Macierze, wyznaczniki, układy równań.pdf
(
144 KB
)
Pobierz
Microsoft Word - algebra liniowa.doc
Algebra liniowa
Definicja 1.
Niech
m
i
n
będą liczbami naturalnymi.
Macierzą prostokątną
o
m
wierszach i
n
kolumnach, nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej uporządkowanej parze liczb
naturalnych
(i,j)
, gdzie
i
œ
{1,2,…,m}
,
j
œ
{1,2,…,n}
, liczbę
aij
.
Twierdzenie 1.
(własności działań na macierzach)
1)
A+B
=
B+A
2)
(A+B)+C=A+(B+C)
3)
A+0=A
4)
k(A+B)=kA+kB
5)
(A
ÿ
B)
ÿ
C=A
ÿ
(B
ÿ
C)
6)
A
ÿ
(B+C)=A
ÿ
B+A
ÿ
C
7)
(A+B)
ÿ
C=A
ÿ
C+B
ÿ
C
8)
A
ÿ
0=0
9)
0
ÿ
A=0
10)
A
ÿ
I=I
ÿ
A=A
gdzie
I
oznacza macierz jednostkową a
0
macierz zerową.
Rozpatrzmy macierz kwadratową stopnia
n
:
a
11
a
12
...
a
1
n
a
a
...
a
A
=
21
22
2
n
...
...
...
...
a
a
...
a
n
1
n
2
nn
Z każdego wiersza macierzy
A
wybieramy po jednym elemencie tak, aby spośród
wybranych elementów żadne dwa nie należały do tej samej kolumny. Otrzymamy w ten
sposób
n
elementów, z których tworzymy iloczyn:
a
1
i
⋅
a
2
i
⋅
...
⋅
a
ni
,
1
2
n
pisząc jego czynniki w kolejności odpowiadającej numerom wierszy macierzy. Wówczas
drugie wskaźniki określające numery kolumn tworzą jedną z możliwych permutacji liczb
1,2,…,n
. Jeżeli w dowolnej permutacji podzbioru liczb naturalnych występują liczby nie w
porządku naturalnym, to mówimy, że permutacja zawiera inwersję.
Definicja 2.
Niech
k
oznacza liczbę inwersji w permutacji
i
1
,i
2
,…,i
n
. Wyrażenie
( )
∑
−
1
k
⋅
a
⋅
a
⋅
...
⋅
a
,
1
i
2
i
ni
1
2
n
MB
1
Algebra liniowa
gdzie sumowanie przebiega po wszystkich możliwych permutacjach
i
1
,i
2
,…,i
n
liczb
naturalnych
1,2,…,n
nazywamy wyznacznikiem macierzy
A
i oznaczamy symbolem det
A
.
Definicja 3.
Minorem
M
ij
macierzy kwadratowej
A
stopnia
n
nazywamy wyznacznik macierzy
powstałej z macierzy
A
poprzez usunięcie
i
-tego wiersza oraz
j
-tej kolumny.
Definicja 4.
Dopełnieniem algebraicznym elementu
a
ij
, które oznaczamy symbolem
D
ij
,
nazywamy iloczyn
(-1)
i+j
ÿ
M
ij
.
Twierdzenie 2.
(Laplace’a)
Wyznacznik równy jest sumie wszystkich iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza
(kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego:
det
A
=
a
1
D
1
+
a
2
D
i
2
+
...
+
a
in
D
in
,
1
≤
i
≤
n
lub
det
A
=
a
1
j
D
1
j
+
a
2
j
D
2
j
+
...
+
a
nj
D
nj
,
1
≤
j
≤
n
.
Twierdzenie 3.
(własności wyznaczników)
1)
Jeżeli jakikolwiek wiersz (lub kolumna) macierzy składa się z samych zer to jej
wyznacznik jest równy zero,
2)
Wyznacznik macierzy równy jest wyznacznikowi macierzy transponowanej,
3)
Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) w macierzy powoduje zmianę znaku jej
wyznacznika,
4)
Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych wierszach (kolumnach) jest równy
zeru,
5)
Wspólny czynnik wszystkich elementów danego wiersza (danej kolumny) można
wyłączyć przed znak wyznacznika,
6)
Wyznacznik macierzy o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) jest
równy zero,
7)
Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeżeli do dowolnego wiersza (kolumny)
dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez dowolną liczbę rzeczywistą,
8)
det
A
⋅
B
=
det
A
⋅
det
B
(twierdzenie Cauchy’ego),
9)
Suma iloczynów elementów pewnego wiersza (kolumny) i dopełnień
algebraicznych odpowiadających elementom innego wiersza (kolumny) jest równa
zero.
MB
2
i
i
i
Algebra liniowa
a
11
a
12
...
a
1
n
a
11
a
12
...
a
1
n
a
11
a
12
...
a
1
n
a
a
...
a
a
a
...
a
a
a
...
a
21
22
2
n
21
22
2
n
21
22
2
n
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
10)
det
+
det
=
det
a
a
...
a
b
b
...
b
a
+
b
a
+
b
...
a
+
b
1
i
2
in
i
1
i
2
in
1
1
i
2
i
2
in
in
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
a
n
1
a
n
2
...
a
nn
a
n
1
a
n
2
...
a
nn
a
n
1
a
n
2
...
a
nn
Definicja 5.
Układ wektorów
u
1
,
u
2
,...,
u
n
nazywamy
liniowo niezależnym,
jeśli równanie:
α
u
1
+
α
2
u
2
+
...
+
α
n
u
n
=
0
spełnione jest tylko w przypadku, gdy
α
1
=
α
2
=
...
