnąca, zerująca się w zerze, silnie wklęsła i dodatnio jednorodna stopnia 0 < θ < 1;
3. przedsiębiorstwo nie ma bezpośredniego wpływu na cenę wytwarzanego produktu ani na poziom cen czynników produkcji;
4. rynek towarów jest chłonny i nie ma trudności ze zbytem wytwarzanych produktów;
5. celem przedsiębiorstwa jest maksymalizacja zysku lub minimalizacja kosztów produkcji;
Przy założeniach 1-4 problem maksymalizacji zysku przedsiębiorstwa sprowadza się do odpowiedzi na pytanie ile i jakich czynników (np. pracy i kapitału) należy zaangażować, aby wytworzyć taką ilość produktu, że różnica między jego wartością a kosztem zastosowanych czynników produkcji będzie maksymalna?
Warto rozważyć dwa przypadki maksymalizacji zysku przez przedsiębiorstwo.
Przedsiębiorstwo ma nieograniczoną swobodę ustalania wielkości i struktury zaangażowanych czynników produkcji. Taka sytuacja jest możliwa jedynie w długim okresie, w którym można rozbudować w dowolny sposób potencjał produkcyjny (np. korzystając z kredytów). Dlatego problem maksymalizacji zysku przedsiębiorstwa przy braku ograniczeń na czynniki produkcji jest problemem wyznaczania strategii długookresowej.
Swoboda działania przedsiębiorstwa jest ograniczona przez aktualnie posiadane zasoby czynników produkcji. Aby zmaksymalizować zysk, może ono jedynie w ograniczonym zakresie zmienić posiadany majątek produkcyjny, wielkość i strukturę zatrudnienia lub proporcje, w jakich zużywa poszczególne surowce. Taka sytuacja decyzyjna jest typowa dla krótkiego okresu i dlatego rozwiązanie zadania maksymalizacji zysku z ograniczeniami na czynniki produkcji utożsamia się z wyznaczeniem strategii krótkookresowej przedsiębiorstwa.
Przedsiębiorstwo w warunkach konkurencji doskonałej – strategia długookresowa
□ przedsiębiorstwo wytwarza jeden produkt i zużywa do jego produkcji jeden czynnik produkcji;
□ proces produkcji opisuje skalarna, jednoargumentowa funkcja produkcji
y = f(x), która spełnia założenia (F1) – (F5);
□ na rynku towarów ustaliła się cena wytwarzanego produktu p > 0 oraz cena zużywanego czynnika produkcji ν > 0;
Zadanie maksymalizacji zysku ma wtedy postać:
π(x) = {pf(x) – νx} → max
x ≥ 0
Zadanie polega na wyborze takiego poziomu nakładu czynnika produkcji x ≥ 0, przy którym zysk przedsiębiorstwa π(x), będący różnicą między przychodem ze sprzedaży produktu pf(x) i kosztem produkcji νx jest maksymalny.
Założenie: funkcja produkcji jest dodatnio jednorodna stopnia 0 < θ < 1 postaci y = xθ . Zadanie maksymalizacji zysku przyjmuje, w tym przypadku, postać:
π(x) = {pxθ – νx} → max
Aby określić przebieg zmienności funkcji zysku π(x) i znaleźć jej maksimum, należy zbadać jej pierwszą i drugą pochodną:
Ponieważ jednocześnie zatem funkcja zysku π(x) jest silnie wklęsła na R+1, zeruje się w 0, rośnie w przedziale (0,x) i osiąga maksymalną wartość dla . Następnie maleje i zeruje się powtórnie w punkcie . Przedział (0,x) tworzy obszar rentowności, w którym zysk przedsiębiorstwa jest dodatni.
Uogólniając powyższy przykład można stwierdzić, że w przypadku jednoargumentowej, silnie wklęsłej funkcji produkcji istnieje dokładnie jedno rozwiązanie optymalne zadania maksymalizacji zysku x (0,x), gdzie x >0 jest punktem zerowania się funkcji zysku π(x), nazywanym progiem rentowności przedsiębiorstwa. Wzrost nakładów powyżej progu rentowności sprawia, że koszt jest wyższy od przychodu i przedsiębiorstwo ponosi stratę.
Zadanie maksymalizacji zysku przedsiębiorstwa (Z1)
Zadanie maksymalizacji zysku przedsiębiorstwa w przypadku ogólnym, gdy proces produkcji jest opisany skalarną, k-argumentową funkcją produkcji:
π(x) = {pf(x) - < ν,x >} → max
Oznaczenia:
p – cena wytwarzanego produktu
f(x) - ilość wytworzonego produktu (w jednostkach fizycznych)
ν = (ν1,…,νk) – wektor cen czynników produkcji
x = (x1,…,xk) – wektor nakładów czynników produkcji (w jednostkach fizycznych)
Zadanie polega na wyborze takiego wektora nakładów czynników produkcji
x ≥ 0, dla którego zysk przedsiębiorstwa π(x), będący różnicą między przychodem ze sprzedaży produktu pf(x)a kosztami produkcji < ν,x > jest maksymalny.
Jeżeli skalarna, k-argumentowa funkcja produkcji f C2 ( R+k → R+1) jest rosnąca, zerująca się w zerze, silnie wklęsła oraz cena produktu p > 0 i wektor cen czynników produkcji ν > 0 spełniają warunki:
to:
1) zadanie (Z1) ma dokładnie jedno rozwiązanie optymalne x > 0, dla każdego π(x) > 0,
2) warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby wektor x > 0 był rozwiązaniem optymalnym zadania (Z1) jest spełnienie układu równań:
Uwaga:
1.Z podanego twierdzenia wynika, że rozwiązanie zadania maksymalizacji zysku przedsiębiorstwa (Z1) sprowadza się do wskazania takich nakładów czynników produkcji, dla których wyrażona wartościowo krańcowa produktywność każdego czynnika produkcji jest równa jego cenie:
2.Założenie, że funkcja produkcji jest silnie wklęsła, nie gwarantuje jeszcze istnienia dodatniego rozwiązania optymalnego zadania (Z1). Jeżeli wektor cen czynników produkcji spełnia układ nierówności:
to rozwiązaniem optymalnym zadania (Z1) jest wektor nakładów czynników produkcji x = 0.
Natomiast, gdy przynajmniej dla jednego i, spełniony jest układ nierówności:
to zadanie maksymalizacji zysku przedsiębiorstwa (Z1) nie ma skończonego rozwiązania optymalnego.
aisza24