=
α
=
0
.
Układ wektorów
u
1
,
u
2
,...,
u
n
, który nie jest liniowo niezależnym, nazywamy
liniowo
zależnym
.
Definicja 6.
Rzędem macierzy
nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych kolumn macierzy.
Liczbę tę oznaczamy symbolem
rzA
.
Twierdzenie 4.
Maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy jest równa maksymalnej liczbie
liniowo niezależnych wierszy tej macierzy.
Twierdzenie 5.
Rząd macierzy
A
jest równy stopniowi macierzy jednostkowej występującej w jej postaci
kanonicznej.
Twierdzenie 6.
Rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni jej nieosobliwych podmacierzy.
Twierdzenie 7.
Rząd macierzy nie ulega zmianie, gdy:
1)
przestawimy dwa wiersze (kolumny) macierzy,
2)
do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy dodamy inny wiersz (kolumnę)
pomnożony przez dowolną liczbę rzeczywistą,
3)
pomnożymy dowolny wiersz (kolumnę) macierzy przez dowolną liczbę różną od
zera,
MB
3
i
i
i
1
Algebra liniowa
4)
usuniemy z macierzy wiersz (kolumnę) złożoną z samych zer,
5)
transponujemy macierz.
Definicja 7.
Przekształceniami elementarnymi macierzy nazywamy następujące działania:
1)
przestawimy dwa wiersze (kolumny) macierzy,
2)
do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy dodamy inny wiersz (kolumnę)
pomnożony przez dowolną liczbę rzeczywistą,
3)
pomnożymy dowolny wiersz (kolumnę) macierzy przez dowolną liczbę różną od
zera.
Twierdzenie 8.
Przekształcenia elementarne nie zmieniają rzędu macierzy.
Definicja 8.
Macierz kwadratowa
A
-1
stopnia
n
spełniająca warunek:
A
⋅
A
−
1
=
A
−
1
⋅
A
=
I
,
gdzie I jest macierzą jednostkową, nazywamy
macierzą odwrotną
do macierzy
kwadratowej
A
stopnia
n
.
Twierdzenie 9.
Jeżeli macierz kwadratowa
A
jest macierzą nieosobliwą, to istnieje do niej macierz
odwrotna
A
-1
, przy czym
A
=
−
1
A
d
.
det
A
Symbol
A
d
oznacza
macierz dołączoną
, czyli transponowaną macierz dopełnień
algebraicznych.
Twierdzenie 10.
Jeżeli
A
i
B
są nieosobliwymi macierzami tego samego stopnia, to
( )
A
⋅
B
−
1
=
B
−
1
⋅
A
−
1
.
Twierdzenie 11.
Wyznacznik macierzy odwrotnej
A
-1
jest odwrotnością wyznacznika macierzy
A
, to jest
det
A
−
1
=
1
.
det
A
MB
4
1
Algebra liniowa
Twierdzenie 12.
Macierz odwrotna do macierzy odwrotnej
A
-1
jest identyczna z daną macierzą, to jest
( )
A
=
−
1
−
A
.
Twierdzenie 13.
Macierz transponowana macierzy odwrotnej równa jest macierzy odwrotnej do macierzy
transponowanej, to jest
( ) ( )
1
A
−
1
T
=
A
T
−
.
Układy równań
można podzielić:
1)
ze względu na liczbę rozwiązań
a.
układy sprzeczne – zbiór rozwiązań jest zbiorem pustym,
b.
układy oznaczone – zbiór rozwiązań jest zbiorem jednoelementowy,
c.
układy nieoznaczone – zbiór rozwiązań zawiera nieskończenie wiele
elementów.
2)
ze względu na postać wektora wyrazów wolnych:
a.
jednorodne – wektor wyrazów wolnych jest wektorem zerowym,
b.
niejednorodne – wektor wyrazów wolnych zawiera elementy niezerowe.
Definicja 9.
Układ
n
równań liniowych o
n
niewiadomych
Ax=b
, w którym macierz
A
jest macierzą
nieosobliwą nazywamy układem Cramera równań liniowych.
Twierdzenie 14.
Jeżeli wyznacznik
det
A
układu równań liniowych
Ax=b
jest różny od zera, to układ ten ma
dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami, nazywanymi
wzorami Cramera
:
x
=
det
A
,
x
=
det
A
2
,
...
,
x
=
det
A
n
.
1
det
A
2
det
A
n
det
A
gdzie
det
A
j
(
j=1,2,…,n
) jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy
A
w wyniku
zastąpienia jej
j
-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
Twierdzenie 15.
(Kroneckera-Capellego)
Układ równań liniowych
Ax=b
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
rzA=rzU
, przy
czym gdy
rzA=rzU=n
, to układ jest oznaczony, natomiast jeżeli
rzA=rzU=r<n
, to układ
jest nieoznaczony.
Wniosek.
Jeżeli
rzA
≠
rzU
, to układ równań jest układem sprzecznym.
MB
5
1
1
Plik z chomika:
pilot1216
Inne pliki z tego folderu:
wykład 04-przestrzeń wektorowa.pdf
(362 KB)
wykład 05-odwzorowania liniowe.pdf
(249 KB)
wykład 08-zmiana bazy.pdf
(223 KB)
wykład 09-odwzorowania wieloliniowe.pdf
(244 KB)
wykład 10-wyznaczniki.pdf
(188 KB)
Inne foldery tego chomika:
- II w.św. - Pacyfik, Azja
- II w.św. - Rosja - ZSRR
- II w.św. Afryka, Atlantyk
- ★ Oszukać Umysł
ENCYKLOPEDIA KOŚCIELNA
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin